Геометрия бесконечного.
Окружающее человека пространство безгранично. Правда, человек воспринимает это свойство пространства скорее разумом, когда пытается разобраться в некоторых своих ощущениях. Анализ бесконечного разнообразия форм и движений пространства может доставить бесконечное удовольствие для пытливого ума. Вот несколько примеров на тему бесконечного в геометрии.
Углубимся в бесконечное деление пространства. Красивым примером такого деления являются фракталы – нерегулярные, но самоподобные структуры.
Они используются сегодня, например, в компьютерной графике, когда требуется с помощью нескольких коэффициентов задать линии и поверхности очень сложной формы (искусственных облаков, гор, поверхности моря). Это способ легкого представления сложных геометрических объектов, образы которых весьма похожи на природные.
Одним из основных свойств фракталов является самоподобие, когда любая часть фрактала содержит информацию обо всем объекте. Собственно, одно из определений фрактала так и звучит: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому".
Самыми наглядными являются фракталы геометрические. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал. На рисунке показано последовательность построения одного такого фрактала – триадной кривой Кох.
Похожа эта кривая на абрис дальнего леса?
Блестящим примером фракталов служат кривые дракона.
Возьмем отрезок единичной длины. Добавим к его концу повернутый на 90° такой же отрезок. Получим угол.
Добавим к одному из концов этого угла его самого, тоже повернутого на 90°.
Продолжим эти действия. На следующем шаге можно получить две существенно различные фигуры, в зависимости от того, в какую сторону поворачивать исходную.
На четвертом шаге таких различных фигур (учитывая отражения и повороты) можно получить четыре.
Прелесть этой ломаной заключается в том, что ни один отрезок не проводится дважды (это можно доказать).
Одна из множества кривых дракона, получающихся после 12 шагов, приведена ниже.
Добавим к свойствам фрактала случайный фактор. Возьмем равносторонний треугольник и разделим его на четыре подобных ему, соединив середины сторон.
Случайным образом выберем один из четырех треугольников и закрасим его серым цветом. Внутри каждого незакрашенного треугольника проделаем те же операции по делению на меньшие и случайному закрашиванию.
Результат такого деления показан на картинках.
Каждый из внутренних треугольников обладает подобными внешнему свойствами. А поскольку выбор закрашивания производится случайным образом, такой фрактал можно назвать стохастическим.
Посмотрим теперь, что может дать стремление к бесконечному делению пространства в реальной жизни. Все знают, что наш геометрический мир трехмерен. Что это означает? Это означает, что любой реальный объект имеет три измерения – длину, ширину и высоту.
Для нас тоже интуитивно ясно понятие плоскости – поверхность стола, на котором лежит этот журнал, плоская. Но у этой плоскости как бы нет высоты, и человеческий разум вполне нормально воспринимает этот факт. И даже если поверхность не плоская, мы мысленно лишаем ее свойства высоты. Более того, мы понимаем, что поверхность можно деформировать без потери большинства ее свойств, а потом произвести обратное преобразование и получить исходный объект ( проведите на листе бумаге прямую линию, сомните листок, а потом расправьте – прямая останется прямой). Такими преобразованиями тел и поверхностей занимается специальный раздел математики – топология.
Прямая, проведенная на листе в предыдущем примере, как и любая линия на поверхности, воспринимается нами как объект с размерностью 1, имеюший только одно измерение – длину.
Абстрактные геометрические объекты обладают одним свойством, позволяющим сформулировать понятие размерности в математических терминах. Квадрат со стороной L на двухмерной плоскости имеет площадь L2 , объем трехмерного куба с ребром L равен L3, а объем n-мерного "гиперкуба" - Ln . Мы можем трактовать показатель степени, показывающий, по какому закону растет внутренняя область объекта при изменении размера, как его собственную размерность.
Другая трактовка размерности использует изменение масштаба для измерения внутреннего пространства объекта. Представим себе куб с ребром длиной 1 метр. Его объем, выраженный в кубических метрах, равен 1. Выразим его объем в литрах (кубических дециметрах, 1 дециметр равен 1/10 метра). Он будет равен 1000, то есть 103. А если выразить объем этого куба в сантиметрах, то это число будет равно 1 то есть 1003. Аналогично, один гектар содержит 100 “соток” и 10000 м2. И здесь показатель степени изменения численного значения объема объекта трактуется как его размерность.
А каковы все-таки размерности реальных объектов? Изучим поведение береговой линии любого континента. Оно совершенно аналогично поведению кривой Кох – при измерении все более точным инструментом длина береговой линии становится все больше. То есть размерность ее больше 1, хотя еще меньше 2. Аналогично ведут себя и другие объекты – кроны деревьев, речные системы. Причем физическая причина такого поведения объектов (кроны дерева, например) ясна – занять наибольший внешний объем такой структурой, пространственная размерность которой была бы меньше, чем размерность пространства в котором она будет находиться (для сбора солнечной энергии).
Этапы построения фрактала, имитирующего крону дерева, показаны на рисунке.
Одним из примеров фракталов является траектория частиц при броуновском движении. На рисунке представлены ломаные, показывающие положения частицы с интервалом 10 секунд и (как часть ее, в увеличенном масштабе) с интервалом 1 секунда.
То есть, случайные колебания могут порождать фрактальные структуры. Например, нерегулярные флуктуации присущи сердечной деятельности человека. Более того, врачами было установлено, что отсутствие периодических закономерностей является свидетельством нормальной работы сердца, и, наоборот, появление регулярных сердцебиений предшествовало остановке сердца.
Как уже сказано выше, фракталы широко применяются в компьютерной графике для имитации сложных объектов. Компьютерщики – люди, не обделенные чувством прекрасного, а фракталы предоставляют им возможность творить прекрасное с помощью формул и битов. Они создают программы, рисующие фракталы, собирают изображения фракталов в библиотеки и размещают их в Интернете. Советую побродить по Сети и полюбоваться не только простыми геометрическими фракталами, но и динамическими – они тоже представлены в Сети. Кстати, сама Сеть – тоже фрактал.
Александр Привалов.
