Методические указания к выполнению ТР "Аналитическая геометрия"

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ

ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТР

"АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

Орел – 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ...................................................................................................... 4

1. ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ............................................ 5

2. УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО

РАСЧЕТА И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ...................................... 6

3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ............................. 12

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА......................................................... 20

ВВЕДЕНИЕ

Настоящие методические указания предназначены для студентов первого курса, изучающих тему «Аналитическая геометрия» и выполняющих по данной теме типовой расчет.

Указания состоят из трех разделов. В первом разделе приводятся общие методические рекомендации по оформлению, выполнению и порядку защиты типового расчета.

Во втором разделе приводятся основные теоретические положения, правила и алгоритмы решения аналогичных задач по указанной теме.

Третий раздел содержит список задач для самостоятельного выполнения.

1. ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К выполнению типового расчета следует приступать после изучения темы "Прямая и плоскость в пространстве". Следует внимательно разобрать решение тех задач, которые приводятся в данном пособии. При этом следует руководствоваться следующими указаниями.

1. Типовой расчет выполняется студентом самостоятельно и сдается на проверку в установленный преподавателем срок.

2. Студент выполняет тот вариант, который соответствует его списочному номеру в журнале. В задаче дана двойная нумерация. Первая цифра соответствует номеру задачи, а вторая – номеру варианта.

3. Работу следует выполнять в отдельной тетради, на внешней обложке которой должны быть указаны специальность, номер группы, фамилия и инициалы студента, и вариант.

4. Решения всех задач должны быть подробными, т. е. все вычисления необходимо делать полностью. Для замечаний преподавателя на каждой странице необходимо оставлять поля шириной 3 – 4 см.

5. После проверки работы преподавателем, студент должен сделать работу над ошибками и предоставить работу на повторную проверку.

6. Работа над ошибками выполняется в той же тетради, после решенных задач. Не допускается вносить исправления в уже проверенные задачи.

7. Студент должен защитить работу по указанной теме, т. е. дать устные пояснения ко всем или некоторым задачам с указанием формул, теорем, выводов, которые используются при решении задач. Студент допускается к защите типового расчета, если после очередной проверки, у преподавателя нет замечаний по его выполнению.

8. Типовой расчет считается выполненным только после правильного его решения и защиты.

9. Если в процессе изучения материала или при решении той или иной задачи у студента возникают вопросы, на которые он не может ответить самостоятельно, то он может обратиться к преподавателю для получения консультации.

2. УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА

И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Для решения задачи №1 нужно: 1) записать уравнение плоскости a проходящей через три точки М1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), M3 (x3, y3, z3); 2) найти расстояние от точки М0 (x0, y0, z0) до плоскости a.

1) Уравнение искомой плоскости a имеет вид:

. (1.1.)

После вычисления определителя получим общее уравнение плоскости a вида:

Аx + By + Cz + D = 0 (1.2.)

2) Расстояние от точки М0 до плоскости a найдем по формуле:
(1.3.)

Пример 1: Найти расстояние от точки М0 (2, 1, 3) до плоскости a, проходящей через точки М1 (2, 3, 0), М2 (2, 0, -5) и М3 (0, 3, -5)

Решение: 1) Запишем уравнение плоскости a, проходящей через 3 данные точки:

Затем вычислим определитель известными способами (по правилу треугольника или разложением определителя по элементам ряда) и получим искомое уравнение плоскости a в общем виде :
15x + 10y – 6z – 60 = 0.

2) Найдем расстояние d (M0, a):

Ответ: d(M0, a) = 2 ед.

Для решения задачи №2 нужно: 1) найти вектор нормали ;
2) составить уравнение плоскости a, проходящей через данную точку М0 (x0, y0, z0) c вектором нормали (А, В, С).

Определение: Ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости, называется вектором нормали и обозначается (А, В, С), где А, В и С – координаты этого вектора.

Искомое уравнение плоскости a имеет вид:

А (x – x0) + B (y - y0) + C (z – z0) =

Пример 2: Написать уравнение плоскости a, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору , где М0 (2, -1, 0),
М1 (1, 2, 3), М2 (-3, 5, 4).

Решение: Так как вектор (х2 – х1, у2 - у1, z2 – z1) ненулевой и перпендикулярен плоскости a по условию, то , т. е. (-4, 3, 1). Тогда уравнение плоскости a имеет вид: -4(х – 2) + 3(y + 1) + z = 0

Раскроем скобки и приведем это уравнение к общему уравнению плоскости: 4x – 3y – z – 11 = 0.

Ответ: a: 4x – 3y – z – 11 = 0.

Для решения задачи №3 используем формулу вычисления угла между плоскостями.

Пусть даны уравнения двух плоскостей

a1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0, a2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0. Тогда
, (3.1.)

где j - угол между плоскостями a1 и a2, (А1, В1, С1) и
(А2, В2, С2) – векторы нормалей соответствующих плоскостей a1 и a2.

Пример 3. Найти угол между плоскостями

a1: x + 2y – 2z + 1 = 0 и a2: 2х + 6y +3z – 2 = 0.

Решение: Запишем (1, 2, -2), (2, 6, 3). Тогда .

Отсюда j » 67°36'.

Ответ: j » 67°36'.

Для решения задачи №4 используем формулу вычисления расстояния между двумя точками.

Пусть даны две точки А1 (x1, y1, z1) и A2 (x2, y2, z2). Тогда расстояние от точки А1 до точки А2 найдем по следующей формуле:

d (A1, A2) = . (4.1.)

Пример 4. Найти координаты точки А (0, 0, z), равноудаленной от точек В (1, 5, 0) и С (0, 2, 3).

Решение: т. к. точка А равноудалена от точек В и С, то расстояния от точки А до точки В и от точки А до точки С равны, т. е. d (А, В) = d (А, С).

Найдем d (А, В) и d (А, С):

d (A, B) = ,

d(A, C) = . Приравняем правые части этих выражений и получим: . Возведем в квадрат обе части равенства: 26 + z2 = 13 – 6z + z2 Þ 6z =
= -13 Þ z = -. Таким образом, точка А (0, 0, -).

Ответ: А (0, 0, -).

При решении задачи №5 нужно общие уравнения прямой в пространстве привести к каноническому виду. Для этого нужно найти вектор и точку М0, принадлежащую этой прямой.

Определение. Ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой и обозначается
(ℓ, m, p), где ℓ, m, p – координаты вектора .

Пусть прямая задана в общем виде:

(5.1.)

Каждое из уравнений системы есть общее уравнение соответствующей плоскости a1 или a2.

Cоставим канонические уравнения прямой. Сначала найдем вектор . В качестве направляющего вектора возьмем вектор , где (А1, В1, С1) и (А2, В2, С2) – векторы нормалей соответствующих плоскостей a1 и a2. Затем найдем точку
М0 (x0, y0, z0), координаты которой должны удовлетворять общим уравнениям прямой, и запишем канонические уравнения прямой в пространстве:

==. (5.2.)

Пример 5. Составить канонические уравнения прямой, заданной в общем виде:

Решение: Сначала запишем (1, -2, 3) и (2, 1, -4). Затем найдем вектор .

= Þ = 5 + 10 + 5, т. е. (5, 10, 5).

Найдем точку М0, так, чтобы ее координаты удовлетворяли каждому из общих уравнений прямой. Для этого можно, например, второе уравнение системы умножить на 2 и сложить с первым уравнением. Получим: 5x – 5z – 15 = 0 или x – z – 3 = 0. Положим в последнем уравнении, например, z = z0 = 0 (или х = x0 = 0), тогда
х = x0 = 3. Подставим найденные значения в любое из уравнений системы и найдем что y = y0 = 2. Таким образом, М0 (3, 2, 0). Теперь запишем канонические уравнения прямой:

= = или = = .

Ответ: L: = = .

Для решения задачи №6 нужно записать систему уравнений пересекающихся прямой и плоскости. Для этого от данных канонических уравнений прямой L перейдем к параметрическим уравнениям. Затем переменные x, y, z, выраженные через параметр t, подставим в уравнение плоскости a. Потом найдем параметр t и подставим его в параметрические уравнения прямой L. После этого найдем искомые x, y, z. Это и будут координаты точки пересечения прямой L и плоскости a.

Для того чтобы записать параметрические уравнения прямой L, нужно каждую пропорцию канонического вида прямой обозначить через параметр t, а затем выразить переменные x, y, z, т. е.

Þ (6.1.)

Пример 6. Найти точку Q пересечения прямой L и плоскости a, если L: : = = , a: 2x + 3y + z – 6 = 0.

Решение: Уравнения прямой L в параметрической форме имеют вид:

L:

Подставив выраженные через параметр t переменные x, y, z в уравнение плоскости a, получим: 2 (2 + t) + 3 (-1 – 2t) + 2t – 6 = 0 Þ Þ -2t – 5 = 0 Þ t = -2,5. Подставив t в систему параметрических уравнений прямой L, получим:

Ответ: Q (-0,5; 4; -5).

Задача №7. Найти координаты точки симметричной данной точке, относительно прямой или плоскости.

Случай 1. Дана точка М и прямая L. Проведем через точку М плоскость a, перпендикулярную прямой L, и найдем точку Q пересечения прямой L с плоскостью a. Так как плоскость a перпендикулярна прямой L, то || , т. е. = == m, где
m - коэффициент пропорциональности. Пусть m = 1, тогда А = ℓ,
B = m, C = p (направляющий вектор прямой является вектором нормали для плоскости), т. е. вектор (ℓ, m, p). Запишем уравнение плоскости a (см. 2.1.): А (x – x0) + B (y - y0) + C (z – z0) = 0, т. к. уже известны вектор и точка М (х0, y0, z0). После этого найдем точку Q пересечения прямой L с плоскостью a (см. задачу №6).

Точка Q является серединой отрезка MM' (где точка М' симметрична точке М относительно прямой L), а координаты середины отрезка находятся по следующим формулам:

xQ = , yQ =, zQ =.

Отсюда находим координаты точки M':

xM ' = 2xQ – xM, yM ' = 2yQ – yM, zM ' = 2zQ – zM, (7.1.)

т. е. M' (xM ', yM ', zM ').

Случай 2. Дана точка М и плоскость a. Проведем через точку М прямую L перпендикулярно данной плоскости a. Так как плоскость a перпендикулярна прямой L, то ||, т. е. ===m, где m - коэффициент пропорциональности. Пусть m = 1, тогда ℓ = А, m = B, p = C (вектор нормали для плоскости является направляющим вектором прямой), т. е. вектор (A, B, C). Зная координаты направляющего вектора и данной точки М (x0, y0, z0), запишем канонические уравнения прямой L: = = .

После этого перейдем к параметрическим уравнениям прямой (см. формулу 6.1.). Затем найдем точки Q и M' (см. случай 1.).

Пример 7: Найти точку M' , симметричную данной точке
М (1, 1, 1) относительно прямой L: = = .

Решение: Проведем через точку М плоскость a перпендикулярно данной прямой L. Так как плоскость a перпендикулярна прямой L, то = = = 1. Тогда А = 2, В = 5, С = -2, т. е. (2, 5, -2). Запишем уравнение плоскости a, проходящей через данную точку М с вектором нормали :

2 (х – 1) + 5 (y – 1) – 2 (z – 1) = 0 или 2x + 5y – 2z – 5 = 0.

Найдем точку Q пересечения прямой L и плоскости a. Для этого запишем систему уравнений:

Чтобы решить систему, перейдем от канонических уравнений прямой L к параметрическим:

Затем переменные x, y и z, выраженные через параметр t, подставим в уравнение плоскости a и получим:

2 (11 + 2t) + 5 (18 + 5t) –2t) – 5 = 0 Þ 33t = -99 Þ t = -3.

Подставим t = -3 в параметрические уравнения прямой L и найдем x = 5, y = 3, z = 10. Это и есть координаты точки Q пересечения прямой L и плоскости a, т. е. Q (5, 3, 10).

Найдем координаты точки M', учитывая что точка Q - середина отрезка MM' (см. формулы 7.1.). Таким образом, M' (9, 5, 19).

Ответ: M' (9, 5, 19).

3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задача №1. Найти расстояние от точки М0 до плоскости, проходящей через три точки М1, М2, М3.

1.1.  М1 (-3, 4, -7), М2 (1, 5, - 4), М3 (-5, -2, 0), М0 (-12, 7, -1).

1.2.  М1 (-1, 2, -3), М2 (4, -1, 0), М3 (2, 1, -2), М0 (1, -6, -5).

1.3.  М1 (-3, -1, 1), М2 (-9, 1, -2), М3 (3, - 5, 4), М0 (-7, 0, -1).

1.4.  М1 (1, -1, 1), М2 (-2, 0, 3), М3 (2, 1, -1), М0 (-2, 4, 2).

1.5.  М1 (1, 2, 0), М2 (1, -1, 2), М3 (0, 1, -1), М0 (2, -1, 4).

1.6.  М1 (1, 0, 2), М2 (1, 2, -1), М3 (2, -2, 1), М0 (-5, -9, 1).

1.7.  М1 (1, 2, -3), М2 (1, 0, 1), М3 (-2, -1, 6), М0 (3, -2, -9).

1.8.  М1 (3, 10, -1), М2 (-2, 3, -5), М3 (-6, 0, -3), М0 (-6, 7, -10).

1.9.  М1 (-1, 2, 4), М2 (-1, -2, -4), М3 (3, 0, -1), М0 (-2, 3, 5).

1.10.  М1 (0, -3, 1), М2 (- 4, 1, 2), М3 (2, -1, 5), М0 (-3, 4, -5).

1.11.  М1 (1, 3, 0), М2 (4, -1, 2), М3 (3, 0, 1), М0 (4, 3, 0).

1.12.  М1 (-2, -1, -1), М2 (0, 3, 2), М3 (3, 1, -4), М0 (-21, 20, -16).

1.13.  М1 (-3, -5, 6), М2 (2, 1, - 4), М3 (0, -3, -1), М0 (3, 6, 68).

1.14.  М1 (2, - 4, -3), М2 (5, -6, 0), М3 (-1, 3, -3), М0 (2, -10, 8).

1.15.  М1 (1, -1, 2), М2 (2, 1, 2), М3 (1, 1, 4), М0 (-3, 2, 7).

1.16.  М1 (1, 3, 6), М2 (2, 2, 1), М3 (-1, 0, 1), М0 (5, -4, 5).

1.17.  М1 (-4, 2, 6), М2 (2, -3, 0), М3 (-10, 5, 8), М0 (-12, 1, 8).

1.18.  М1 (7, 2, 4), М2 (7, -1, -2), М3 (-5, -2, -1), М0 (10, 1, 8).

1.19.  М1 (2, 1, 4), М2 (3, 5, -2), М3 (-7, -3, 2), М0 (-3, 1, 8).

1.20.  М1 (-1, -5, 2), М2 (-6, 0, -3), М3 (3, 6, -3), М0 (10, -8, -7).

1.21.  М1 (0, -1, -1), М2 (-2, 3, 5), М3 (1, -5, -9), М0 (-4, -13, 6).

1.22.  М1 (5, 2, 0), М2 (2, 5, 0), М3 (1, 2, 4), М0 (-3, -6, -8).

1.23.  М1 (2, -1, -2), М2 (1, 2, 1), М3 (5, 0, -6), М0 (14, -3, 7).

1.24.  М1 (-2, 0, -4), М2 (-1, 7, 1), М3 (4, -8, -4), М0 (-6, 5, 5).

1.25.  М1 (14, 4, 5), М2 (-5, -3, 2), М3 (-2, -6, -3), М0 (-1, -8, 7).

1.26.  М1 (1, 2, 0), М2 (3, 0, -3), М3 (5, 2, 6), М0 (-13, -8, 16).

1.27.  М1 (2, -1, 2), М2 (1, 2, -1), М3 (3, 2, 1), М0 (-5, 3, 7).

1.28.  М1 (1, 1, 2), М2 (-1, 1, 3), М3 (2, -2, 4), М0 (2, 3, 8).

1.29.  М1 (2, 3, 1), М2 (4, 1, -2), М3 (6, 3, 7), М0 (-5, -4, 8).

1.30.  М1 (1, 1, -1), М2 (2, 3, 1), М3 (3, 2, 1), М0 (-3, -7, 6).

1.31.  М1 (1, 5, -7), М2 (-3, 6, 3), М3 (-2, 7, 3), М0 (1, -1, 2).

Задача №2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно вектору .

2.1.  А (1, 0, -2), В (2, -1, 3), С (0, -3, 2).

2.2.  А (-1, 3, 4), В (-1, 5, 0), С (2, 6, 1).

2.3.  А (4, -2, 0), В (1, -1, -5), С (-2, 1, -3).

2.4.  А (-8, 0, 7), В (-3, 2, 4), С (-1, 4, 5).

2.5.  А (7, -5, 1), В (5, -1, -3), С (3, 0, -4).

2.6.  А (-3, 5, -2), В (-4, 0, 3), С (-3, 2, 5).

2.7.  А (1, -1, 8), В (-4, -3, 10), С (-1, -1, 7).

2.8.  А (-2, 0, -5), В (2, 7, -3), С (1, 10, -1).

2.9.  А (1, 9, -4), В (5, 7, 1), С (3, 5, 0).

2.10.  А (-7, 0, 3), В (1, -5, -4), С (2, -3, 0).

2.11.  А (0, -3, 5), В (-7, 2, 6), С (-3, 2, 4).

2.12.  А (5, -1, 2), В (2, -4, 3), С (4, -1, 3).

2.13.  А (-3, 7, 2), В (3, 5, 1), С (4, 5, 3).

2.14.  А (0, -2, 8), В (4, 3, 2), С (1, 4, 3).

2.15.  А (1, -1, 5), В (0, 7, 8), С (-1, 3, 8).

2.16.  А (-10, 0, 9), В (12, 4, 11), С (8, 5, 15).

2.17.  А (3, -3, -6), В (1, 9, -5), С (6, 6, -4).

2.18.  А (2, 1, 7), В (9, 0, 2), С (9, 2, 3).

2.19.  А (-7, 1, - 4), В (8, 11, -3), С (9, 9, -1).

2.20.  А (1, 0, -6), В (-7, 2, 1), С (-9, 6, 1).

2.21.  А (-3, 1, 0), В (6, 3, 3), С (9, 4, -2).

2.22.  А (-4, -2, 5), В (3, -3, -7), С (9, 3, -7).

2.23.  А (0, -8, 10), В (-5, 5, 7), С (-8, 0, 4).

2.24.  А (1, -5, -2), В (6, -2, 1), С (2, -2, -2).

2.25.  А (0, 7, -9), В (-1, 8, -11), С (-4, 3, -12).

2.26.  А (-3, -1, 7), В (0, 2, -6), С (2, 3, -5).

2.27.  А (5, 3, -1), В (0, 0, -3), С (5, -1, 0).

2.28.  А (-1, 2, -2), В (13, 14, 1), С (14, 15, 2).

2.29.  А (7, -5, 0), В (8, 3, -1), С (8, 5, 1).

2.30.  А (-3, 6, 4), В (8, -3, 5), С (10, -3, 7).

2.31.  А (2, 5, -3), В (7, 8, -1), С (9, 7, 4).

Задача №3. Найти угол между плоскостями.

3.1.  x – 3y + 5 = 0, 2x – y + 5z – 16 = 0.

3.2.  x – 3y + z –1 = 0, x + z – 1 = 0.

3.3.  4x – 5y + 3z – 1 = 0, x – 4y – z + 9 = 0.

3.4.  3x – y + 2z + 15 = 0, 5x + 9y – 3z – 1 = 0.

3.5.  6x + 2y – 4z + 17 = 0, 9x + 3y – 6z – 4 = 0.

3.6.  x – y + z – 1 = 0, x + y – z + 3 = 0.

3.7.  3y – z = 0, 2y + z = 0.

3.8.  6x + 3y – 2z = 0, x + 2y + 6z – 12 = 0.

3.9.  x + 2y + 2z – 3 = 0, 16x + 12y – 15z – 1 = 0.

3.10.  2x – y + 5z + 16 = 0, x + 2y + 3z + 8 = 0.

3.11.  2x + 2y + z – 1 = 0, x + z – 1 = 0.

3.12.  3x + y + z – 4 = 0, y + z + 5 = 0.

3.13.  3x – 2y – 2z – 16 = 0, x + y – 3z – 7 = 0.

3.14.  2x + 2y + z + 9 = 0, x – y + 3z – 1 = 0.

3.15.  x + 2y + 2z – 3 = 0, 2x – y + 2z + 5 = 0.

3.16.  3x + 2y – 3z – 1 = 0, x + y + z – 7 = 0.

3.17.  x – 3y – 2z – 8 = 0, x + y – z + 3 = 0.

3.18.  3x – 2y + 3z + 23 = 0, y + z + 5 = 0.

3.19.  x + y + 3z – 7 = 0, y + z – 1 = 0.

3.20.  x – 2y + 2z + 17 = 0, x – 2y – 1 = 0.

3.21.  x + 2y – 1 = 0, x + y + 6 = 0.

3.22.  2x – z + 5 = 0, 2x + 3y – 7 = 0.

3.23.  5x + 3y + z – 18 = 0, 2y + z – 9 = 0.

3.24.  4x + 3z – 2 = 0, x + 2y + 2z + 5 = 0.

3.25.  x + 4y – z + 1 = 0, 2x + y + 4z – 3 = 0.

3.26.  2y + z – 9 = 0, x – y + 2z – 1 = 0.

3.27.  2x – 6y + 14z – 1 = 0, 5x – 15y + 35z – 3 = 0.

3.28.  x – y + 7z – 1 = 0, 2x – 2y – 5 = 0.

3.29.  3x – y – 5 = 0, 2x + y – 3 = 0.

3.30.  x + y + z– 3 = 0, x – y + z– 1 = 0.

3.31.  x + 2y – 2z – 7 = 0, x + y – 35 = 0.

Задача №4. Найти координаты точки А, равноудаленной от точек В и С.

4.1.  А (0, 0, z), B (5, 1, 0), C (0, 2, 3).

4.2.  А (0, 0, z), B (3, 3, 1), C (4, 1, 2).

4.3.  А (0, 0, z), B (3, 1, 3), C (1, 4, 2).

4.4.  А (0, 0, z), B (-1, -1, -6), C (2, 3, 5).

4.5.  А (0, 0, z), B (-13, 4, 6), C (10, -9, 5).

4.6.  А (0, 0, z), B (-5, -5, 6), C (-7, 6, 2).

4.7.  А (0, 0, z), B (-18, 1, 0), C (15, -10, 2).

4.8.  А (0, 0, z), B (10, 0, -2), C (9, -2, 1).

4.9.  А (0, 0, z), B (-6, 7, 5), C (8, -4, 3).

4.10.  А (0, 0, z), B (6, -7, 1), C (-1, 2, 5).

4.11.  А (0, 0, z), B (7, 0, -15), C (2, 10, -12).

4.12.  А (0, y, 0), B (3, 0, 3), C (0, 2, 4).

4.13.  А (0, y, 0), B (1, 6, 4), C (5, 7, 1).

4.14.  А (0, y, 0), B (-2, 8, 10), C (6, 11, -2).

4.15.  А (0, y, 0), B (-2, -4, 6), C (7, 2, 5).

4.16.  А (0, y, 0), B (2, 2, 4), C (0, 4, 2).

4.17.  А (0, y, 0), B (0, - 4, 1), C (1, -3, 5).

4.18.  А (0, y, 0), B (0, 5, -9), C (-1, 0, 5).

4.19.  А (0, y, 0), B (-2, 4, -6), C (8, 5, 1).

4.20.  А (0, y, 0), B (7, 3, -4), C (1, 5, 7).

4.21.  А (0, y, 0), B (0, -2, 4), C (-4, 0, 4).

4.22.  А (x, 0, 0), B (0, 1, 3), C (2, 0, 4).

4.23.  А (x, 0, 0), B (4, 0, 5), C (5, 4, 2).

4.24.  А (x, 0, 0), B (8, 1, -7), C (10, -2, 1).

4.25.  А (x, 0, 0), B (3, 5, 6), C (1, 2, 3).

4.26.  А (x, 0, 0), B (4, 5, -2), C (2, 3, 4).

4.27.  А (x, 0, 0), B (-2, 0, 6), C (0, -2, -4).

4.28.  А (x, 0, 0), B (1, 5, 9), C (3, 7, 11).

4.29.  А (x, 0, 0), B (4, 6, 8), C (2, 4, 6).

4.30.  А (x, 0, 0), B (1, 2, 3), C (2, 6, 10).

4.31.  А (x, 0, 0), B (-2, -4, -6), C (-1, -2, -3).

Задача №5. Написать канонические уравнения прямой.

5.1.  2x + y + z – 2 = 0, 2x – y – 3z + 6 = 0.

5.2.  x – 3y + 2z + 2 = 0, x + 3y + z + 14 = 0.

5.3.  x – 2y + z – 4 = 0, 2x + 2y – z – 8 = 0.

5.4.  x + y + z – 2 = 0, x – y – 2z + 2 = 0.

5.5.  2x + 3y + z + 6 = 0, x – 3y – 2z + 3 = 0.

5.6.  3x + y – z – 6 = 0, 3x – y + 2z = 0.

5.7.  x + 5y + 2z + 11 = 0, x – y – z – 1 = 0.

5.8.  3x + 4y – 2z + 1 = 0, 2x – 4y + 3z + 4 = 0.

5.9.  5x + y – 3z + 4 = 0, x – y + 2z + 2 = 0.

5.10.  x – y – z – 2 = 0, x – 2y + z + 4 = 0.

5.11.  4x + y – 3z + 2 = 0, 2x – y + z – 8 = 0.

5.12.  3x + 3y – 2z – 1 = 0, 2x – 3y + z + 6 = 0.

5.13.  6x – 7y – 4z – 2 = 0, x + 7y – z – 5 = 0.

5.14.  8x – y – 3z – 1 = 0, x + y + z + 10 = 0.

5.15.  6x – 5y – 4z + 8 = 0, 6x + 5y + 3z + 4 = 0.

5.16.  x + 5y – z – 5 = 0, 2x – 5y + 2z + 5 = 0.

5.17.  2x – 3y + z + 6 = 0, x – 3y – 2z + 3 = 0.

5.18.  5x + y + 2z + 4 = 0, x – y – 3z + 2 = 0.

5.19.  4x + y + z + 2 = 0, 2x – y – 3z – 8 = 0.

5.20.  2x + y – 3z – 2 = 0, 2x – y + z + 6 = 0.

5.21.  x + y – 2z – 2 = 0, x – y + z + 2 = 0.

5.22.  x + 5y – z + 11 = 0, x – y + 2z – 1 = 0.

5.23.  x – y + z – 2 = 0, x – 2y – z + 4 = 0.

5.24.  6x – 7y – z – 2 = 0, x + 7y – 4z – 5 = 0.

5.25.  x + 5y + 2z – 5 = 0, 2x – 5y – z + 5 = 0.

5.26.  x – 3y + z + 2 = 0, x + 3y + 2z + 14 = 0.

5.27.  2x + 3y – 2z + 6 = 0, x – 3y + z + 3 = 0.

5.28.  3x + 4y + 3z + 1 = 0, 2x – 4y – 2z + 4 = 0.

5.29.  3x + 3y + z – 1 = 0, 2x – 3y – 2z + 6 = 0.

5.30.  6x – 5y + 3z + 8 = 0, 6x + 5y – 4z + 4 = 0.

5.31.  2x – 3y – 2z + 6 = 0, x – 3y + z + 3 = 0.

Задача №6. Найти точку пересечения прямой и плоскости.

6.1.  , x + 2y + 3z – 14 = 0.

6.2.  , x + 2y – 5z + 20 = 0.

6.3.  , x – 3y + 7z – 24 = 0.

6.4.  , 2x – y + 4z = 0.

6.5.  , 3x + y – 5z – 12 = 0.

6.6.  , x + 3y – 5z + 9 = 0.

6.7.  , x – 2y + 5z + 17 = 0.

6.8.  , x – 2y + 4z – 19 = 0.

6.9.  , 2x – y + 3z + 23 = 0.

6.10.  , 2x – 3y – 5z – 7 = 0.

6.11.  , 4x + 2y – z – 11 = 0.

6.12.  , 3x – 2y – 4z – 8 = 0.

6.13.  , x + 2y – z – 2 = 0.

6.14.  , 5x – y + 4z + 3 = 0.

6.15.  , x + 3y + 5z – 42 = 0.

6.16.  , 7x + y + 4z – 47 = 0.

6.17.  , 2x + 3y + 7z – 52 = 0.

6.18.  , 3x + 4y + 7z – 16 = 0.

6.19.  , 2x – 5y + 4z + 24 = 0.

6.20.  , x – 2y – 3z + 18 = 0.

6.21.  , x + 7y + 3z + 11 = 0.

6.22.  , 3x + 7y – 5z – 11 = 0.

6.23.  , 4x + y – 6z – 5 = 0.

6.24.  , 5x + 9y + 4z – 25 = 0.

6.25.  , x + 4y + 13z – 23 = 0.

6.26.  , 3x – 2y + 5z – 3 = 0.

6.27.  , 3x – y + 4z = 0.

6.28.  , x + 2y – 5z + 16 = 0.

6.29.  , 3x – 7y – 2z + 7 = 0.

6.30.  , 5x + 7y + 9z – 32 = 0.

6.31.  , 2x + y + 7z – 3 = 0.

Задача №7. Найти точку М', симметричную точке М относительно прямой (для вариантов 1-15) или плоскости (для вариантов 16-31).

7.1.  М (0, -3, -2), .

7.2.  М (2, -1, 1), .

7.3.  М (1, 1, 1), .

7.4.  М (1, 2, 3), .

7.5.  М (1, 0, -1), .

7.6.  М (2, 1, 0), .

7.7.  М (-2, -3, 0), .

7.8.  М (-1, 0, -1), .

7.9.  М (0, 2, 1), .

7.10.  М (3, -3, -1), .

7.11.  М (3, 3, 3), .

7.12.  М (-1, 2, 0), .

7.13.  М (2, -2, -3), .

7.14.  М (-1, 0, 1), .

7.15.  М (0, -3, -2), .

7.16.  М (1, 0, 1), 4x + 6y + 4z – 25 = 0.

7.17.  М (-1, 0, -1), 2x + 6y – 2z + 11 = 0 .

7.18.  М (0, 2, 1), 2x + 4y – 3 = 0 .

7.19.  М (2, 1, 0), y + z + 2 = 0 .

7.20.  М (-1, 2, 0), 4x – 5y – z – 7 = 0 .

7.21.  М (2, -1, 1), x – y + 2z – 2 = 0 .

7.22.  М (1, 1, 1), x + 4y + 3z + 5 = 0 .

7.23.  М (1, 2, 3), 2x + 10y + 10z – 1 = 0 .

7.24.  М (0, -3, -2), 2x + 10y + 10z – 1 = 0 .

7.25.  М (1, 0, -1), 2y + 4z – 1 = 0 .

7.26.  М (3, -3, -1), 2x – 4y – 4z – 13 = 0 .

7.27.  М (-2, -3, 0), x + 5y + 4 = 0 .

7.28.  М (2, -2, -3), y + z + 2 = 0 .

7.29.  М (-1, 0, 1), 2x + 4y – 3 = 0 .

7.30.  М (3, 3, 3), 8x + 6y + 8z – 25 = 0 .

7.31.  М (-2, 0, 3), 2x – 2y + 10z + 1 = 0 .

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.  Богомолов занятия по математике. – М.: Высш. шк., 2000.

2.  Гусак пособие к решению задач: аналитическая геометрия и линейная алгебра. – Мн.: ТетраСистемс, 1998.

3.  , , и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1986.

4.  Ефимов курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1975.

5.  , Позняк геометрия. – М.: Наука, 1981.

6.  Кузнецов заданий по высшей математике (типовые расчеты). – М.: Высш. шк., 1983.

7.  Письменный лекций по высшей математике. 1 часть. – М.: Рольф, 2000.

8.  Шипачев математика – М.: Высшая школа, 2000.

9.  Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии./, , и др. – Мн.: Выш. шк., 1986.