Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Тема урока: Сумма бесконечной геометрической прогрессии.

(Алгебра 9 класс)

Цели урока: Проверить качество знаний учащихся пройденного материала, уровень его усвоения. Предложить учащимся другой вариант доказательства формулы суммы членов геометрической прогрессии и перейти к рассмотрению суммы бесконечной геометрической прогрессии.

Ход урока:

I. Организационный момент.

Сообщить тему урока и сформулировать цели

II. Проверка знаний.

Ребятам предлагается решить самостоятельную работу по вариантам.

I B. II B.

1) Найти сумму пяти первых членов геометрической прогрессии.

b1=32 q=1/4 b1=27 q=-1/3

2) Найти сумму шести первых членов геометрической прогрессии.

3; 6; … 5; -2,5; …

3) Найти сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии(bn)

b2=4, b4=36, q > 0 b2=6, b4=24, q > 0.

4) Найти первый член геометрической прогрессии, в которой

q=2, S5=93 q=2/3, S=65.

III. Изучение нового материала.

Сначала учащимся предлагается пример с числом зёрен пшеницы

S= 1+2+22+23+…+262+263

S= 1+2(1+2+22 +…+262)

Сумма в скобках в последнем равенстве меньше S на величину последнего слагаемого 263, т. е. S=1+2(S-263). Откуда S=264-1.

По этой же схеме ребятам предлагается получить формулу в общем виде для суммы n – первых членов геометрической прогрессии.

S=b1+b1q+b1q2+…+b1qn-1

S=b1+q(S-b1qn-1)

откуда

Рассмотрим примеры:

1)  Найти сумму первых десяти членов геометрической прогрессии, в которой b1=3,

2)Найти сумму

3)Найти сумму

4)Найти сумму

S=1+2+4+8+…+2n

S=1+2(S-2n), S=2n+1-1

Теперь ребята перейдём к понятию суммы бесконечной геометрической прогрессии при |q| < 1

Рассмотрим запись, и попробуем понять её смысл.

Вычислим сумму n – первых слагаемых

При неограниченном увеличение n(n→∞) разность становится сколь угодно близкой к числу , т. е.S→. Отсюда и запись 0,333….=.

Ребята, для вычисления суммы бесконечной геометрической прогрессии при |q|<1. Используется формула , но можно пользоваться приёмом, который мы проиллюстрируем на примерах:

1)  Найти сумму

, так как сумма бесконечна, то в скобках снова стоит исходное выражение, т.е.

, откуда S=2.

2)  Найти сумму

Ребята, выполняя такие упражнения, необходимо помнить, что имеет смысл говорить о сумме лишь бесконечно убывающей геометрической прогрессии т. е. |q| <1. Если не учитывать этого, то можно прийти к абсурду, например

1+2+4+8+16+…

S=1+2(1+2+4+8+…)

S=1+2S, S=-1.

IV. Решение заданий по учебнику.

№ 000; 422; 425.

V. Итоги урока.

Повторение формул прогрессии.

VI. Домашнее задание.

№20, № 000; 424; 426.