Математика (стр. 1 )

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

«МАТЕМАТИКА»

Рекомендуется для направления подготовки

100700 Торговое дело

Квалификация выпускника - бакалавр

Санкт-Петербург

2011 год

1. Цели и задачи дисциплины: накопление необходимого запаса сведений по математике (основные определения, теоремы, правила), а также освоение математического аппарата, помогающего моделировать, анализировать и решать экономические задачи, помощь в усвоении математических методов, дающих возможность изучать и прогнозировать процессы и явления из области будущей деятельности студентов; развитие логического и алгоритмического мышления, способствование формированию умений и навыков самостоятельного анализа исследования профессиональных проблем, развитию стремления к научному поиску путей совершенствования своей работы.

2. Место дисциплины в структуре ООП: дисциплина «Математика» относится к циклу Б.2.1 Математический и естественнонаучный цикл, Базовая часть. Входные знания, умения и компетенции студентов должны соответствовать курсу математики общеобразовательной школы. Дисциплина «Математика» является предшествующей для следующих дисциплин: «Математические методы и модели в коммерческой деятельности», «Статистика», «Бухгалтерский учет», «Маркетинг», «Логистика», «Менеджмент», «Риски в коммерческой деятельности», «Управление запасами».

3. Требования к результатам освоения дисциплины:

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:

владением культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-1); умением логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь, способностью свободно владеть литературной и деловой письменной и устной речью на русском языке, навыками публичной и научной речи; создавать и редактировать тексты профессионального назначения, анализировать логику рассуждений и высказываний (ОК-2); способностью находить организационно-управленческие решения в нестандартных ситуациях, самостоятельно принимать решения и готовностью нести за них ответственность (ОК-4); готовностью к выполнению гражданского долга и проявлению патриотизма (ОК-5); способностью применять основные законы социальных, гуманитарных, экономических и естественно-научных наук в профессиональной деятельности, а также методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования; владением математическим аппаратом при решении профессиональных проблем (ПК-1);

В результате изучения дисциплины студент должен:

Знать: аналитическую геометрию и линейную алгебру, теорию вероятностей и статистические методы обработки экспериментальных данных.

Уметь: производить расчеты математических величин; применять статистические методы обработки экспериментальных данных.

Владеть: методами математического анализа и моделирования, математическим аппаратом при решении профессиональных проблем.

4. Объем дисциплины и виды учебной работы

Общая трудоемкость дисциплины составляет 11 зачетных единиц.

Вид учебной работы	Всего часов	Семестры
1	2	3
Аудиторные занятия (всего)	180	72	54	54
В том числе:	-	-	-	-
Лекции	68	24	22	22
Практические занятия	112	48	32	32
Самостоятельная работа (всего)	216	72	54	54
В том числе:	-	-	-	-
Тест №1	24	24
Контрольная работа №1	12	12
Тест №2	24	24
Контрольная работа №2	12	12
Тест №3	22		22
Тест №4	22		22
Контрольная работа №3	10		10
Тест №5	22			22
Тепст№6	22			22
Контрольная работа №4	10			10
Зачет (1, 3), экзамен (2)	36		36
Общая трудоемкость час зач. ед.	396	144	144	108
11	4	3+1	3

5. Содержание дисциплины

5.1. Содержание разделов дисциплины

1. Линейная алгебра.

Элементы векторной алгебры. Векторы и действия с ними. Координатные орты. Разложение вектора по координатным осям, координаты вектора. Длина вектора. Угол между векторами. Скалярное произведение и его свойства.

Метод координат. Прямоугольные (декартовы) координаты на плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Преобразование координат на плоскости. Полярные координаты.

Прямая на плоскости. Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой и его исследование. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении. Уравнение пучка прямых. Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки. Угол между 2-мя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности 2-х прямых.

Плоскость и прямая в пространстве. Общее уравнение плоскости, Каноническое уравнение прямой в пространстве. Взаимное расположение плоскостей и прямых в пространстве.

Матрицы. Матрицы и их классификации. Действия над матрицами. Экономические примеры.

Определители. Определители 2-го и 3-го порядка. Понятие об определителях n-го порядка. Свойства определителей. Способы вычисления определителей n-го порядка.

Обратная матрица. Теорема существования и единственности обратной матрицы. Способы вычисления обратной матрицы.

Ранг матрицы. Элементарные преобразования и их применение для нахождения ранга.

Системы линейных уравнений. Матричная и векторная формы записи системы линейных уравнений. Теорема Крамера. Понятие о базисном миноре. Теорема Кронекера-Капелли. Исследование системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Однородные системы. Геометрическая интерпретация систем линейных уравнений и неравенств. Экономические примеры.

Линейное пространство. Пространство Rn; n-мерные векторы и действия над ними. n - мерное векторное пространство. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов, критерии линейной зависимости и независимости системы векторов. Базис пространства Rn, разложение вектора по базису. Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы и их свойства. Знакомство с линейной балансовой моделью.

Элементы математического программирования. Примеры экономических задач, решаемых методами математического программирования. Классификация основных методов математического программирования. Симплексные таблицы. Экономическая интерпретация элементов симплексной таблицы. Улучшение опорного решения. Определение ведущих столбца и строки. Выбор начального допустимого базисного решения. Введение искусственных переменных. Понятие о теории двойственности (без доказательств). Экономическая и математическая формулировки транспортной задачи. Метод потенциалов. Основные способы построения начального опорного решения. Транспортные задачи с нарушенным балансом производства и потребления. Транспортные задачи с дополнительными условиями.

2. Математический анализ

Введение в математический анализ. Множества: основные операции, свойства, геометрическое истолкование. Формулы Моргана. Множество действительных чисел и числовая прямая. Числовые промежутки. Декартово произведение множеств. Понятие отображения.

Числовые последовательности. Определение и свойства числовых последовательностей. Пределы числовой последовательности. Свойства сходящихся числовых последовательностей. Существование предела у ограниченной монотонной последовательности.

Понятие функции. Основные элементарные функции и их графики. Предел функции в точке и на бесконечности. Замечательные пределы. Экономические примеры (непрерывное начисление процента). Понятие непрерывной функции. Непрерывность элементарных функций. Вычисление пределов с использованием свойства непрерывности. Бесконечно малые функции и их свойства. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции и их применение при вычислении пределов. Бесконечно большие функции. Связь между бесконечно большими функциями и бесконечно малыми. Свойства функций, непрерывных на отрезке (существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений).

Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Производная функции в точке, ее геометрический, механический и экономический смысл. Производная суммы, произведения и частного. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные элементарных функций. Производные высших порядков. Дифференцируемость функции. Дифференциал и его геометрический смысл. Приложения дифференциала к приближенным вычислениям. Экономические понятия, связанные с понятием производной. Логарифмическая производная и эластичность функции. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.

Исследование функций одной переменной. Условия возрастания и убывания функции. Точки экстремума. Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции. Достаточные условия экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема исследования и построения графика функции. Примеры функций, встречающихся в экономике. Многочлен Тейлора для функции одной переменной. Формулы Тейлора и Маклорена (без доказательства). Примеры разложений элементарных функций. Применение разложений для приближенных вычислений, оценка точности приближенных формул.

Интегрирование функций одной переменной. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Определения и простейшие свойства. Таблица основных неопределенных интегралов. Правила интегрирования. Основные методы интегрирования (метод замены переменной и интегрирования по частям). Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла, теорема о среднем. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла методами замены переменной и интегрирования по частям. Приложение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Несобственные интегралы. Экономические понятия, связанные с определенным интегралом. Использование определенных интегралов в экономических задачах.

Функции нескольких переменных. Открытые и замкнутые области на плоскости и в пространстве. Функция двух переменных, область определения, график. Функция n –переменных. Предел функции. Непрерывность функции, свойства непрерывных функций. Функции нескольких переменных в экономике.

Дифференцирование функций нескольких переменных. Частные производные. Эластичность функций нескольких переменных. Частные производные сложной функции. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Дифференциал и его геометрический смысл. Производная функции по направлению Градиент и его свойства. Частные производные высших порядков. Экономические понятия, связанные с понятием частной производной. Однородные функции. Экономические примеры.

Экстремумы функции нескольких переменных. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума для функций двух переменных. Условный экстремум. Метод подстановки и метод неопределенных множителей Лагранжа. Экономические примеры.

Задача оптимизации функций. Нахождение наименьшего и наибольшего значения функции нескольких переменных в замкнутой области. Метод наименьших квадратов. Экономические приложения.

Кратные интегралы. Двойные и повторные интегралы. Вычисление двойных интегралов в прямоугольных и полярных координатах.

Числовые и степенные ряды. Числовой ряд и его сумма. Необходимое условие сходимости. Свойства сходящихся рядов. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная сходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Степенные ряды. Область и радиус сходимости степенного ряда. Примеры разложений элементарных функций в степенные ряды.

3. Теория вероятностей и математическая статистика.

Случайные события. Предмет теории вероятностей и ее значение для экономической науки. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Понятие случайного события. Классическое и геометрическое определения вероятности. Комбинаторика. Частота события, ее свойства, статистическая устойчивость частоты. Аксиомы теории вероятностей. Простейшие следствия из аксиом. Классическое и геометрическое определения вероятности случайного события. Теорема сложения вероятностей. Условная частота, ее устойчивость. Условная вероятность события. Формула умножения вероятностей. Независимые события. Формула полной вероятности и формула Байеса. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Приближенные формулы (теорема Муавра-Лапласа).

Случайные величины дискретного типа. Понятие случайной величины. Дискретные случайные величины (ДСВ). Ряд распределения. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Независимые случайные величины. Системы случайных величин. Функции от случайных величин. Математическое ожидание ДСВ, его вероятностный смысл. Свойства математического ожидания случайной величины. Дисперсия случайной величины, ее свойства. Среднее квадратическое отклонение. Моменты случайных величин.

Непрерывные случайные величины (НСВ). Функция распределения случайной величины, ее свойства. Плотность распределения вероятностей случайной величины, ее свойства. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение НСВ. Моменты НСВ. Равномерное распределение. Нормальное распределение. Мода, медиана, асимметрия, эксцесс. Правило трех стандартов.

Элементы теории корреляции. Совместное распределение двух случайных величин. Функциональная зависимость и корреляция. Функция регрессии. Линейная регрессия. Корреляционный момент (ковариация) и коэффициент корреляции.

Закон больших чисел. Понятие о законе больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Понятие о теореме Ляпунове.

Основы выборочного метода и элементы статистической теории оценивания. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд, интервальный вариационный ряд. Полигон, гистограмма. Выборочная функция распределения. Числовые характеристики выборки. Точечное оценивание параметров распределения. Несмещенность, состоятельность и эффективность оценки. Выборочная средняя как оценка генеральной средней. Оценка генеральной дисперсии. Интервальное оценивание параметров распределения. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Интервальное оценивание генеральной средней и генеральной дисперсии.

Статистическое исследование зависимостей. Корреляционный и регрессионный анализ. Корреляционная таблица. Выборочный коэффициент корреляции. Построение выборочных линейных уравнений регрессии. Множественная линейная регрессия. Частные и множественные коэффициенты корреляции. Экономические примеры.