Рабочая программа дисциплины математика (стр. 5 )

Заочная форма обучения (срок обучения 3 года)

Всего по плану ФГОС 180 часов, из них 180 часов (все часы) изучены ранее и переаттестованы.

Содержание курса

Тема 1. Элементы теории множеств

Понятия множества и подмножества. Способы задания множеств. Операции над множествами. Основные виды числовых множеств в математике.

Тема 2. Определители

Определители 2-го и 3-го порядка. Вычисление определителя. Метод треугольника. Миноры, алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. Свойства определителей. Определители п-го порядка. Определители как вспомогательный материал, облегчающий запись и анализ ряда операций (обратная матрица, преобразование уравнений кривых и т. п.).

Тема 3. Матрицы

Основные определения. Виды матриц. Алгебраические операции над матрицами. Транспонирование и его свойства. Обратная матрица: определение, свойства. Понятие о собственных числах и векторах матрицы. Ранг матрицы.

Тема 4. Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений (СЛУ) по формулам Крамера. Решение СЛУ методами Гаусса и Жордана – Гаусса. Решение СЛУ с помощью обратной матрицы. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли.

Тема 5. Аналитическая геометрия на плоскости

Системы координат. Понятия линии и связь ее с уравнением. Преобразование декартовой системы координат. Алгебраические линии – понятие и инвариантность. Прямая линия: уравнения прямой (проходящей через точку в данном направлении, через две точки, в отрезках). Угол между двумя прямыми, параллельность и перпендикулярность. Расстояние от точки до прямой. Понятие о линиях 2-го порядка: окружность, гипербола, парабола. Приемы построения линий в декартовой системе координат. Кривые 2-го порядка на уровне формулировки канонических уравнений.

Тема 6. Векторная алгебра

Определения. Геометрическая иллюстрация операций над векторами. Орт. Базис декартовой системы координат. Линейная зависимость и разложение векторов. Проекции. Задание вектора проекциями. Операции над векторами, заданными проекциями. Скалярное произведение и его использование. Понятие о линейных и евклидовых пространствах. Применение векторов в аналитической геометрии.

Тема 7. Функция и пределы

Определение и виды функциональной зависимости. Классификация функций. Пределы переменной величины и функции. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Замечательные пределы. Способы вычисления пределов. Сравнение бесконечно малых величин. Понятие о непрерывности и разрывах функции. Односторонние пределы.

Тема 8. Производная и дифференциал функции одного аргумента

Приращение аргумента и функции. Определение производной, геометрический и физический смыслы. Понятие дифференцируемости. Табличные производные и их использование. Дифференцирование сложной и неявной функции. Производные высших порядков. Дифференциал и его использование в приближенных вычислениях. Логарифмическое дифференцирование. Понятие о параметрических функциях и их дифференциации.

Тема 9. Применения производной

Правило Лопиталя для вычисления неопределенных пределов. Возрастание и убывание функций. Экстремумы. Выпуклости функций и точки перегиба. Асимптоты: вертикальные, горизонтальные, наклонные. Общая схема исследования функции и построение графиков.

Тема 10. Неопределенный интеграл

Первообразная функция и интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Способ замены переменной. Интегрирование по частям. Использование справочных таблиц.

Тема 11. Определенный интеграл

Определение интеграла по формуле Ньютона – Лейбница. Геометрический смысл интеграла, площадь криволинейной трапеции. Свойства и вычисление определенного интеграла. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям определенного интеграла. Переменные пределы и несобственные интегралы. Теорема о среднем. Приложения определенного интеграла: площадь, длина дуги кривой, объем тела вращения. Определенный интеграл как базовое понятие в задачах по моделированию экономических процессов.

Тема 12. Функции нескольких переменных

Определение и способы задания. Приращения, частные производные и дифференциалы. Полное приращение и полный дифференциал. Применение полного дифференциала. Производная и дифференциал сложной и неявной функций. Производная высших порядков. Поверхности уровня и производная по направлению. Градиент. Экстремумы: условный и с ограничениями.

Тема 13. Кратные интегралы

Определение и основные свойства. Примеры вычисления кратных интегралов. Геометрические приложения.

Тема 14. Ряды

Основные понятия и примеры. Сходимость и ее признаки: необходимый, сравнения, Даламбера, Коши. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Функциональные ряды. Степенные ряды, область и интервал сходимости. Разложение функций в степенные ряды, ряды Тейлора и Маклорена. Ряды Фурье: определения, примеры.

Тема 15. Дифференциальные уравнения

Основные понятия и примеры. Уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными. Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнения 2-го порядка: однородные и неоднородные. Дифференциальные уравнения как основной метод описания математических моделей процессов. Линейные уравнения в решении экономических задач.

Тема 16. События и их классификация. Определения вероятности случайного события

Основные определения. Виды случайных событий. Классическое определение вероятности. Статистическое определение вероятности.

Тема 17. Комбинаторика. Выборки элементов

Комбинаторика и ее общие правила. Выборки элементов. Размещения перестановки. Сочетания и их свойства.

Тема 18. Теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий. Теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий

Основные определения. Теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий и следствия из них. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.

Тема 19. Формула полной вероятности. Формула Бейеса

Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

Тема 20. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли

Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Многоугольник распределения вероятностей. Наивероятнейшее число наступлений события.

Тема 21. Простейший поток случайных событий и распределение Пуассона

Поток событий. Простейший (Пуассоновский) поток событий. Интенсивность потока. Формула Пуассона. Асимптотическая формула Пуассона.

Тема 22. Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа. Правила применения приближенных формул Пуассона и Лапласа.

Тема 23. Понятие дискретной случайной величины. Числовые характеристики дискретной случайной величины

Понятие дискретной случайной величины. Способы задания непрерывной случайной величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Ряд распределения. Числовые характеристики дискретной случайной величины: математическое ожидание (определение, его вероятностный смысл, размерность, свойства); дисперсия (определение, целесообразность введения, свойства); среднее квадратическое отклонение (определение, размерность).

Тема 24. Понятие непрерывной случайной величины. Интегральная и дифференциальная функции распределения. Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Непрерывная случайная величина. Интегральная функция распределения: свойства, график. Вычисление вероятности попадания случайной величины в заданный интервал. Плотность распределения вероятностей (дифференциальная функция распределения): определение. Вероятностный смысл, свойства, график. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Тема 25. Равномерное и показательное распределение непрерывной случайной величины

Равномерное распределение непрерывной случайной величины: определение. Интегральная функция распределения: графики, числовые характеристики. Показательное (экспоненциальное) распределение непрерывной случайной величины: определение.

Тема 26. Нормальное распределение непрерывной случайной величины

Определение. График плотности вероятности. Стандартное нормальное распределение. Влияние параметров а и σ на вид кривой плотности вероятности. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины Х в интервал (α; β). Правило «трех сигм».

Тема 29. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная статистические совокупности

Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная статистические совокупности. Основные определения. Графическое представление статистической совокупности (полигон, гистограмма, эмпирическая функция распределения). Основная задача выборочного метода. Вычисление числовых характеристик.

Тема 30. Линейное программирование. Графический метод решения задачи линейного программирования

Общая задача линейного программирования (ЛП). Основные определения (целевая функция, стандартная задача ЛП, каноническая \основная\ задача ЛП, допустимые решения, опорный план, оптимальный план). Основные теоремы. Многоугольник решений. Этапы решения задачи линейного программирования графическим методом (алгоритм решения).

Тема 31. Симплексный метод решения задачи линейного программирования

Постановка задачи. Математическая модель задачи линейного программирования (ЗЛП). Алгоритм симплексного метода решения ЗЛП.

Тема 32. Теория двойственности. Двойственная задача к задаче планирования торговли. Решение задачи линейного программирования двойственным симплексным методом

Двойственная задача к задаче планирования торговли. Основные теоремы. Анализ оптимального плана двойственной задачи. Двойственный симплексный метод. Определения. Алгоритм двойственного симплексного метода.

Тема 33. Целочисленное программирование

Общая формулировка задачи. Графический метод решения задачи. Прогнозирование эффективного использования производственных площадей. Метод Гомори.

Тема 34. Транспортная задача. Нахождение оптимального плана методом потенциалов

Общая постановка транспортной задачи (ТЗ). Математическая модель ТЗ. Основные определения (допустимый план, оптимальный план, базисный или опорный план, вырожденный или невырожденный, закрытая задача). Основные теоремы. Алгоритм построения 1-го опорного плана. Потенциалы. Теорема. Алгоритм метода потенциалов. ТЗ с «закрытым» потребителем. Альтернативный оптимум в ТЗ. Приложение транспортных моделей к решению некоторых экономических задач.

Тема 35. Математическая теория оптимального управления

Управление в динамических системах. Система дифференциальных уравнений. Понятие об устойчивости решения. Задачи анализа и синтеза. Обратная связь. Принцип максимума Понтрягина.

Тема 39. Сетевые графики

Основные понятия сетевой модели. Минимизация сети.

Тема 40. Системы массового обслуживания

Формулировка задачи и характеристики системы массового обслуживания (СМО). СМО с отказом. СМО с неограниченным ожиданием. СМО с ожиданием с ограниченной длиной очереди.

Тема 41. Экономико-математические модели

Функции полезности. Кривые безразличия. Функции спроса. Уравнение Слуцкого. Кривые «доход-потребление». Кривые «цены-потребление». Коэффициенты эластичности. Материальные балансы. Функции выпуска продукции. Производные функции затрат ресурсов. Модели поведения фирмы в условиях совершенной и несовершенной конкуренции. Модели общего экономического равновесия. Модель Эрроу – Гурвица. Статистическая и динамическая модели межотраслевого баланса. Общие модели развития экономики. Модель Солоу.

5. Образовательные технологии

Комплексное изучение учебной дисциплины «Математика» предполагает овладение материалами лекций, учебной литературы, творческую работу студентов в ходе проведения практических, а также систематическое выполнение заданий для самостоятельной работы студентов.

В ходе лекций раскрываются основные вопросы в рамках рассматриваемой темы, делаются акценты на наиболее сложные и интересные положения изучаемого материала, которые должны быть приняты студентами во внимание. Материалы лекций являются основой для подготовки студента к практическим занятиям.

Основной целью практических занятий является контроль степени усвоения пройденного материала, закрепление материала и развитие навыка самостоятельного решения задач.

При проведении занятий в аудитории используется интерактивное оборудование (компьютер, мультимедийный проектор, интерактивный экран), что позволяет значительно активизировать процесс обучения. Это обеспечивается следующими предоставляемыми возможностями: отображением содержимого рабочего стола операционной системы компьютера на активном экране, имеющем размеры классной доски, имеющимися средствами мультимедиа; средствами дистанционного управления компьютером с помощью электронного карандаша и планшета. Использование интерактивного оборудования во время проведения занятий требует знаний и навыков работы с программой ACTIVstudio и умения пользоваться информационными технологиями. Получение знаний и навыков работы с программой ACTIVstudio при проведении занятий по данной изучаемой дисциплине возможно с помощью специального обучающего курса на электронном носителе, который можно получить на факультете экономики, менеджмента и международного туризма.

6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины

6.1. Виды самостоятельной работы и формы контроля

N темы	Наименование тем	Содержание самостоятельной работы	Форма контроля
1.	Элементы теории множеств	Решение задач на действия над множествами	Контрольная работа, математический диктант
2.	Определители	Вычисление определителей методом треугольника. Нахождение миноров, алгебраических дополнений. Вычисление определителей по теореме Лапласа, по свойствам определителей, методом дописывания столбцов	Контрольная работа, индивидуальные задания
3.	Матрицы	Алгебраические операции над матрицами. Нахождение обратной матрицы, ранга матрицы	Контрольная работа, индивидуальные задания
4.	Решение систем линейных уравнений	Решение СЛУ по формулам Крамера, методами Гаусса и Жордана – Гаусса, с помощью обратной матрицы. Выяснение совместности системы линейных уравнений по Теореме Кронекера-Капелли	Контрольная работа, индивидуальные задания
5.	Аналитическая геометрия на плоскости	Решение задач на взаимное расположение прямых на плоскости, на линии второго порядка	Контрольная работа, индивидуальные задания
6.	Векторная алгебра	Решение задач на линейную зависимость и разложение векторов	Контрольная работа, инд. задания
7.	Функция и пределы	Решение пределов на первый и второй замечательные пределы. Раскрытие неопределенностей	Контрольная работа, индив. задания
8.	Производная и дифференциал функции одного аргумента	Нахождение производных элементарных функций. Дифференцирование сложной и неявной функции	Контрольная работа, математический диктант, инд. задания
9.	Применения производной	Исследования функции и построение графиков	Контрольная работа, коллоквиум, инд. задания
10.	Неопределенный интеграл	Непосредственное интегрирование. Решение интегралов заменой переменной. Интегрирование по частям	Контрольная работа, математический диктант, инд. задания
11.	Определенный интеграл	Нахождение площади криволинейной трапеции. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям определенного интеграла	Контрольная работа, математический диктант, индив. задания
14.	Кратные интегралы	Решение элементарных двойных интегралов	Контрольная работа, инд. задания
15.	Ряды	Решение примеров на сходимость и ее признаки	Контрольная работа, математический диктант, инд. задания
16.	Дифференциальные уравнения	Решение дифференциальных уравнений первого и второго порядков порядка	Контрольная работа, инд. задания
17.	События и их классификация. Определения вероятности случайного события	Решение простейших задач на вероятность	Контрольная работа, математический диктант, инд. задания
18.	Комбинаторика. Выборки элементов.	Решение примеров на размещения, перестановки, сочетания	Контрольная работа, математический диктант, инд. задания
19.	Теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий. Теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий	Решение задач на теоремы сложения и умножения вероятностей	Контрольная работа, математический диктант, инд. задания
20.	Формула полной вероятности. Формула Бейеса	Решение задач по формулам полной и вероятности и Бейеса	Контрольная работа, инд. задания, коллоквиум
21.	Повторные независимые испытания. Формула Бернулли	Решение задач на повторные независимые испытания (формула Бернулли). Составление закона распределения вероятностей	Контрольная работа, индюзадания
22.	Простейший поток случайных событий и распределение Пуассона	Решение задач на поток событий по формуле Пуассона и по приближенной формуле Пуассона	Контрольная работа, инд. задания
23.	Локальная и интегральная теоремы Лапласа	Решение задач на повторные независимые испытания с большим количеством испытаний	Контрольная работа, инд. задания
24.	Понятие дискретной случайной величины. Числовые характеристики дискретной случайной величины	Нахождение числовых характеристик дискретной случайной величины	Контрольная работа, инд. задания
25.	Понятие непрерывной случайной величины. Интегральная и дифференциальная функции распределения. Числовые характеристики непрерывной случайной величины	Нахождение интегральной функции распределения: её свойства, графика. Вычисление вероятности попадания случайной величины в заданный интервал. Плотность распределения вероятностей, график. Нахождение числовых характеристик непрерывной случайной величины	Контрольная работа, инд. задания
26.	Равномерное и показательное распределение непрерывной случайной величины	Нахождение интегральной функции распределения. Графики. Числовые характеристики	Контрольная работа, инд. задания
27.	Нормальное распределение непрерывной случайной величины	Построение графика плотности вероятности. Нахождение вероятности попадания нормально распределенной случайной величины Х в интервал (α; β)	Контрольная работа, инд. задания
28.	Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная статистические совокупности	Графическое представление статистической совокупности. Вычисление числовых характеристик	Контрольная работа, инд. задания
30.	Линейное программирование. Графический метод решения задачи линейного программирования	Решение задачи линейного программирования графическим методом	Контрольная работа, инд. задания
31.	Симплексный метод решения задачи линейного программирования	Составление математической модели и решение задачи ЛП симплексным методом. Анализ полученного решения	Контрольная работа, инд. задания
32.	Теория двойственности. Двойственная задача к задаче планирования торговли. Решение задачи линейного программирования двойственным симплексным методом	Составление двойственной задачи к задаче планирования торговли. Анализ оптимального плана двойственной задачи. Решение задачи двойственным симплексным методом	Контрольная работа, инд. задания
33.	Целочисленное программирование	Решение задач методом Гомори	Контрольная работа, инд. задания
34.	Транспортная задача. Нахождение оптимального плана методом потенциалов	Решение транспортной задачи методом потенциалов.	Контрольная работа, инд. задания
37.	Матричные игры	Графическое решение игр вида (2´п) и (т´2)	Контрольная работа, инд. задания
41.	Сетевые графики	Расчет временных параметров, построение сетевого графика и распределение ресурсов. Минимизация сети	Контрольная работа, инд. задания
43.	Системы массового обслуживания	Решение задач СМО.	инд. задания

6.2. тематика семинарских занятий

Тема 1. Элементы теории множеств

1. Решение задач на действия над множествами.