ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПРИКЛАДНОЙ БИОТЕХНОЛОГИИ
(МГУПБ)
Кафедра физики
Методические указания к решению задач и задачи по физике для поступающих в вузы
технологического и технического профиля
Ч.2.ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ.
ОПТИКА. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ
, ,
Москва
2011
ВВЕДЕНИЕ
Научиться решать задачи по физике – это значит освоить абстрактно-логический подход к разрешению многих технических и технологических проблем. В то же время, как мы надеемся, настоящее пособие поможет старшеклассникам подготовиться к успешной сдаче ЕГЭ по физике, в особенности, к заданиям категорий сложности В и С.
В настоящем учебном пособии представлены задачи по физике по разделам «Электромагнетизм», «Оптика», «Элементы квантовой физики». Условия некоторых из них связаны с тематикой пищевого производства, что важно для ранней профессиональной ориентации школьников. Даются подробные методические указания к решению задач и примеры решения типовых задач по различным темам.
Для облегчения работы школьников над решением задач перед каждым параграфом приводятся основные физические законы, определения и формулы, касающиеся рассматриваемой темы. Векторные величины выделены в формулах жирным шрифтом.
Пособие снабжено необходимыми приложениями со справочными таблицами физических величин и некоторыми сведениями из математики.
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Предлагаемые к самостоятельному решению задачи скомпонованы по разделам, параграфам и темам, которые расположены в соответствии с традиционной последовательностью изложения курса физики. При решении задач рекомендуем продвигаться от темы к теме в той же последовательности.
Для решения представленных в пособии задач по физике требуются следующие основные знания и умения по математике: умение решать уравнения и системы линейных и квадратных уравнений; находить десятичные и натуральные логарифмы и возводить числа в любую степень с помощью калькулятора; находить тригонометрические функции; определять стороны треугольника по известным углам и стороне; уметь складывать и вычитать векторы, уметь находить производные простых функций.
Прежде, чем приступать к самостоятельному решению задач на определенную тему, нужно ознакомиться с этой темой по учебнику. Затем изучить кратко изложенные в настоящем пособии основные физические законы и определения, касающиеся этой темы. Далее следует разобрать приведенные в пособии примеры решения типовых задач по рассматриваемой теме. После этого можно приступать к самостоятельному решению задач на разобранную тему.
Примерный алгоритм решения таков:
1. Внимательно прочесть условие задачи и полностью переписать его в свою тетрадь, если выполняется контрольная работа.
2. Нарисовать, если это возможно, пояснительный чертеж или схему к задаче.
3. Записать краткие данные, переведя их в систему СИ.
4. Начинать решение с указания тех физических законов и определений, на которые опирается решение данной задачи.
5. Проводить решение в общем виде до конца, по ходу давая необходимые пояснения.
6. Полученные расчетные формулы проверить на соответствие размерностей.
7. Подставить численные данные и рассчитать искомые величины.
Правильность решения можно проверить, подставив найденные значения в ряд формул, использованных в ходе решения; при верном решении получатся исходные данные.
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
§ 7. Магнитное поле.
Основные формулы
Закон Био-Савара-Лапласа. Магнитная индукция dB поля, создаваемого элементом проводника с током, выражается формулой
, в векторной форме: dB = m0 m[ I dl ∙r]/(4pr3) ,
где m0 – магнитная постоянная (m0 = 4p×10-7 Гн/м); m - магнитная проницаемость среды (для вакуума и воздуха m = 1); dl – длина элемента проводника; I – сила тока в проводнике; a - угол между направлением тока в элементе проводника и радиусом – вектором, проведенным от середины элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция.
Магнитная индукция В связана с напряженностью Н магнитного поля соотношением
B = m0 m H
Вектор магнитной индукции в центре кругового витка с током перпендикулярен плоскости витка (правило буравчика), а его величина равна:
где R – радиус кривизны витка.
Величина напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током вне провода:
где r – расстояние от оси провода.
Магнитная индукция поля внутри тороида и бесконечно длинного соленоида
B = mm0 In,
где n – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида.
Принцип суперпозиции магнитных полей
B = B1 + B2 + B3 + ………..,
где B1, B2, B3 ….. – векторы магнитной индукции складываемых полей; B - вектор магнитной индукции результирующего поля.
Для двух полей будем иметь B = B1 + B2, а модуль выразится соотношением
,
где a - угол между векторами B1 и B2.
Сила Ампера равна векторному произведению:
FA = [Il B], ее величина FA= I lB sina
где Il – вектор элемента тока, a - угол между направлением вектора элемента тока I в проводнике длиной l с учетом направления тока и направлением вектора магнитной индукции B внешнего поля.
Величина силы F, действующей на отрезок l одного из двух бесконечно длинных проводов, находящихся на расстоянии d друг от друга, по которым текут токи I1 и I2, выражается формулой
.
Магнитный момент Pm контура с током
Pm = I S n,
где S – площадь, охватываемая контуром с силой тока I, n – единичный вектор нормали к поверхности S, его направление связано с направлением тока в контуре и определяется по правилу буравчика.
Механический момент М, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле с индукцией В
M = [Pm B ], его величина M = PmB sin a ,
где a - угол между векторами Pm и B.
Сила F, действующая на заряд q, движущийся со скоростью v в магнитном поле с индукцией B (сила Лоренца), выражается формулой :
F = q[v B ] , ее величина F = qvB sin a,
где a - угол, образованный векторами v и B.
Примеры решения задач
Пример 1. По двум кольцевым проводникам, имеющим общий центр, текут в одном направлении токи 5 А и 8 А. Радиусы кольцевых проводников 7 и 9 см. Угол между плоскостями кольцевых проводников. 60º. Определить напряженность магнитного поля в общем центре колец.
Дано:
I1 = 3 A; R1 = 5 см;
I2 = 8 А; R2 = 10 см;
j = 60o
H рез = ?
Решение
Согласно принципу суперпозиции
В рез = В1 + В2
Здесь В1 = mm0I1/2R1 и В2 = mm0I2/2R2 - величины векторов индукции В1 и В2 магнитных полей в центре колец.
Поскольку В = mm0Н, можно перейти к суперпозиции векторов напряженности магнитных полей:
Н рез = Н1 + Н2 , где
H1 = I1/2R1; H2 = I2/2R2 (1)
Векторы Н1 и Н2 в центрах соответствующих колец направлены перпендикулярно их плоскостям и, следовательно, составляют между собой угол 60о. Векторное сложение по теореме косинусов дает
H рез = (H12 + H22 +2H1H2 cos j)1/2 (2)
Подставив (1) в (2), а затем подставив численные данные, произведем вычисления и получим
Ответ: Н рез = 69,54 А/м.
Пример 2. Внутри длинного соленоида перпендикулярно его оси расположен прямой проводник с током 8 А длиной 5 см. Какая сила действует на проводник, если соленоид имеет 20 витков на 1 см и по его обмотке течет ток 6 А?
Дано:
Iпр =8 A; l =5 см;
I с =6 A;
n =20 см-1= 2000 м-1
FA = ?
Решение
Для определения величины силы, действующей на провод, воспользуемся законом Ампера:
FA= I l B sina (1)
Внутри соленоида создается магнитное поле с индукцией В, направленное по оси; при этом, согласно условию задачи вектор элемента тока Il перпендикулярен оси и, следовательно В. Величину магнитной индукции В определим с помощью теоремы о циркуляции или по готовой формуле:
B = mm0 In. (2)
Для воздуха m =1. Подставив (2) в (1), получаем:
FA= Iпр lm0 Iс n =8× 5 ×10-2 ×2 ×103 ×6 ×4p 10-7 =6,03 ×10-3 (Н).
Ответ: FA = 6,03 мН.
Пример 3. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 3 кэВ, влетает в однородное магнитное поле под углом 30° и начинает двигаться по винтовой линии. Индукция магнитного поля равна 10 мТл. Найти радиус витка и шаг винтовой линии.
Дано:
U = 3 кэВ =3 ×103 ;
B = 10-2 Тл; a = 30o ;
m = 9,1×10-31 кг;
е = 1,6 ×10-19 Кл
R =? h = ?
Решение
Определим скорость v, с которой электрон влетел в магнитное поле, используя закон сохранения и превращения энергии:
Wэл =Wкин, или mv2/2 =eU
Отсюда находим
v = (2eU/m)1/2
Действующая со стороны магнитного поля сила Лоренца направлена перпендикулярно скорости движения заряда и является центростремительной силой. Таким образом, за счет перпендикулярной к В составляющей скорости v^ электрон совершает вращение с радиусом R и периодом Т, а за счет параллельной составляющей v|| происходит дальнейшее продвижение электрона, т. е. движение по винтовой траектории с шагом h:
h= v|| T.
Здесь v|| = v cos a; v^ = v sin a.
Радиус траектории определим из условия равенства Fцб = FЛ, или
mv^2/R =e v^ B.
Откуда находим R:
R = m v^/(e B) = m v sin a /(e B)= m (2eU/m)1/2 sin a /(e B).
Период Т определим, зная радиус R и v^:
T = l окр/ v^ = 2p R / v^ = 2p m/(e B).
Тогда шаг
h= v|| T =2p m (2eU/m)1/2 cos a /(e B) = (2p/B) (2U m/e)1/2 cos a.
Поставив численные данные, получим
Ответ: R = 0,92 см; h = 10 см.
Задачи для самостоятельного решения
Поле кругового тока и соленоида
7.1. Кольцо из тонкого провода содержит 80 витков. Радиус кольца 20 см. Определить напряженность магнитного поля в центре кольца, если по проводу течет ток 0,6 А. [Ответ: 120 А/м].
7.2. По тонкой катушке течет ток 7 А, радиус витков 10 см. При каком числе витков напряженность магнитного поля в центре катушки будет 245 А/м? Считать катушку плоской. [Ответ: 7 витков].
7.3. По двум кольцевым проводникам, имеющим общий центр, текут в одном направлении токи 2,5 А и 4 А. Радиусы кольцевых проводников 7 и 9 см. Угол между плоскостями кольцевых проводников 60º. Определить напряженность магнитного поля в общем центре колец. [Ответ: 34,75 А/м].
7.4. По кольцевому медному проводнику протекает ток 30 А. В результате в центре контура с током создается магнитное поле напряженностью 30 А/м. Определить разность потенциалов на концах проводника, если его поперечное сечение 3 мм2. Удельное сопротивление меди 1,7×10-8 Ом×м. [Ответ: 0,534 В].
7.5. Два проводника представляют собой концентрические окружности радиусами 20 и 10 см. По наружному проводнику течет ток 10 А, по внутреннему - 6 А. Найти напряженность магнитного поля в центре окружностей при одинаковых и противоположных направлениях токов. [Ответ: 55 А/м; 5 А/м].
7.6. По теории Бора, когда атом водорода находится в нормальном состоянии, его электрон движется по орбите с радиусом r = 0,53 Å со скоростью 2000 км/с. Рассматривая движение электрона по орбите как круговой ток, вычислить индукцию магнитного поля в центре орбиты (1 Å =10-10 м). [Ответ: 11 Тл].
7.7. Катушка длиною 30 см состоит из 1000 витков. Найти напряженность магнитного поля внутри катушки, если ток, проходящий по катушке, равен 2 А. Диаметр катушки считать малым по сравнению с ее длиной. [Ответ: 6670 А/м].
7.8. Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром 0,8 мм. Витки плотно прилегают друг к другу. Считая катушку достаточно длинной найти напряженность магнитного поля внутри катушки при силе тока в 1 А. [Ответ: 1250 А/м].
7.9. Обмотка соленоида содержит 2 слоя плотно прилегающих друг к другу витков провода диаметром 0,2 мм. Определить напряженность магнитного поля на оси соленоида, если по проводу идет ток 0,5 А. [Ответ: 5000 А/м].
7.10. Определить силу тока в катушке радиусом 30 см, содержащей 600 витков, если в центре катушки магнитная индукция равна 7,5 мТл. Считать, что длина катушки значительно меньше ее радиуса. [Ответ: 6 А].
7.11. Индукция магнитного поля внутри достаточно длинного соле-ноида 2,52 мТл при силе тока в нем 3 А. Витки намотаны плотно в один слой. Соленоид без сердечника. Определить диаметр провода, который намотан на катушку соленоида. [Ответ: 1,5 мм].
7.12. Из проволоки диаметром 1 мм надо намотать соленоид, внутри которого напряженность магнитного поля должна быть равна 300 Э. Предельная сила тока, которую можно пропускать по проволоке, равна
6 А. Из какого числа слоев будет состоять обмотка соленоида, если витки наматывать плотно друг к другу? Диаметр катушки считать малым по сравнению с ее длиной. (1 Э ≈ 80 А/м) [Ответ: 4 слоя].
Поле прямого тока
7.13. Расстояние между двумя длинными параллельными проводами равно 5 см. По проводам в одном направлении текут токи силой 30 А каждый. Найти напряженность магнитного поля в точке, находящейся на расстояния 4 см от одного и 3 см от другого провода. [Ответ: 200 А/м].
7.14. По двум длинным параллельным проводам текут в одинаковом направлении токи 20 и 50 А. Определить напряженность магнитного поля в точке, удаленной от первого провода на 8 см и от второго на 20 см. Расстояние между проводами 12 см. [Ответ: 79,6 А/м].
7.15. Решить предыдущую задачу при условии, что токи текут в противоположных направлениях. [Ответ: 0].
7.16. Бесконечно длинный провод образует круговую петлю, касательную к проводу. По проводу идет ток силой 5 А. Найти радиус петли, если известно, что напряженность магнитного поля в центре петли равна 41 А/м. [Ответ: 8 см].
7.17. По прямому бесконечно длинному проводнику течет ток
3,14 А. Круговой ток расположен так, что плоскость витка параллельна прямому проводнику, а перпендикуляр, опущенный на него из центра витка, является нормалью к плоскости витка. По витку проходит ток 3 А. Расстояние от центра витка до прямого проводника 20 см. Радиус витка 30 см. Найти магнитную индукцию в центре витка. [Ответ: 7 мкТл].
7.18. Ток в 20 А идет по длинному проводнику, согнутому под прямым углом. Найти напряженность магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на расстояние 10 см. [Ответ: 77,3 А/м].
7.19. По тонкому проводу, изогнутому в виде прямоугольника, течет ток 60 А. Стороны прямоугольника равны 30 см и 40 см. Найти магнитную индукцию в точке пересечения диагоналей. [Ответ: 200 мкТл].
7.20. Из проволоки длиной 1 м сделана квадратная рамка. По этой рамке течет ток силой 10 А. Найти напряженность магнитного поля в центре рамки. [Ответ: 35,8 А/м].
7.21. По кольцевому проводнику радиусом 20 см течет ток 50 А. Параллельно плоскости кольцевого проводника на расстоянии 3 см проходит прямой длинный проводник с током 30 А. Определить величину напряженности магнитного поля в центре кольца. Дать векторную диаграмму. [Ответ: @ 200 А/м].
Сила Ампера
7.22. На расстоянии 10 см от длинного прямолинейного провода с током напряженность магнитного поля 20 А/м. Какая сила будет действовать на каждый метр этого провода, если его поместить в однородное магнитное поле с индукцией 2,5 Тл так, чтобы угол между направлением тока и вектором магнитной индукции был равен 30°? [Ответ: 15,7 Н].
7.23. Расстояние между двумя параллельными токами 25 см. Определить силу тока в каждом проводе, если на каждый метр его длины действует сила 2 мН. Сила тока в проводниках одинакова. [Ответ: 50 А].
7.24. В вертикальном однородном магнитном поле на двух тонких нитях подвешен горизонтально проводник длиной 20 см и массой 20,4 г. Индукция магнитного поля равна 0,5 Тл. На какой угол от вертикали отклонятся нити, если сила тока в проводнике равна 2 А? [Ответ: 45º].
7.25. Два длинных параллельных провода находятся на расстоянии 6 см один от другого. Сила тока в одном из них 15 А, в другом - 10 А. Какова длина этих проводов, если между ними будет действовать сила 1,4 мН? [Ответ: 2,8 м].
7.26. Внутри длинного соленоида перпендикулярно его оси расположен прямой проводник с током 10 А длиной 5 см. Какая сила действует на проводник, если соленоид имеет 30 витков на 1 см и по его обмотке течет ток 4 А? [Ответ: 2,51 мН].
7.27. Какую напряженность должно иметь однородное горизонтальное магнитное поле, направленное перпендикулярно проводнику, чтобы удержать в равновесии горизонтальный прямолинейный медный проводник с током 10 А? Диаметр проводника 3 мм. Плотность меди 8,9 г/см3. [Ответ: 49,1 кА/м].
7.28. Под каким углом к линиям индукции однородного поля расположен прямолинейный проводник с током 10 А длиной 20 см, если на него действует сила 0,001 Н? Индукция поля 10 Гс (1 Гс = 0,1 мТл). [Ответ: 30º].
7.29. Шины генератора представляют собой две параллельные медные полосы длиной по 2 м, отстоящие друг от друга на расстоянии 20 см. Определить силу взаимного отталкивания шин в случае короткого замыкания, когда по ним течет ток силой 10 кА. [Ответ: 200 Н].
7.30. Два бесконечных провода, расположенных на расстоянии
10 см друг от друга, взаимодействуют между собой с силой 0,02 мН на каждый метр длины. Определить силу тока в проводах, если известно, что сила тока в одном из них в 2 раза больше, чем в другом. [Ответ: 2,24 А; 4,48 А].
7.32. По двум параллельным прямым проводам длиной 2,5 м каждый, находящимся на расстоянии 20 см друг от друга, текут одинаковые токи 1 кА. Найти силу взаимодействия токов. [Ответ: 2,5 Н].
Магнитный момент
7.33. Рамка с током 5 А содержит 20 витков тонкого провода. Определить магнитный момент рамки с током, если ее площадь 10 см2. [Ответ: 0,1 Дж/Тл].
7.34. Соленоид длиной 10 см и диаметром 4 см содержит 20 витков на каждом сантиметре длины. Определить магнитный момент соленоида, если сила тока в нем равна 2 А. [Ответ: 0,5 А∙м2].
7.35. Определить магнитный момент кругового витка с током, если известно, что на его оси на расстоянии 4 см от центра индукция магнитного поля 125 мкТл. Радиус витка 3 см. [Ответ: 78 мА∙м2].
7.36. По кольцу течет ток. На оси кольца, на расстоянии d = 1 м от его плоскости магнитная индукция равна 10 нТл. Чему равен магнитный момент кольца с током? Радиус кольца много меньше величины d. [Ответ: 50 мА∙м2].
7.37. Прямоугольная рамка из провода имеет длину 25 см и ширину 12 см. Определить ток в рамке, если магнитный момент равен 0,45 А∙м2. [Ответ: 15 А].
7.38. По теории Бора, когда атом водорода находится в нормальном состоянии, его электрон движется по орбите радиусом 0,53 Å со скоростью 2000 км/с. Рассматривая движение электрона по орбите как круговой ток, вычислить магнитный момент этого тока (1 Å = 10-10 м). [Ответ:
8,48∙10-24 А∙м2].
7.39. Электрон, влетев в однородное магнитное поле, индукция которого равна 0,2 Тл, стал двигаться по окружности радиусом 5 см. Определить магнитный момент эквивалентного кругового тока. [Ответ:
7,03∙10-12 А∙м2].
7.40. Проволочное кольцо с током, диаметр которого 15 см, имеет магнитный момент 4,2∙10-2 А∙м2. Определить силу тока в кольце и напряженность магнитного поля в его центре. [Ответ: 2,4 А; 16 А/м].
7.41. Определить магнитный момент соленоида при токе 0,3 А, если число витков 500, площадь витка 20 см2. [Ответ: 0,3 А∙м2].
7.42. Определить радиус плоской катушки, имеющей 40 витков, если при силе тока 3,5 А она имеет магнитный момент 1,33 А∙м2. [Ответ:
5,5 см].
Контур с током в магнитном поле
7.43. Какой вращающий момент испытывает рамка с силой тока
10 А при помещении ее в однородное магнитное поле с индукцией 0,5 Тл, если рамка содержит 50 витков площадью 20 см2 каждый, а ее нормаль образует с вектором индукции магнитного поля угол 30°? [Ответ: 0,25 Н∙м].
7.44. Определить максимальный вращающий момент, действующий на квадратную рамку со стороной 5 см, помещенную в однородное магнитное поле с индукцией 0,5 Тл. По рамке течет ток 1 А. [Ответ:
1,25 мН∙м].
7.45. Определить индукцию магнитного поля, если вращающий момент сил, действующих на рамку площадью 1 см2 , составляет 5∙10-4 Н∙м при силе тока 1 А. На рамку намотано 100 витков провода. [Ответ: 50 мТл].
7.46. В центре кольцевого проводника с током 8 А радиусом 12 см находится маленькая рамка с током 1 А. Площадь рамки 1 см2. Какой вращающий момент действует на рамку, если угол между плоскостями рамки и кольцевого проводника равен 30°? Рамка находится в воздухе. Поле в области рамки принять за однородное. [Ответ: 2,09∙10-9 Н∙м].
7.47. В однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл находится квадратная рамка с током 0,4 А. Плоскость рамки составляет с направлением поля угол 60°. Определить вращающий момент, действующий на рамку, если сторона ее равна 2 см. [Ответ: 8 мкН∙м].
Сила Лоренца
7.48. Электрон с энергией 0,5 кэВ пролетает в вакууме через однородное магнитное поле напряженностью 3000 А/м перпендикулярно полю. Определить скорость электрона, силу Лоренца и радиус кривизны траектории движения электрона в поле. [Ответ: 1,3∙107 м/с; 8,02∙10-15 Н; 0,02 м].
7.49. Найти угловую скорость вращения электрона по окружности, которую он описывает в однородном магнитном поле, если магнитная индукция поля В = 0,02 Тл. [Ответ: 3,52∙109 с-1].
7.50. Найти кинетическую энергию протона в МэВ (1 МэВ = 106 эВ, 1 эВ = 1,6∙10-19 Дж), движущегося по дуге окружности радиусом 60 см в магнитном поле, индукция которого равна 104 Гс (1 Гс = 0,1 мТл). [Ответ: 17,8 МэВ].
7.51. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 300 В, движется параллельно длинному проводу на расстоянии 4 мм от него. Какая сила будет действовать на электрон, если по проводнику пустить ток 5 А? [Ответ: 4,19∙10-16 Н].
7.52. Электрон, прошедший ускоряющую разность потенциалов 500 В, попал в вакууме в однородное магнитное поле и движется по окружности радиусом 10 см. Определить модуль магнитной индукции, если скорость электрона перпендикулярна силовым линиям. [Ответ: 0,75 мТл].
7.53. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов 400 В, попал в однородное магнитное поле напряженностью 1000 А/м. Определить радиус кривизны траектории и частоту обращения электрона в магнитном поле. Вектор скорости перпендикулярен линиям поля. [Ответ: 5,37 см; 3,50∙107 Гц].
7.54. Определить частоту обращения электрона по круговой орбите в магнитном поле напряженностью 10 кА/м. Заряд электрона 1,6∙10-19 Кл, масса электрона 9,1∙10-31 кг. [Ответ: 3,52∙108 Гц].
7.55. Заряженная частица, обладающая скоростью 2∙106 м/с, влетела в однородное магнитное поле с индукцией 0,52 Тл. Найти отношение заряда частицы к ее массе, если частица описала дугу окружности радиусом 4 см. [Ответ: 96,3 МКл/кг].
7.56. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 6 кВ, влетает в однородное магнитное поле под углом 30° и начинает двигаться по винтовой линии. Индукция магнитного поля равна 13 мТл. Найти радиус витка и шаг винтовой линии. [Ответ: 1 см; 10,9 см].
7.57. Электрон движется в магнитном поле, индукция которого 20 Гс, по винтовой линии с радиусом 2 см и шагом 5 см. Определить скорость электрона (1 Гс = 0,1 мТл). [Ответ: 7,52∙106 м/с].
7.58. Электрон, движущийся в вакууме со скоростью 1∙106 м/с, попадает в однородное магнитное поле с индукцией 1,2 мТл под углом 30° к силовым линиям поля. Определить радиус винтовой линии, по которой будет двигаться электрон, и ее шаг. [Ответ: 2,4 мм; 2,1 см].
§ 8. Электромагнитная индукция
Основные формулы
Магнитный поток Ф через плоский контур площадью S:
а) в случае однородного поля
Ф = BS cos a = BnS,
где a - угол между вектором нормали к плоскости контура и вектором магнитной индукции; Bn – проекция вектора В на нормаль n (Bn = B cos a);
Потокосцепление, т. е. полный магнитный поток
y = NФ,
где Ф – магнитный поток через один виток; N – число витков.
Работа по перемещению замкнутого контура с током I в магнитном поле определяется соотношением
A = I DФ,
где DФ – изменение магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную контуром.
Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея-Максвелла)
где ei – ЭДС индукции, возникающая в контуре; dФ/dt – скорость изменения магнитного потока, N – число витков контура; y - потокосцепление
(y = NФ).
Разность потенциалов U на концах проводника длиной l, движущегося со скоростью υ в однородном магнитном поле с индукцией В, выражается формулой
U = Blυ sin a,
где a - угол между направлениями векторов v и B.
Заряд, протекающий по замкнутому контуру при изменении на величину Dy потокосцепления, пронизывающего все витки контура, выражается формулой
q = Dy/R,
где R – сопротивление контура.
Индуктивность контура
L = y/I.
ЭДС самоиндукции
где 
- скорость изменения силы тока.
Индуктивность соленоида
L = m0m n2 l S,
где l – длина соленоида, S – площадь его поперечного сечения; n – число витков на единицу его длины.
ЭДС взаимной индукции
,
где 
- коэффициент взаимной индукции.
Магнитная энергия W контура с током I
W = LI2/2,
где L – индуктивность контура.
Объемная плотность энергии w0 однородного магнитного поля
w0 = BH/2 =m0mH2/2 = B2/(2m0m).
Примеры решения задач
Пример 1. Магнитный момент соленоида 2 А∙м2. Найти поток магнитной индукции сквозь соленоид. Длина соленоида равна 30 см.
Дано:
pm= 2 А ×м2 ; m = 1 ;
l = 30 см = 0,3 м
Ф = ?
Решение
Магнитный момент соленоида складывается из магнитных моментов каждого витка pi = I S, где I - сила тока в обмотке, S - площадь поперечного сечения соленоида:
pm= N I S (1)
Из определения потока Ф вектора магнитной индукции В
Ф =B S = m0mI S N. (2)
Используя (1) и (2), получаем:
Ф = m0 pm/l =4p 10-7 ×2/0,3 = 8,37×10-6 Вб.
Ответ: Ф = 8,37 мВб.
Пример 2. Сила тока в соленоиде изменяется по закону I = 20 t – t3. Индуктивность соленоида 5 Гн. Какая ЭДС самоиндукции будет в соленоиде через 2 с?
Дано:
I = 20 t – t 3 ;
t = 2 c; L = 5 Гн
e инд = ?
Решение
Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея
e инд = - dФ/dt
Из определения индуктивности магнитного контура Ф = L I, где I– сила тока в контуре, а L – его индуктивность. Тогда
e инд = - L dI/dt = L (20 – 3 t 2) = 5∙22) = 40 B.
Ответ: e инд = 40 В.
Пример 3. Скат плывет горизонтально со скоростью 2 м/с. Определить разность потенциалов, возникающую между концами боковых плавников рыбы, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля Земли равна 5×10–5 Тл. Ширина рыбы 30 см.
Дано:
v = 2 м/с;
l = 30 см = 0,3 м;
B^ = 5 ×10-5 Тл
U = ?
Решение
При движении ската пересекаются силовые линии магнитного поля Земли; при этом за время dt рыба проходит путь dx и происходит изменение магнитного потока
dФ = B^dS = B^l dx = B^ l v dt
На концах боковых плавников возникает разность потенциалов согласно закону электромагнитной индукции:
U = |e инд| = dФ/dt = B^ l v = 5 ×10-5 ×0,3 ×2 = 30 мкВ.
Ответ: U = 30 мкВ.
Пример 4. При индукции магнитного поля 0,1 Тл плотность энергии магнитного поля в железе 10 Дж/м3. Какова относительная магнитная проницаемость железа при этих условиях и величина напряженности магнитного поля?
Дано:
B = 0,1 Тл;
w = 10 Дж/м3 ;
m0 =4 p 10-7 Гн /м
m = ? H = ?
Решение
Плотность энергии магнитного поля в магнетике
w = BH/2 = B2/(2m0m)
Отсюда находим
H = 2w/B;
m = B2/(2m0w)
Подставив численные данные, получим
Ответ: m = 398 @ 400; H =200 А/м.
Пример 5. Для магнитной обработки виноматериалов и питьевой воды используют установку на электромагнитах (рис.19), потребляющих мощность 2,4 кВт. Индукция магнитного поля в рабочем зазоре 15,1× 10-2 Тл. Определить КПД установки, если ее производительность 100 м3/час.
Дано:
Nпотр = 2,4 ×103 Вт;
B = 15,1× 10-2 Тл;
m = 1 ;
Q = 200 м3/час =1/18 м3/с
h = ?
Решение
По определению коэффициента полезного действия
h = Аполезн/Азатр (1)
Затраченная работа равна потребляемой из сети энергии
Азатр = Nпотр Dt, (2)
где Dt – отрезок времени.
Полезная работа состоит в намагничивании протекающей жидкости в объеме
V = Q Dt.
Эта работа равна энергии магнитного поля, создаваемого в зазоре:
Аполезн = Wм = w V = B2 V/(2m0m) = B2 Q Dt /2m0. (3)
Подставив (3) и (2) в (1), получаем КПД:
h = B2 Q /(2m0 Nпотр) = 1,52 /(18 ×2 ×12,56 ×10-7× 2,4 ×103) = 0,104.
Ответ: КПД составляет 10,4 % .
Задачи для самостоятельного решения
Магнитный поток
8.1. Кольцо радиусом 10 см находится в однородном магнитном поле с индукцией 0,318 Тл. Плоскость кольца составляет угол 30° с линиями индукции. Вычислить магнитный поток, пронизывающий кольцо. [Ответ: 5 мВб].
8.2. В однородное магнитное поле, напряженность которого 1000 Э помещена квадратная рамка. Ее плоскость составляет с направлением магнитного поля угол 45°. Сторона рамки 4 см. Определить магнитный поток, пронизывающий рамку (1 Э ≈ 80 А/м). [Ответ: 1,14∙10-4 Вб].
8.3. В одной плоскости с длинным прямым проводником, по которому течет ток 10 А, расположена прямоугольная рамка так, что большая сторона ее длиной 5 см параллельна проводнику, и расстояние от проводника до этой стороны равно длине меньшей стороны. Определить магнитный поток, пронизывающий рамку. [Ответ: 0,69∙10-7 Вб].
8.4. Поток магнитной индукции сквозь соленоид (без сердечника) равен 5 мкВб. Найти магнитный момент этого соленоида. Длина соленоида равна 25 см. [Ответ: 1 А∙м2].
8.5. В магнитном поле, индукция которого равна 0,05 Тл, вращается стержень длиной 1 м. Ось вращения, проходящая через один из концов стержня, параллельна силовым линиям магнитного поля. Найти поток магнитной индукции, пересекаемый стержнем при каждом обороте. [Ответ: 0,157 Вб].
8.6. Магнитный момент соленоида 1 А∙м2. Найти поток магнитной индукции сквозь соленоид. Длина соленоида равна 25 см. [Ответ: 5,02 мкВб].
Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле
8.7. Какая работа совершается магнитным полем с индукцией 0,5 Тл при перемещении проводника с током на расстояние 2 м? Проводник имеет длину 0,5 м, расположен под углом 30° к магнитной индукции и перемещается в направлении, перпендикулярном и к направлению тока, и к направлению магнитной индукции. Сила тока в проводнике равна 20 А. [Ответ: 5 Дж].
8.8. Проводник с током перемещается в однородном магнитном поле с индукцией 1,2 Тл перпендикулярно к линиям индукции на расстояние 0,25 м. Какая при этом совершается работа? Длина проводника равна 0,4 м, сила тока в нем равна 20 А. [Ответ: 2,4 Дж].
8.9. Два прямолинейных длинных параллельных проводника находятся на некотором расстоянии друг от друга. По проводникам текут токи, равные по величине и по направлению. Найти силу тока, текущего по каждому из проводников, если известно, что для тoгo, чтобы раздвинуть эти проводники на вдвое большее расстояние, пришлось совершить работу (на единицу длины проводников), равную 0,55 мкДж/см. [Ответ: 19,9 А].
8.10. Проводник движется равномерно в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией 150 мТл по двум направляющим, к которым подключен источник тока. Определить работу, которую совершает сила Ампера при перемещении проводника на расстояние 25 мм. Проводник движется перпендикулярно направляющим и по нему течет ток 6,5 А. Расстояние между направляющими 12 см. [Ответ: 2,9 мДж].
8.11. В плоскости, перпендикулярной однородному магнитному полю с индукцией 1 мТл перемещается отрезок проводника длиной 5 см так, что направление перемещения проводника перпендикулярно полю. К концам проводника приложена разность потенциалов 30 В при сопротивлении его 10 Ом. Во сколько раз мощность, затраченная на нагревание проводника больше мощности, потребовавшейся на его перемещение в магнитном поле? Средняя скорость движения проводника 1 м/с. [Ответ: 6∙104 раз].
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
