,
учитель математики и физики
МОУ ООШ с. Колдаис
Шемышейского района
лауреат конкурса «Лучшие учителя России – 2007»
Тема «Задачи на построение» по геометрии в 7 классе вызывает у учащихся некоторые затруднения в оформлении записи условия и решения. Вот уже около 15 лет мы оформляем задачи своеобразным методом, который очень удобен и при доказательстве того факта, что построенная фигура обладает указанным свойством.
ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ ПО ГЕОМЕТРИИ В 7 КЛАССЕ
ПО УЧЕБНИКУ А. В.ПОГОРЕЛОВА
(Построение геометрической фигуры с помощью циркуля и линейки)
Решение задачи состоит не столько в построении фигуры, сколько в решении вопроса о том, как это сделать, и соответствующем доказательстве. Задача считается решённой, если указан способ построения фигуры и доказано, что в результате выполнения указанных построений действительно получается фигура с требуемыми свойствами.
ЛИНЕЙКОЙ можно провести: 1) любую прямую, 2) любую прямую, проходящую через данную точку, 3) прямую, проходящую через 2 данные точки.
ЦИРКУЛЕМ можно: 1) описать из данного центра окружность данного радиуса, 2) отложить данный отрезок на данной прямой от данной точки.
с Задача 5.1 «ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА С ДАННЫМИ СТОРОНАМИ»
b Дано: а, b,с, а < b +с
а Построить Δ АВС,
СА = b, ВС = а, ВА = с
Решение:
АНАЛИЗ А 1)пр., В Є пр. Док – во: В ΔАВС
А 2) окр. (В,а), С, ВС = а,
с b 
3) окр. (В,с), В А = с,
4) окр. (С,b), т.А СА = b
В а С 5)ΔАВС
В С
Задача 5.2 «ПОСТРОЕНИЕ УГЛА, РАВНОГО ДАННОМУ»
Дано: <А,
С ОМ –полупрямая
Построить <О = <А в верхнюю полуплоскость
Решение: Док – во: Δ ОВ1С1 = Δ АВС (по III признаку равенства Δ:
А В 1) окр.(А, любой R), В и С, АВ = R
2)окр. (О,этим же R), В1 ОВ1 = R ОВ1 = АВ
С1
3) окр. (В1,ВС) С1 АС =R, ОС1 = R à ОС1 = АС, В1С1 = ВС
4) <О = <А Значит <О = <А
О В1 М
Задача 5.3 «ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ УГЛА»
Дано: <А
Построить АD –биссектрису <А
Решение: Док – во: Δ АВD и Δ АСD, АD –общая,
1) окр. (А, любой R), В и С, АВ = АС = R
2) 
окр. (В, этим же R), ВD = CD = R
3) окр. (С, этим же R) т. D, Значит Δ АВD = Δ АСD (по Ш признаку равенства Δ),
3) АD – биссектриса значит <DАВ = < DAC, значит AD - биссектриса А
Задача 5.4 «ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА ПОПОЛАМ»
С
Дано: отрезок АВ Док – во:
Разделить АВ пополам 1)ΔСАС1 и Δ СВС1
Решение: СС1 – общая
А 1)окр. (А,АВ), АС = АС1 = АВ АС =ВС
В 2) окр. (В,АВ), т. С и С1 ВС = ВС1 =АВ АС1 =ВС1
3) О = АВ ∩ СС1 Значит Δ САС1 = Δ СВС1 (по III)
О -середина АВ и <АСО =< ВСО
С1
2) Δ АСО и Δ ВСО
<АСО =< ВСО, АС = ВС
СО - общая
ΔАСО =Δ ВСО(по I: по 2 стор. и углу м/у ними)
Значит АО = ВО
Задача 5.5 «ПОСТРОЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ПРЯМОЙ»
|
a А
В a
I А О В II случай
случай
РЕШЕНИЕ:
I
1) окр.(О, любой R), А, В II О1
2) окр. (А,АВ), 1) окр.(О, любой R>расстояния от О до a), А, В
3) окр. (В,АВ) С 2) окр. (А, этим же R)
4) ОС┴ a 3) окр. (В, этим же R) О и О1
Док – во: 4) ОО1 ┴ а
ΔАСО и ΔВСО Док – во:
АС = ВС = АВ 1)С = АВ ∩ ОО1 2) Δ ОАС и Δ О1АС
СО – общая Δ АОВ и ΔАО1В ОА = О1А=R, АС - общая
АО = ВО = R АО = АО1= R, ВО = ВО1= R <ОАС = <О1АС
Значит ΔАСО = ΔВСО и <АОС = <ВОС, а АВ - общая Значит Δ ОАС = Δ О1АС, они смежные, значит Значит Δ АОВ = ΔАО1В значит <АСО = <АСО1,
<АОС = <ВОС = 90°, ОС┴ a и <ОАС = <О1АС а они смежн., зн. по 90°
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
№23 (1а) Построить треугольник АВС по стороне АВ = 5см, АС = 6см, <А = 40° .
А 5см В Дано: АВ = 5см, АС = 6см, <А = 40° .
Построить Δ АВС
А 6 см С Решение:
Анализ 1)пр., А Є пр. Док – во:
В 2) окр. (А, 6см), С АС = 6см,
А 40° 3) <А = 40° <А = 40°
4) окр. (А, 5см), В АВ =5 см
5) Δ АВС
А С
№23 (2а) Построить треугольник АВС по стороне АВ = 6см, <А = 30°, <В = 50°
А
30°
А 6см В Дано: АВ = 6см, <А = 30°,<В = 50°
Построить Δ АВС
Решение:
В 50° Анализ Построение: Док –во:
С 1)пр., А Є пр. Δ АВС
2)окр. (А,6см), В АВ = 6см
3) <А = 30° <А = 30°
4)<В = 50° т. С <В = 50°
5) Δ АВС
А В
№30 Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из них.
Дано: а - сторона
а m - сторона
n - медиана
m Построить Δ АВС
n Решение: Док – во:
Анализ 1)пр., В Є пр. Δ АВС
С 2) окр. (В, m), А ВА=m
|
а m D – середина АВ,
4) окр. (D, n) DС = n
5) окр. (В, а) т. С ВС = а
В D m А 6) Δ АВС
Наибольший отрезок а < n +½m
№35 Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету.
Дано: k, g
k Построить Δ АВС,
g <А = 90°
а Анализ а Построение:
С С
I II I 1) пр. b, А Є пр. b II 1)пр. b, А Є пр. b
k < g g g 2)а┴ b, А Є а 2) окр. (А, k), В
k - катет k или 3) окр. (А, k ), С 3) а┴ b, А Є а
g
- гипотенуза b 4)окр. (С, g ), В 4) окр. ( В, g ) т. С
А В b А k В 5) Δ АВС 5) Δ АВС
Док – во:
I Δ АВС II Δ АВС
<А = 90° <А = 90°
АС = k АВ = k
ВС = g ВС = g
В статье разным цветом выделены те элементы, по которым делаем вывод, что построенный элемент указанного размера. На это учитель обращает внимание учащихся на первом уроке решения задач. Ученики быстро это запоминают и хорошо усваивают. В тетрадях учащиеся, конечно, не выделяют разным цветом.
Обратите внимание, что при решении конкретных задач на построение фигуры по заданным элементам в оформлении решения мы не записываем полностью алгоритм построения угла, равного данному; деление отрезка пополам; построение биссектрисы; проведение перпендикуляра к прямой. Просто пишем, что отложен угол заданной градусной меры или проведён перпендикуляр. Опыт показывает, что учащиеся легко усваивают данную тему по такой методике оформления решения задач.
