Введение в математический анализ (стр. 1 )

Введение в математический анализ

1.1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовой прямой (числовой осью, координатной прямой) называется прямая линия, на которой выбраны

1) точка О (называемая началом отсчёта),

2) отрезок ОЕ (называемый масштабной единицей),

3) направление от точки О к точке Е в качестве положительного (см. Рис.1.1).

Числовая прямая

Рис. 1.1

1.1.2. Понятие числовой прямой вводится для того, чтобы точками этой прямой изображать действительные числа.

1.1.3. Если на прямой выбраны

1) в качестве начала отсчёта точка О,

2) в качестве масштабной единицы длина отрезка OE,

3) в качестве положительного направление от точки О к точке E, то говорят, что на прямой задана система координат.

1.1.4. Каждому действительному числу x соответствует единственная (своя) точка M числовой прямой. Если число x > 0, то соответствующая ему точка M и точка E расположены по одну сторону от точки О и длина отрезка OM равна x. Если число x' < 0, то соответствующая ему точка и точка E расположены по разные стороны от точки О и длина отрезка равна .

Если число , то ему соответствует сама точка О (см. Рис.1.1). Верно и обратное. Каждой точке M числовой прямой соответствует своё число x. Если точки M и E расположены по одну сторону от точки О, то x > 0; если точки и E расположены по разные стороны от точки О, то число x' < 0 если точка совпадает с точкой О, то x = 0 (см. рис. 1.1). Таким образом, между множеством точек числовой прямой и множеством действительных чисел единственным образом устанавливается взаимно однозначное соответствие, т. е. эти множества эквивалентны.

1.1.5. В связи с утверждением раздела 1.1.4 о взаимно однозначном соответствии между множеством точек числовой прямой и множеством действительных чисел каждому числу x соответствует единственная точка M и каждой точке соответствует единственное число. Это число называется координатой точки M (Символика: ).

Говорят, что точка M изображает число x, а число x описывает точку M. Часто термины "число" и "точка" используют как синонимы (точки называют числами, числа - точками). Точки на числовой прямой часто обозначаются соответствующими им числами. Множество точек числовой прямой (как и множество действительных чисел) обозначается одним символом - .

Часто используются следующие числовые множества:

- отрезок с концами a и b,

- промежуток с концами a и b,

- полупромежуток с концами a и b,

- полупромежуток с концами a и b,

- полубесконечный промежуток,

- полубесконечный промежуток,

- полубесконечный отрезок,

, - полубесконечный отрезок

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть ε > 0. e - окрестностью точки (числа) a называется промежуток (a – ε, a + e). (Символика ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть ε > 0. e -окрестностью точки (числа) a с выколотым центром называется пара промежутков , (a, a + e). (Символика ).

1.2.1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что на плоскости задана прямоугольная декартова система координат, если на плоскости заданы две взаимно перпендикулярные прямые

1) в определённом порядке,

2) с общим началом координат О,

3) с общей масштабной единицей (см. Рис.1.2).

Декартова система координат

Рис. 1.2

1.2.2. Одна из двух числовых прямых обычно выбирается горизонтальной и называется осью абсцисс (символика Оx1). Другая прямая выбирается вертикальной и называется осью ординат (символика Оx2).

1.2.3. Множество точек числовой плоскости эквивалентно множеству упорядоченных пар (x1, x2) действительных чисел. Поэтому эти два множества обозначают одним и тем же символом E2. Термин упорядоченная пара означает, что, например, пары (1,2) и (2,1) - разные.

Термины упорядоченная пара действительных чисел и точка числовой плоскости используются как синонимы.

Если точке M соответствует упорядоченная пара (x1, x2) действительных чисел x1 и x2 (или упорядоченной паре (x1, x2) соответствует точка M), то используют символику . Числа x1 и x2 называются декартовыми координатами точки M. Число x1 называется абсциссой точки M, число x2 - ординатой точки M. Как и в случае числовой прямой говорят, что точка M изображает упорядоченную пару (x1, x2), а упорядоченная пара (x1, x2) описывает точку M (см. Рис. 1.2). Далее, вместо символики (x1, x2) используется символика , т. е. вместо будем писать x, вместо писать y.

Если на плоскости задана прямоугольная декартова система координат, то множество точек плоскости можно описывать аналитически (в частности, в виде уравнений или неравенств с двумя переменными и x2 (или x и y) и наоборот, аналитические выражения (в частности уравнения или неравенства с двумя переменными x1 и x2 (или x и y) можно изображать в виде множеств на плоскости. Например, ось абсцисс (ось Ox) имеет уравнение y = 0, и наоборот, уравнение y = 0 изображается осью абсцисс (осью Ox). Аналогично ось ординат (ось Oy) имеет уравнение x = 0, и наоборот, уравнение x = 0 изображается осью ординат (осью Oy) (см. Рис. 1.3).

Декартова система координат

Рис. 1.3

1.3.1. Пусть A и B - непустые числовые множества (, ). Говорят, что задана функция f, если по определенному правилу каждому числу x из множества ставится в соответствие единственное (для каждого x, вообще говоря, своё) число .

1.3.2. Понятие функции (как и понятие множества) являются начальным, оно не определяется, а поясняется. Только что приведенный текст определением не является, ибо понятия функции и соответствия являются равнопорядковыми по своей общности в том смысле, что понятие соответствия не является более широким, чем понятие функции.

1.3.3. Функцию f более правильно было бы назвать скалярной функцией скалярного аргумента (скалярной независимой переменной). Однако в Главах 1-5 будет использоваться краткий термин: функция одной переменной.

Число y, которое функция f ставит в соответствие числу x, обозначается символом f(x) и называется частным значением (или просто значением) функции f на числе x, т. е. y = f(x). Число y называется также образом числа x, а число x- прообразом числа y = f(x). Множество A называется областью определения функции f. Множество всех значений функции f обозначается символом f(A) и называется областью значений функции f. Таким образом, f(A) Í B.

Итак, функция полностью задана (определена), если

1) задано множество A Í E1, элементам которого ставятся в соответствие элементы, вообще говоря, другого множества,

2) задано множество B Í E1, элементы которого ставятся в соответствие числам из множества A,

3) задано правило (закон) f, по которому для каждого числа задается определенное число y Î B. Однако, вместо длинной (но правильной) терминологии: "функция f из A в B" применяют краткую (не совсем правильную) терминологию: "функция f ", не называя явно множества A и B.

Используемая в литературе для записи функции символика f: A® B включает все три составные части (f, A,B) понятия функции. Символика x® f(x), xÎA (или f: x ® f(x), xÎA) предпочтительнее, ибо здесь прямо показано, что число xÎA отображается в свой образ f(x)ÎB. Наиболее употребительным является такое (укороченное) обозначение функции: f(x), xÎA, которое и будет дальше применяться.

1.3.4. Функция одной переменной может быть задана в аналитической, графической и табличной формах.

1.3.5. Говорят, что функция задана в аналитической форме (аналитическим способом), если она задана в виде формулы (или формул) достаточно хорошо известных операций.

Приведем примеры основных элементарных функций:

y = x, y = x2, y = x3, , , y = 2x,

y=ax(0<a<1), y=ax (a>1), , , , , , ,

, , , .

Приведем ещё примеры функций

, ,

, , .

Здесь символ [x] означает целую часть числа x - наибольшее целое число, не превосходящее число x.

Символ {x} означает дробную часть числа x .

Примеры: , , , , ,

, , .

Символ по-русски читается так: "антье икс".

1.3.6. Области определения функций , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , хорошо известны из школьного курса математики.

Например, область определения функций , , , , , , , , , , , , есть множество всех действительных чисел (вся числовая ось Оx).

Эти области определения принято называть естественными, ибо эти области нельзя расширить. Однако любая функция, например , может иметь в качестве области определения подмножество (часть) своей естественной области определения. Например, областью определения функции может быть отрезок . Строго говоря, функция , и функция , - это разные функции. То же самое мы можем сказать о функции , и функции , . Читателю предлагается самостоятельно привести другие примеры пар функций, аналогичных приведённым.

Если в контексте, относящемся к той или иной элементарной функции, явно не упоминается её область определения, то тогда обязательно следует иметь в виду её естественную область определения.

1.3.7. Говорят, что функция с областью определения задана в графической форме, если она задана в виде графика Гf:

Здесь в компактной форме дано определение графика функции .

В развёрнутом виде определение графика формулируется так: графиком Гf функции с областью определения называется множество точек плоскости таких, что , а (см. Рис. 1.4).

Обратим внимание на то, что вертикальная линия , проходящая через любую точку x области определения A функции

, обязательно "протыкает" график Гf функции только в одной точке (для каждого x существует своя точка ) (см. рис.1.4).

Линия – график функции

Рис. 1.4

Если линия S на плоскости такова, что есть хотя бы одна вертикальная прямая, которая "протыкает" линию S более чем в одной точке, то такая линия S не является графиком какой-либо функции (см. Рис.1.5).

Линия – не график функции

Рис. 1.5

Линия S может изображать некоторое уравнение , которое формально не эквивалентно функции , ибо при фиксированном x это уравнение имеет два решения и (см. рис.1.5), а не одно, как это должно быть в случае, если уравнение , эквивалентно функции (см. ниже раздел 1.6.1.).

1.4.8. Простейший пример функции дает линейная функция , графиком которой является прямая линия на плоскости Oxy (см. Рис.1.6) (угловой коэффициент линейной функции ).

График функции

Рис. 1.6

Линейная функция y = kx+b играет важную роль в экономической теории, формально описывая зависимость между различными экономическими показателями (например, между количеством x затрачиваемого ресурса и количеством y выпускаемой продукции). Прямые как графики линейных функций также активно используются в экономическом анализе. Например, прямая L, (представленная на Рис.1.7), помимо уравнения y = kx+b может быть описана уравнением вида px+qy=R , очевидно параметры k, b, p, q и R связаны между собой так: .

Бюджетная прямая

Рис. 1.7

В уравнении px+qy=R параметры p и q могут, например, равняться рыночным ценам продуктов (товаров): p - цена одной единицы первого продукта, q - цена одной единицы второго продукта. Если x - число единиц первого продукта, приобретаемого индивидуумом на рынке, а y - число единиц второго продукта, приобретаемого индивидуумом на рынке, то, очевидно, выражение px+qy равно сумме, которую должен "выложить" индивидуум на рынке, если он приобретает потребительский набор . Если еще известно число R денежных единиц (например, рублей), которое индивидуум готов потратить полностью на рынке, то получаем уравнение px+qy=R, которое называется бюджетным ограничением потребителя, а геометрическое представление бюджетного ограничения есть прямая L (см. Рис.1.4б), которая называется бюджетной прямой. Таким образом каждая точка бюджетной прямой (точнее её отрезка между точками её пересечения с осями Ox и Oy) изображает потребительский набор, который может приобрести на рынке индивидуум, если он тратит полностью весь свой доход R.

В экономической теории рассматриваются случаи корректировки бюджетной прямой L при изменении рыночных цен p и q и дохода R. Если цены p и q не меняются, а доход R растет и становится равным R1 , то бюджетная прямая L, перемещаясь на "северо-восток" параллельно самой себе, займет положение L1 (см. Рис.1.8).

Изменения бюджетной прямой (R2<R<R2)

Рис. 1.8

Если доход R падает и становится равным R2 , то бюджетная прямая L, перемещаясь на "юго-запад" параллельно самой себе, займет положение L2 (см. Рис.1.8). Таким образом бюджетная прямая L имеет уравнение px+qy=R, бюджетная прямая L1 - уравнение , бюджетная прямая L2 - уравнение px+qy=R2. Если цена p первого продукта растет (цена q и доход R не меняются) и становится равной p1 , то бюджетная прямая L, вращаясь по часовой стрелке вокруг неподвижной точки на оси Oy, займет положение L1 (см. Рис. 1.9).

Изменения бюджетной прямой (p2<p<p1)

Рис. 1.9

Если цена p первого продукта понижается (цена q и доход R не меняются) и становится равной , то бюджетная прямая L, вращаясь против часовой стрелки вокруг неподвижной точки на оси Oy, займет положение L2 (см. Рис. 1.9).

Таким образом бюджетная прямая L имеет уравнение px+qy=R, бюджетная прямая L1 - уравнение ,

бюджетная прямая L2 – уравнение .

Случай, когда меняется цена q второго продукта (товара), а цена p и доход R остаются постоянными, рассматривается аналогично.

1.4.9. Напомним графики основных элементарных функций, которые хорошо известны из школьного курса математики, и графики функций , , , , , (см. Рис.1

График функции График функции

Рис. 1.10 Рис. 1.11

График функции График функции

Рис. 1.12 Рис. 1.13

График функции График функции

Рис. 1.14 Рис. 1.15

График функции График функции

(0<a<1) (a>1)

Рис.1.16 Рис. 1.17

График функции График функции

(0<a<1) (a>1)

Рис.1.18 Рис. 1.19

График функции График функции

Рис. 1.20 Рис. 1.21

График функции График функции

Рис. 1.22 Рис. 1.23

График функции График функции

Рис. 1.24 Рис. 1.25

График функции График функции

Рис. 1.26 Рис. 1.27

График функции График функции

Рис. 1.28 Рис. 1.29

График функции График функции

Рис. 1.30 Рис. 1.31

График функции График функции

Рис. 1.32 Рис. 1.33

1.4.10. График Г функции (число (1828 - год рождения )) называется "кривой вероятностей" в связи с тем, что функция (точнее её модификация ) играет важную роль в теории вероятностей (См. Рис. 1.32).

Точка - точка максимума (глобального), равного 1.

Точки - точки перегиба графика Г (см. рис. 1.32 и разделы 5.1.1 и 5.14.2).

График Г функции (см. Рис. 1.33) называется "логистической кривой". Эта кривая (как и сама функция ) играет важную роль в теории вероятностей и математической статистике.