Введение в математический анализ (стр. 3 )

График функции вблизи асимптоты

Рис. 1.47

График функции вблизи асимптоты

Рис. 1.48

Прямая - односторонняя вертикальная асимптота графика функции (см. Рис 1.49).

График функции

Рис. 1.49

Упражнения. Найти вертикальные асимптоты графиков следующих функций: , , , , , .

1.11.1. Функция g называется обратимой, если из того, что следует, что g(x') ¹ g(x") (т. е. каждый образ имеет единственный (свой) прообраз), а функция h: g(x)®A называется обратной для функции g.

1.11.2. Другими словами, обратной называется функция h, которая ставит в соответствие каждому образу g(x) его прообраз x. Обратимость функции g означает, что у неё есть обратная функция h. Обратимая функция устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами А и g(A).

1.11.3. Область значений функции g есть область определения обратной функции h, а область определения функции g есть область значений обратной функции h. Обратная функции также обратима и обратной для неё является исходная функция. Функция, обратная к функции g обозначается символом g -1.

1.11.4. Функции , , , , , , определённые при , обратимыми не являются.

1.11.5. Функция с областью определения обратима, ибо на отрезке она строго возрастает (см. 1.9.3). Следовательно, для функции с областью определения (и с областью значений отрезком ) существует обратная функция, обозначаемая символом . График функции совпадает с графиком функции с областью определения отрезком . Однако, если в обратной функции поменять местами x и y, то получим функцию (которая также является обратной к функции . Так вот график функции получается из графика функции , т. е. из графика функции путём зеркального отражения относительно прямой . Т. е. графики функций и симметричны относительно прямой (см. Рис. 1.50) .

Графики функций , и

Рис.1.50

1.11.6. Пары взаимно обратных функций и , и , и , и поясняются аналогично тому, как было сделано в разделе 1.12.5 (см. Рис.1.15, 1.17-1.19).

Упражнение.

Доказать, что функция обратима.

1.12.1. Пусть даны функции и (очевидно ), т. е. функция сопоставляет каждому числу x из А одно вполне определённое число из В, а функция сопоставляет каждому числу y из В вполне определённое число (см. Рис. 1.51).

Схема образования сложной функции

Рис. 1.51

Функция f , которая ставит в соответствие каждому элементу x из множества А элемент из множества С, обозначается и называется сложной функцией (суперпозицией), составленной из функций и . Таким образом . Сложная функция может быть записана в виде цепочки , , содержащей два звена и . Переменная y называется промежуточной переменной (промежуточным аргументом). В рассматриваемом случае промежуточная переменная является функцией () другой переменной (переменной x) и не является независимой переменной). Таким образом, в случае сложной функции бывает удобно рассматривать две переменные: промежуточную (промежуточный аргумент) y (которая не является независимой переменной) и независимую переменную x. По аналогии определяются сложные функции , и т. п.

Сложная функция Может быть записана в виде цепочки , , , содержащей три звена (, , ). В этом случае имеем две промежуточные переменные (два промежуточных аргумента) u и y, которые не являются независимыми, и независимую переменную x.

1.12.2. Очевидно, и представляет собой тождественную функцию , т. е. , . Очевидно также, что , т. е. в сложной функции менять местами функции и , вообще говоря, нельзя.

1.12.3. Идея построения графика сложной функции , если известны графики составляющих её звеньев и , достаточно проста, реализация этой идеи может оказаться сложной. Построим для примера график функции . Графики функций и представлены на Рис.1.52.

Графики функций и

Рис. 1.52

График сложной функции см. на Рис. 1.53.

График функции

Рис. 1.53

Упражнения.

Построить графики функций , , , , .

1.13.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция , определённая на множестве N натуральных чисел называется функцией натурального аргумента, Таким образом, функция натурального аргумента есть функция такая, что .

1.13.2. Примеры функций натурального аргумента

, , , , .

Построим графики этих функций (см. Рис. 1.54-1.58).

График функции График функции

Рис. 1.54 Рис. 1.55

График функции График функции

Рис. 1.56 Рис. 1.57

График функции

Рис. 1.58

Обратим внимание на то, что график каждой функции есть множество изолированных точек, которые плавной линией соединять нельзя, ибо функция натурального аргумента для дробных и отрицательных x не определена.

На Рис. 1.59 представлен график произвольной функции натурального аргумента.

График произвольной функции

Рис. 1.59

Функции натурального аргумента играют важную роль в математическом анализе и его приложениях.

Важным примером функции натурального аргумента является функция с дискретным временем . Такие функции используются в экономических исследованиях и, в частности, в экономико-математическом моделировании. Многие математические величины имеют смысл в дискретном времени (валовой общественный продукт года t, национальный доход года t, объём основного капитала (основных производственных доходов) в году t и т. п.).

Упражнения.

Построить графики функций натурального аргумента:

, , , , , используя микрокалькулятор.

1.14.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совокупность частных значений

(1.4)

функции натурального аргумента, расположенных в порядке возрастания номеров, называется числовой последовательностью.

Сами частные значения функции (с учётом их прообразов - номеров) называются элементами числовой последовательности (1.4).

1.14.2. Числовая последовательность (1.4) получается из функции натурального аргумента . Обратно, имея числовую последовательность (1.4), можно построить функцию натурального аргумента, поставив в соответствие любому номеру число . Говорят, что функция натурального аргумента и числовая последовательность (1.4) соответствуют друг другу.

1.14.3. Частные значения функции натурального аргумента могут повторяться, однако повторяющиеся частные значения соответствуют разным элементам числовой последовательности, т. е. элемент числовой последовательности характеризуется не только частным значением функции, но и номерам этого частного значения.

Выпишем частные значения функции натурального аргумента, график которой представлен на Рис. 1.59:

.

Частные значения равны, однако как элементы числовой последовательности числа (на самом деле это одно число) числа и являются разными, ибо соответствуют разным номерам (в данном случае и ).

1.14.4. Элементы числовой последовательности (1.4) можно изображать точками на числовой прямой (см. Рис. 1.60).

Числовая последовательность – точки на числовой прямой

Рис. 1.60

Между множеством элементов числовой последовательности (1.4) и множеством точек, изображающих эти элементы на числовой прямой (см. Рис. 1.60) нельзя, вообще говоря, установить взаимно однозначное соответствие, ибо одна и та же точка может изображать разные элементы числовой последовательности (1.4). Однако, между множеством элементов числовой последовательности (1.4) и множеством точек графика функции натурального элемента (которая соответствует числовой последовательности (1.4)) можно установить взаимно однозначное соответствие (элементу числовой последовательности (1.4) соответствует точка графика функции натурального аргумента и наоборот).

1.15.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть , тогда дробь называется средним значением функции в точке (см. Рис. 1.61, ).

К понятию среднего значения функции в точке x

Рис. 1.61

Среднее значение функции символически принято обозначать так: .

1.15.2. По графику Г функции можно определить поведение функции (см. Рис. 1.62, на котором представлен случай, когда с ростом функция возрастает, и Рис. 1.63, на котором представлен случай, когда с ростом x функция убывает).

График функции f(x) График функции f(x)

( возрастает) ( убывает)

Рис. 1.62 Рис.1.63

1.15.3. По графику функции можно определить характер поведения функции , ибо и, следовательно, частное значение функции равно площади прямоугольника со сторонами x и (см. Рис. 1.64).

Нахождение по графику функции

Рис.1.64

1.15.4. Понятие среднего значения функции играет важную роль в экономической теории.

УПРАЖНЕНИЯ.

1.  Нарисовать эскиз графика Г функции , если график функции имеет вид представленный на Рис. 1.64.

2.  Нарисовать эскиз графика Г функции такой, чтобы с ростом x функция сначала возрастала (убывала), а потом убывала (возрастала).

1.16.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется ограниченной сверху на множестве , если существует такая постоянная , что для всех x из А справедливо неравенство

.

Функция называется ограниченной снизу на множестве , если существует такая постоянная , что для всех x из А справедливо неравенство

.

Функция называется ограниченной на множестве , если существует такая постоянная , что для всех x из А справедливо неравенство

.

Очевидно, если функция ограничена и сверху и снизу, то она ограничена. Верно и обратное.

1.16.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется неограниченной сверху на множестве , если для любой постоянной существует такое x () из А, что

.

Функция называется неограниченной снизу на множестве , если для любой постоянной >0 существует такое x () из А, что

.

Функция называется неограниченной на множестве , если для любой постоянной >0 существует такое x () из А, что

Очевидно, если функция на множестве А не является ограниченной сверху, то она не ограничена. Аналогично имеет место в случае, когда функция на множестве А не является ограниченной снизу.

1.16.3. Ограниченность функции на множестве геометрически означает, что существует горизонтальная прямая такая, что график Г функции расположен ниже этой прямой (график Г имеет "потолок"). Для функции (см. Рис. 1.20) роль такой прямой играет прямая (или, скажем, ). Следовательно, функция ограничена сверху на множестве . Ограниченными сверху на множестве являются функции (см. Рис. 11.21), (см. Рис. 1.26), (см. Рис. 1.27), (см. Рис. 1.29), (см. Рис. 1.31), (см. Рис. 1.32), (см. Рис. 1.33). Все названные здесь функции ограничены также снизу (т. е. график Г каждой из них имеет "пол") и, следовательно, ограничены на множестве . Неограниченность сверху функции на множестве геометрически означает, что как бы высоко мы не провели горизонтальную прямую , обязательно найдётся точка графика Г этой функции , которая будет расположена выше этой горизонтальной прямой (график Г "потолка" не имеет). Функции (см. Рис. 1.11), ((см. Рис. 1.49), , (см. Рис. 1.28), (см. Рис. 1.14), (см. Рис. 1.17) не ограничены сверху, но ограничены снизу. Функции (см. Рис. 1.12), (см. Рис.1.19), (см. Рис. 1.22), (см. Рис. 1.23), (см. Рис. 1.30) не ограничены сверху и снизу (т. е. график Г каждой из них не имеет ни "потолка", ни "пола").

1.16.4. Функция (см. Рис. 1.56), (см. Рис. 1.57) натурального аргумента ограничены сверху и снизу (их графики Г имеют "пол" и "потолок"). Функции (см. Рис. 1.54), (см. Рис. 1.55) натурального аргумента не ограничены сверху ("потолков" не имеют) но ограничены снизу (их графики имеют "пол", например ). Функция (см. Рис. 1.58) натурального аргумента не ограничена сверху и снизу (её график Г не имеет "пола" и "потолка").

УПРАЖНЕНИЯ.

1.  Доказать, что функция , не ограничена сверху и ограничена снизу. Нарисовать график этой функции.

2.  Доказать, что функция , , ограничена снизу и не ограничена сверху. Нарисовать график этой функции.

3.  Доказать, что функция не ограничена сверху и снизу. Нарисовать график этой функции.

4.  Пусть функция не ограничена сверху. Доказать, что функция неограниченна снизу. Дать геометрическую интерпретацию этому результату.