Введение в математический анализ (стр. 2 )

Полное исследование функций и , построение их графиков с использованием первой и второй производной студенты должны провести самостоятельно, выполнив упражнение к разделу 5.14.13.

1.4.11. Говорят, что функция задана в табличной форме, если она задана в виде таблицы

x	x1	x2	...	xn
f(x)	f(x1)	f(x2)	...	f(xn)

Упорядоченные пары чисел можно изобразить точками М1, М2,…, Mk координатной плоскости (см. Рис. 1.34).

Упорядоченные пары чисел на плоскости Оxy

Рис. 1.34

Соединив точки М1, М2,…, Mk, получим линию S на плоскости (см. Рис. 1.35), которая приближённо изображает график функции .

Рис. 1.35

Однако, имея только таблицу, нельзя, вообще говоря, более точно нарисовать график функции , ибо неизвестны частные значения функции f в точках оси Оx, которые находятся между точками .

Табличный способ задания функции часто встречается в прикладных задачах, когда в отдельные моменты времени фиксируются результаты наблюдений. Например, значения переменной x могут быть равны погодовым объёмам используемого основного капитала (основных производственных расходов), а частные значения функции могут быть равны соответствующим погодовым величинам национального дохода. Числовые значения погодовых объёмов основного капитала и национального дохода используются, в частности, для их экстраполяции на перспективу. Результаты такой экстраполяции могут оказаться полезными для решения аналитических и прогнозных задач.

1.5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть задана функция . Её параметрическим преставлением называется выражение её зависимой и независимой переменных в виде функции некоторого параметра t:

, .

Уравнения и называют параметрическими уравнениями графика Г функции .

1.5.2. ПРИМЕР. Функция имеет следующее параметрическое представление

, , ,

(см. Рис. 1.36).

График функции

Рис. 1.36

Более подробно параметрическое представление функции (в другой терминологии: "функция, заданная параметрически") рассматривается в разделе 4.21.1.

Упражнения

1.  Дать параметрическое представление функции .

2.  Выразить переменную y как функцию от x, если , .

1.6.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Неявная функция - функция, заданная уравнением , ещё не разрешённым относительно переменной y.

1.6.2. Явная функция может быть задана в виде уравнения , а также в виде уравнения , также не разрешённого относительно переменной x.

1.6.3. Существование неявной функции , заданной уравнением , эквивалентно разрешимости уравнения относительно переменной y при фиксированном значении переменной x. При такой постановке задачи решение уравнения зависит от фиксированного x0 и, следовательно, представляет собой частное значение неявной функции , задаваемой уравнением , ещё не разрешённым относительно переменной y. Если (неявную) функцию подставить в выражение , то получим тождество по x: в области определения (неявной) функции . Вернёмся к примеру раздела 1.6.2. Имеем

для всех x, таких, что .

Уравнение помимо функции задаёт также функцию . Следовательно, для уравнения существует неявная функция, но она не является единственной. Можно указать другие неявные функции, которые задаются уравнением . Например, такую функцию:

, , , .

Понятие неявной функции получает развитие в разделах 4.18.1 и 4.18.2.

1.7.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть область определения A функции симметрична относительно точки . Функция называется чётной (нечётной), если для любого x из области определения A справедливо равенство

.

1.7.2. ПРИМЕРЫ. Функции , - чётные, функции , , - нечётные. График чётной функции есть линия симметричная относительно оси ординат (см. Рис. 1.37), график нечётной функции есть линия симметричная относительно начала координат - точки О (см. Рис. 1.38).

График чётной функции График нечётной функции

Рис.1.37 Рис.1.38

1.7.3. Сумма, разность, произведение и частное чётных функций являются чётными. Сумма и разность нечётных функций являются функциями нечётными, произведение и частное нечётных функций являются функциями чётными.

Произведение и частное чётной и нечётных функций являются функциями нечётными. Если область определения функции не симметрична относительно точки , то эта функция не является ни чётной, ни нечётной. Функция, имеющая симметричную относительно точки область определения, может быть ни чётной, ни нечётной (например, функция ).

Любая функция , имеющая симметричную относительно точки область определения, может быть представлена в виде суммы чётной и нечётной функций

,

где

- чётная функция,

- нечётная функция.

Упражнения.

Выяснить, какие из приведённых ниже функций являются чётными, а какие нечётными.

, , , .

1.8.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Периодическая функция - это функция, частные значения которой остаются неизменными при добавлении к значениям независимой переменной некоторого фиксированного (не равного нулю) числа T, называемого периодом функции.

Число T обладает следующим свойством: для любого числа x из области определения A периодической функции числа и принадлежат множеству A и

Если функция имеет наименьший (по модулю) период , то любой период T этой функции имеет вид , .

1.8.2. ПРИМЕРЫ периодических функций.

Функции , , имеют наименьший положительный период (см. Рис. 1.20 и 1.21), функции и имеют наименьший положительный период (см. Рис. 1.22 и 1.23). Функция имеет наименьший положительный период, равный 1 (см. Рис. 1.31).

1.8.3. Исследование периодической функции и построение её графика достаточно выполнить на отрезке . Характерные точки периодической функции и её график во всей области определения A получаются путём сдвига по оси абсцисс (по оси Ox) на найденных точек на отрезке части графика периодической функции .

1.8.4. Сумма, разность, произведение и частное периодических функций с одинаковым периодом являются периодическими функциями с тем же периодом. Производная (см. Главу 4) периодической функции является периодической функцией с тем же периодом, (если, конечно, производная существует).

Упражнения.

Определить, какие из приведённых ниже функций являются периодическими, и для каждой периодической функции найти её наименьший период .

, , , , .

1.9.1. Функция с областью определения , называется возрастающей (строго возрастающей) на A, если из неравенства следует неравенство

.

Функция с областью определения , называется убывающей (строго убывающей) на A, если из неравенства следует неравенство

.

Возрастающие и убывающие функции (строго возрастающие и строго убывающие) принято называть монотонными (строго монотонными).

1.9.2. Функция с областью определения не является ни возрастающей, ни убывающей (см. Рис 1.20). Однако функция с областью определения строго возрастает на отрезке (см. Рис. 1.39).

График функции ,

Рис. 1.39

1.9.3. Функция с областью определения не является ни возрастающей, ни убывающей. Однако функция с областью определения строго убывает на отрезке (см. Рис. 1.40).

График функции ,

Рис. 1.40

Упражнение.

Привести примеры функций, которые возрастают, убывают, строго возрастают, строго убывают в некотором промежутке . Привести примеры функций, которые не являются монотонными на некотором промежутке (См. рис. 1.10-1.33)

1.9.4. В экономической теории важную роль играет понятие функции полезности . Частное значение функции полезности равно уровню (степени) удовлетворения потребностей индивидуума, если приобретает (или потребляет) некоторый продукт (товар) в количестве x0 единиц. Понятно, что разные индивидуумы могут иметь разные функции полезности. График Г функции полезности возрастающая (не обязательно строго) линия (см. Рис. 1.41), что означает, что с увеличением числа единиц приобретаемого (потребляемого) продукта уровень (степень) удовлетворения потребностей индивидуума растёт.

График функции полезности

Рис. 1.41

Таким образом, рост графика Г отражает факт ненасыщаемости потребностей индивидуума. График Г обладает ещё одним свойством: пусть пары точек на оси абсцисс таковы, что

, ,

тогда

,

(см. Рис. 1.41). Это свойство можно проиллюстрировать следующим наглядным примером: с ростом числа поедаемых яблок каждое дополнительное яблоко становится всё менее относительно полезным. Если , или относительно мала, то дробь

называется предельной полезностью продукта (товара) в точке x0 (в точке x2). Из неравенства следует, что с ростом числа единиц потребляемого (приобретаемого) продукта его предельная полезность падает (закон убывающей предельной полезности).

Этот закон имеет естественную геометрическую интерпретацию: график Г функции полезности имеет вид "горки" (см. Рис. 1.41), крутизна которой уменьшается с ростом x.

Предельная полезность обозначается символом , её график показан на Рис. 1.42.

График функции предельной полезности

Рис. 1.42

Более точно предельной полезность продукта (товара) в точке x0 называется производная функции полезности в точке x0 (определение производной было введено в курсе средней школы, см. также Главу четвёртую). К сожалению, в экономической теории используется один термин (предельная полезность) для математически разных выражений

, .

Однако из контекста всегда бывает ясно, о каком из этих математических выражений идёт речь.

1.9.5. В экономической теории и её приложениях важную роль играет понятие производственной функции . Частное значение производственной функции равно максимально возможному объёму выпускаемой фирмой продукции, если ресурс фирмой затрачивается (используется) в x0 единиц. Например, затрачиваемым ресурсом может быть труд, измеряемый в человеко-часах или в виде фонда заработной платы (месячного, годового), а выпускаемой продукцией - холодильники (число холодильников, выпускаемых в месяц, в год). В теории принято считать, что вся выпускаемая фирмой продукция реализуется на рынке по рыночной цене.

Разные фирмы имеют, вообще говоря, разные производственные функции. Производственная функция формально отражает уровень технологии фирмы. График Г производственной функции - возрастающая (не обязательно строго) линия (см. Рис. 1.43), что означает, что с ростом числа единиц затрачиваемого (используемого) ресурса объём выпускаемой продукции растёт.

График производственной функции

Рис. 1.43

Однако, при этом каждая дополнительная единица затрачиваемого (используемого) ресурса даёт всё меньший прирост объёма выпускаемой продукции, (если , , то ). Если разность или относительно мала, то дробь называется предельной производительностью ресурса в точке x0 (в точке x2). Из неравенства следует, что с ростом числа единиц затрачиваемого ресурса объём выпускаемой продукции падает (закон убывающей предельной производительности). Производственная функция на самом деле есть функция не одного ресурса, а, вообще говоря, ряда ресурсов. То, что они в функции явно не показаны, означает, что их количество не меняется. А тогда с ростом затрат одного ресурса объём выпускаемой продукции также растёт, но относительно всё более медленнее из-за того, что при значительном увеличении рабочей силы и неизменном объёме используемого капитала (основных фондов) объём выпускаемой продукции будет расти, но не столь активно, как это имело бы место при одинаковом росте ресурсов труда и капитала. Закон убывающей предельной производительности имеет наглядную геометрическую интерпретацию (аналогично наглядной геометрической интерпретации закона убывающей предельной полезности): график Г производственной функции имеет вид "горки" (см Рис. 1.43), крутизна которой уменьшается с ростом x. Если предельная производительность остаётся постоянной, то график Г производственной функции есть прямая, выходящая из точки О под острым с осью Оx углом. Если предельная производительность растёт, то график Г производственной функции напоминает "горку", крутизна которой растёт с ростом x.

Отношение называется средней производительностью ресурса в точке x0. Если ресурсом является труд, то отношение называется (средней) производительностью труда. В экономической теории (в микроэкономическом анализе) используется следующая символика и терминология:

-  общий объём выпускаемой фирмой продукции называется общим продуктом и обозначается символом TQ,

-  средняя производительность ресурса называется средним продуктом и обозначается символом ,

(напоминаем, что ресурс затрачивается, продукт выпускается)

-  предельная производительность ресурса называется предельным продуктом и обозначается символом

(разность относительно мала или равна единице).

Как и в случае предельной полезности, более точно предельной производительностью ресурса (предельным продуктом) в точке x0 называется производная производственной функции (общего продукта ) в точке x0. Из контекста бывает ясно, о каком из математических выражений предельной производительности ресурса (предельного продукта) идёт речь.

1.10.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .

1.10.2. Геометрически это означает, что прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если при неограниченном приближении точки x к точке b точка графика Г приближается к вертикальной прямой (нигде её не пересекая) и неограниченно уходит вверх (или вниз).

1.10.3. Вертикальная асимптота называется двусторонней, если график Г функции уходит неограниченно вверх (или вниз), когда точка х приближается к точке b и слева и справа (график Г при приближении точки х к точке b слева и справа может вести себя по разному (см. Рис. 1.44) или одинаково (см. Рис. 1.45 и Рис. 1.46)).

График функции вблизи асимптоты

Рис. 1.44

График функции вблизи асимптоты

Рис. 1.45

График функции вблизи асимптоты

Рис. 1.46

Прямая - двусторонняя вертикальная асимптота графика функции (см. Рис. 1.13).

Прямые - двусторонние вертикальные асимптоты графика функции (см. Рис. 1.22).

1.10.4. Вертикальная асимптота называется односторонней, если график Г функции уходит неограниченно вверх (или вниз), когда точка х приближается к точке b только с одной стороны (слева или справа) (см. Рис. 1.47 и Рис. 1.48).