Геометрическая вероятность

Урок 3.

Геометрическая вероятность.

Недостатком классического определения вероятности является предположение, что число элементарных исходов конечно, хотя на практике часто встречаются испытания с бесконечным числом всевозможных исходов. Для преодоления этого недостатка вводятся геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости, часть объема, часть отрезка времени и так далее).

Вероятность попадания точки в какую-нибудь часть g области G прямо пропорциональна мере (mes) этой области (длине, площади, объему) и не зависит от ее расположения и формы

.

Задача о встрече. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение четверти часа и уходит. Найти вероятность того, что встреча состоялась, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов).

Решение:

Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат ХOУ, приняв для простоты, что встреча состоится между 0 и 1 часами.

Встреча состоится, если

=>

- заштрихованная область между прямыми:

y=x+1/4 и y=x-1/4, находящаяся внутри квадрата

, , .

Следовательно, вероятность того, что встреча состоится, равна 7/16, так как площадь квадрата равна единице.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Теорема: Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B)=P(A)+P(B).

Следствие: Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

или

Пример. Какова вероятность появления цветного шара из корзины, в которой 5 белых, 13 красных, 2 зеленых и 6 синих шаров?

Решение:

Если событие A – появление красного шара, B – зеленого, C – синего, то , , . Следовательно , так как событие A, B,C попарно независимы.

Эта задача проще решается с использованием теоремы: Сумма вероятностей А1, А2, …, Аn, образующих полную группу, равна единице: P(A1)+P(A2)+P(A3)+…+P(An)=1

Пусть событие D – появление белого шара, тогда , так как .

Вероятность противоположного события.

Теорема: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Принято вероятность противоположного события Ā обозначать q, если вероятность события A равна p.

p + q = 1 => p = 1 - q.

Например, пусть вероятность попадания при каждом выстреле p=0.8, тогда вероятность промаха q = 1 – p = 1 - 0.8 = 0.2.

Независимые события.

Событие A называется независимым от события B, если вероятность события A не зависит от того, произошло событие B или нет.

Событие A называется зависимым от события B, если вероятность события A меняется в зависимости от того, произошло событие B или нет.

События A – вынуть один шар из корзины и B – вынуть второй шар из той же корзины без возвращения является зависимым, так как второй шар вынимают из корзины, содержащей на один шар меньше. Речь идет о выемке шаров определенного цвета. Если же шар возвращается в корзину, то события A и B независимы.

Условная вероятность.

Вероятность события всегда вычисляем при выполнении неких определенных условий. Это вероятность безусловная. Если, кроме заданных, налагаются еще какие-нибудь дополнительные условия, то вероятность называется условной. То есть вероятность события A, вычисленная при условии, что уже наступило событие B, называется условной.

Обозначение P(A/B) или PB(A).

Условная вероятность вводится для характеристики зависимости одних событий от других.

Условие независимости события A от события B можно записать в виде P(A/B) = P(A), а условие зависимости: P(A/B) ≠ P(A), где P(A) – безусловная вероятность события A.

Исходя из классического определения вероятности, условная вероятность определяется следующим образом:

Условной вероятностью события A, при условии, что произошло событие B, называется отношение вероятности произведения этих событий к вероятности события B, причем P(B) ≠ 0:

.

Данная формула не совсем удобная для вычислений, например, при решении следующей задачи:

Пример. На полке 15 книг: 8 в переплете и 7 без переплета. Какова вероятность (не глядя) выбрать второю книгу в перелете, если первая была без переплета?

Решение:

1.  Пусть A – выбрать книгу без переплета, B – в переплете. Так как A произошло, то на полке 14 книг, из них 8 в переплете. Значит, .

2.  По формуле , так как P(A)=7/15; .