Опыт логического анализа рассуждений (стр. 10 )

Эти факты выдвигают на передний план новое обстоятельство, а именно проблему отнесения. В процессах соотнесения мы рассматривали заключительный акт отнесения как направленный на тот же самый, единственный объект, с которого начиналось движение. Это давало нам возможность рассматривать само это отнесение и его направленность как простое следствие исходного движения от объекта и фактически элиминировать специальный анализ самого отнесения и определяющих его факторов. В рассматриваемых теперь сложных процессах последнее языковое выражение непосредственно соответствует иному объекту, нежели тому, с которого началось движение, оно, следовательно, не может рассматриваться как простое следствие исходного движения, и поэтому исследование его направленности и функции в сложном процессе мышления выделяется на передний план и становится специальной задачей. Особую проблему, в частности, ставит вопрос: существует ли свое частное отнесение в частичных процессах мысли, входящих в более сложный процесс, или в таких процессах есть только одно общее завершающее отнесение к исходному объекту исследования? Нетрудно заметить, что этот вопрос означает по существу следующее: какая из двух приведенных выше формул — первая, «раскрытая», или вторая, «циклическая» — точнее передает строение мысли — или, может быть, существуют процессы, соответствующие как одной, так и другой? И если в частичных процессах-элементах существуют свои локальные отнесения, то в каком отношении стоят они к общему, заключительному? К этой же группе вопросов принадлежит вопрос о целостности процесса мысли; в частности, в свете новых моментов требует дополнительного анализа выдвинутая выше идея, что признаком целостности служит цикличность процесса. Если верна и вторая схема, то эта идея будет, очевидно, ложной.

Прежде чем перейти к новым вопросам, подведем некоторые итоги нашего анализа. Столкнувшись с задачей выделить объекты знаний в сложном процессе мысли, мы вынуждены были поставить вопрос о возможных типах этих объектов, который затем слился с вопросом о возможных типах знаний в этих процессах. Решение последнего вопроса, в свою очередь, оказалось зависимым от решения вопроса о возможных взаимоотношениях знаний и их объектов внутри сложных процессов мысли (ибо в этом, как выяснилось, и заключена суть вопроса о типах). Таким образом здесь переплелись два вопроса, которые раньше казались нам раздельными: 1) о возможных типах знаний и объектов знаний и 2) о слоях или уровнях расположения этих знаний, их объектов и соответствующих мыслительных действий в контексте сложных процессов мышления. Решение первого оказалось зависимым от решения второго, а ответ на второй, в свою очередь, оказался связанным с анализом строения тех операций мышления, посредством которых эти знания получаются из других. Таким образом и здесь — мы повторим это еще раз — нет никакой чистой онтологии, а есть особый логический анализ, включающий в себя в качестве подчиненных онтологические моменты.

Этот вывод крайне важен для оценки исторических подходов к проблеме. Рассматривая их, необходимо разделять вопросы, касающиеся знаний, и вопросы относительно объектов этих знаний, так как обсуждение их шло принципиально различным образом: все, что касалось знаний, рассматривалось в гносеологии и логике, а все, что касалось объектов знания, по преимуществу в онтологии (или метафизике).

Исключительно интересные постановки вопроса об объектах различных знаний и их статусе имеются у Аристотеля в «Метафизике». Примечательно также, что число, выражавшее отношение, во времена Евклида рассматривалось вообще не как число — во всяком случае, как сущность совершенно другого рода, нежели обычные числа, полученные из пересчета [Начала Евклида 1948: Примечания]. В какой мере ХХ век стоит позади в тонкости анализа, можно видеть хотя бы на примере рассуждений Ш. Серрюса. «Мы рассматриваем мысли об объектах, поставленные лицом к лицу с предикативными построениями, — пишет он. — Мы исследуем субъекты суждений восприятия, повествовательных суждений, а также субъекты научных суждений. Мы должны будем остановиться на определениях — определениях имен и определениях вещей. Далее мы рассмотрим — в разделе о возможных субъектах — аристотелевский род и математическое множество, перебрав таким образом (курсив мой. — Г. Щ.) — по крайней мере мы так думаем — существенные формы субъектов, определенные посредством их отношений к их предикатам» [Серрюс 1948: 154].

Специального разбора требуют гносеологические концепции объекта А. Мейнонга и Э. Гуссерля. Б. Рассел пришел к различению типов объектов от собственно логических проблем. Но никто из них так, по-видимому, и не дошел до постановки задачи, классифицировать объекты знания с точки зрения строения процессов мысли, а затем свести все это в единой таблице объектов современной человеческой науки.

Но до тех пор, пока не решена эта задача, невозможен анализ самого главного в сложном процессе мысли — переходов от одних частных объектов к другим. У нас не оказывается никакого принципа, который помог бы нам за совершенно хаотическим переплетением многозначных форм высказываний увидеть закономерный ход мысли. Этот вывод ставит перед нами задачу первоочередной важности: рассмотреть способы содержательного оперирования с объектами разного типа (и, следовательно, разных слоев мышления), разложение объектов в соответствии с этими способами деятельности и возможности замены одних способов деятельности другими при соответствующей замене формы обозначения исходных содержаний. Богатый материал для такого анализа дает, по-видимому, как раз геометрия. Но детальный анализ ее в плане этих вопросов — дело будущего.

22.

Мы рассмотрели два из поставленных выше вопросов и наметили примерные пути их разрешения. Но остается еще третий вопрос: сохраняет ли анализируемый процесс мысли свое Т-образное строение при разложении на двухплоскостные единицы, или, иными словами, раскладывается ли он при них по-прежнему на основной и краевые процессы? Обсудим его.

Предыдущий анализ привел нас к выводу, что рассматриваемый процесс мысли состоит из шести как бы приложенных друг к другу краевых процессов. То, что объединяет, связывает их в одно целое, есть так называемая «основная линия» процесса. Но в этой основной линии не оказалось собственно процесса мысли. Это лишь цепь формальных математических соотношений, в соответствии с которой после того, как она получена, совершаются формальные преобразования и формальный «перенос» численного значения. Каждое из математических соотношений, как мы выяснили, должно иметь свое основание в определенных взаимосвязях элементов чертежа и соответственно в определенные мыслительных движениях, во-первых, по чертежу, а во-вторых, от чертежа к формальным словесно-алгебраическим или словесно-арифметическим соотношениям. В этих движениях, предположили мы, и заключено собственно мыслительное движение. Наглядно-символически итог нашего анализа можно изобразить в такой схеме:

где верхние вертикальные линии выражают формальные соотношения, а нижние — содержательное движение в чертежах. Но этот итог является во многом парадоксальным. Ведь, если соотношения, лежащие в верхней плоскости, связаны, а их основания, изображенные внизу, не связаны, то основание этой связи должно быть заключено либо в самих этих соотношениях, либо еще в каком-то третьем образовании, являющемся необходимым элементом процесса мысли, но лежащем в какой-то третьей плоскости, нами еще не обнаруженной. Но в самих отношениях, как легко увидеть, не может быть основания для связи. Это основание должно лежать где-то вне. Предположение, что такое основание лежит в самой задаче — установить непрерывную цепь соотношений — тоже не может быть принято: задача является, конечно, необходимым условием установления такой связи, но сама связь может быть установлена только в деятельности с определенными объектами и должна иметь определенные объективные основания. Значит, если чертежи являются здесь объектами, то в их взаимоотношениях и связях нужно искать основание связи словесно-алгебраических соотношений. Таким образом, если каждое соотношение из их цепи имеет свое содержательное основание, причем сами по себе эти соотношения не связаны, то вполне оправданным является предположение, что между самими этими содержательными основаниями существуют связи, что именно они должны образовывать исходную цепь.

Кроме того, при таком понимании процесса мысли, которое изображено на предыдущей схеме, исчезает целостность рассматриваемого процесса мысли именно как движения. Продукты его связаны, а сам он представляет разрозненную «кучу»; мы теряем целостность самого движения и те факторы, которые определяют переходы от одних взаимосвязей элементов чертежа к другим.

Но если мы признаем наличие такой связи в «нижней плоскости» оснований, то мы, по существу, зачеркнем весь принцип разложения процесса мысли на основную и краевые линии. Весь процесс будет представлять собой пусть внутри очень сложное, но с внешней стороны цельное единонаправленное движение вида:

Обращение к эмпирическому материалу текста убеждает, что такая целостность и связь процесса мысли должны быть.

Возьмем хотя бы первый краевой процесс: «Из подобия треугольников SLT и TEH следует...». Но откуда берутся подобные треугольники, или, точнее, как устанавливается подобие этих треугольников? Оказывается, что треугольник TEH с самого начала строится так, чтобы быть подобным треугольнику SLT. Чем это определяется? И мы можем предположить лишь один ответ: во-первых, в какой-то мере задачей переведения, но безусловно, во-вторых, и общим планом решения задачи, который обязательно должен включать в себя общий план движения в чертежах.

Правда, здесь мы встаем перед исключительно важной проблемой: что представляет собой это движение в «плане решения» задачи, из чего оно возникает и какие специальные символические средства предполагает? Но это уже другая, побочная проблема, а сейчас нам важно подчеркнуть саму зависимость построения подобного треугольника от других «шагов» процесса, в том числе «шагов» в чертежах.

Во втором краевом процессе мы также обнаруживаем весьма характерную вещь. Предложение «Так как FE < TH» имеет своим основанием чисто наглядные соображения и функциональные определения: «TH — наклонная, TE — перпендикуляр» или «TH — гипотенуза, TE — катет». Точно так же — и предложение «FE = TE» (как стороны квадрата). Но именно здесь отчетливо обнаруживается, что все эти определения идут по построению, и как бы «обратным ходом», т. е. построение, очевидно, производилось именно так, чтобы можно было получить эти определения.

В следующем краевом процессе применяется прием среднего пропорционального. Аристарх вводит новые чертежные элементы и вводит их именно затем, чтобы создать непрерывную цепь взаимоотношений в чертежах. Все изложение материала в тексте исходит из уже готовых, построенных фигур, находящихся в определенных отношениях друг к другу, именно тех, которые нужны для решения задачи. Но само построение ведь тоже должно было осуществляться в соответствии с какими-то определенными факторами, с помощью каких-то соображений, и, очевидно, в этих соображениях должна была быть какая-то определенная закономерность. Иначе говоря, и здесь все основное задается построением, и именно порядок построения задает, по-видимому, специфику данного способа решения задачи, выделяет новое содержание, в том числе новые связи. Именно это нужно исследовать, чтобы понять закономерность процесса решения задачи.

Вместе с тем именно в этом кусочке процесса мысли особенно отчетливо выступает связь «чертежных движений» и формальных соотношений, фиксирующих их результаты, и даже более того — известная зависимость первых от вторых. Одна из основных задач, очевидно, заключается в том, чтобы проанализировать эту зависимость.

В четвертом процессе («Но отношение отрезков GE и EH больше отношения дуг и значит...») мы совершенно ясно видим, что достаточно получить определенные соотношения в чертежах («отрезки—дуги»), чтобы можно было записать соотношение во второй плоскости. Но откуда и как получается эта система чертежей?

Пятый переход вообще не фиксируется словесно: одна линия представляется как сумма своих частей.

Шестой случай («Но в треугольнике ETF линия TG биссектриса угла ETF, поэтому TF:TE = FG:GE. Но квадрат, построенный на диагонали TF, вдвое более квадрата, построенного на TE или ET») требует специального и подробного анализа, который мы здесь не будем проводить; нам достаточно убедиться, что и здесь в основании лежат определенные соотношения чертежных элементов, которые должны были быть заданы раньше построением. Но это совершенно очевидно, так как сложная система квадратов не возникает сама собой, а должна быть выбрана и построена.

Итак, все процессы мышления, выделенные нами первоначально в краевые линии, оказываются неорганизованными, беспредметными и совершенно мистическими, если мы рассматриваем их изолированно, обособленно от общего контекста процесса мысли и от исходной задачи. Верхняя, формальная линия соотношений сама по себе не дает связей; эти связи могут быть только в чертежном движении, а точнее — в процессе построения соответствующей системы чертежей. Но ведь нас интересует выделение целостных единиц в процессах мышления, которые затем можно будет употреблять в качестве эталонов разложения, и выявление законов построения сложных процессов мысли. Значит, мы можем и должны сделать вывод, что краевые процессы не могут быть такими единицами, а сам принцип анализа, приводящий к ним, ложен.

Но даже если мы примем идею изображения рассматриваемого процесса мысли как цельного, единонаправленного движения, то и тогда перед нами во всей остроте будет стоять вопрос: а каково внутреннее строение этого процесса, какова последовательность движений и на какие единицы — линейные или структурные и многомерные — нужно раскладывать этот процесс?

И, в частности, одним из основных вопросов будет тот, который мы уже наметили выше, рассматривая один из краевых процессов: в какой мере движение в чертежах, и именно построение, определяется характером словесно-алгебраических соотношений, которые нужно получить для решения задачи? Откуда идет собственно мыслительное движение — от чертежа к знанию или от необходимости получить определенное знание (в данном случае — цепь формальных соотношений) к чертежу?

Можно предположить, что задача ставится так: установить непрерывный ряд формальных соотношений. Средство ее решения — создание «чертежной» системы, в которой существовали бы такие отношения и связи между чертежными элементами, которые дают основание для искомой цепи словесно-алгебраических (или словесно-арифметических) соотношений. Движение мысли идет от задачи к средству и затем — от одних элементов средства к другим. Но, во-первых, собственно у Аристарха, по-видимому, не было такой сознательно сформулированной задачи. Он просто решал задачу — и прежде всего в ходе определенных «чертежных» построений и преобразований. Но действия с чертежами, в результате которых устанавливались определенные отношения между фигурами и их элементами, сопровождались действиями, в которых выделялось определенное содержание («больше», «меньше», «равно») и фиксировалось в тех самых знаках, в которых должно было быть получено решение задачи. Можно, по-видимому, предположить, что определенные действия сопоставления производились и в этой плоскости знаков, и их результаты также определяли выбор следующих шагов. Но они были лишь вторичными, хотя и важными элементами, и действия с ними не выступали еще в виде самостоятельной относительно замкнутой системы. Значит, если мы сейчас и можем ставить такую задачу — получить непрерывную цепь формальных соотношений, связывающую искомое с известными данными, то Аристарх, судя по всему, не ставил такой задачи: ему надо было установить эту цепь соотношений (точнее — взаимоотношений) в самих геометрических чертежах, установить так, чтобы искомое определялось через известное.

Чтобы понять, как этот способ решения превратился в более формальный и одновременно более компактный, свернутый, наш современный способ, нужно провести специальное генетическое исследование. Но уже то, что мы сейчас знаем, подтверждает основную для нас сейчас мысль, что у Аристарха движение шло, хотя и с учетом верхней плоскости и фиксируемых там результатов, но скорее в нижней плоскости самих чертежей, и именно там должны были фиксироваться в какой-то форме необходимые для решения задачи переходы от одних чертежных соотношений к другим.

Во-вторых, этот вывод подтверждается тем, что ведь сама цепь формальных отношений, ее состав, определяется возможностями чертежного построения. Ее элементы не заданы изначала как условие, они не определены однозначно, их подбор — лишь следствие того или иного движения в чертежах и будет таким на всех этапах развития мышления.

Эти два соображения приводят нас к выводу, что процесс решения рассматриваемой задачи ни в коем случае нельзя представлять как изолированные (или относительно изолированные) движения в одной из плоскостей. Они не являются также и двумя параллельными, совершающимися относительно независимо и лишь соответствующими друг другу движениями. Вернее всего, что это — единое движение, которое в равной мере определяется как своей задачей — перевести отношение одних величин в отношение других или, позднее, установить непрерывный ряд соотношений, так и возможностями движения в чертежах. Это единое движение содержит, по-видимому, непрерывные «переброски» с одной плоскости на другую. К примеру, после того, как на основе определенного движения в чертежах, найдено промежуточное соотношение, мы вновь возвращаемся к чертежам и ищем среди их элементов такое отношение, которое могло бы дать соотношение, связывающее данное отношение с новым в промежуточном соотношении. Таким образом поиск и движение в чертежах определяется задачей, которая фактически существует как задача получения определенного знания или определенного выражения. Таким образом, определенная характеристика продукта из верхней плоскости определяет характер познавательного движения в нижней плоскости, т. е. в плоскости объектов. Собственно это обстоятельство и обнаруживает прежде всего, что мы имеем дело с единым целостным движением, а не с двумя просто тесно связанными между собой.

Но чтобы проанализировать этот единый процесс, мы должны начать с анализа построений, т. е. движений в собственно объектах, определяя попутно, чем обусловливается каждый шаг в них. Мы должны построить весь этот процесс мышления «снизу», исходя сначала из действий с первыми, начальными объектами, затем учитывая первые их заместители и действия с ними, еще после — вторые заместители и т. д. Но это, в свою очередь,, упирается в решение вопросов, которые были поставлены в конце предшествующего параграфа: каковы познавательные действия с объектами разных слоев и в каких условиях при решении задач происходит переход от одного слоя заместителей к другому? Обсуждение этих вопросов — а систематически оно может быть проведено лишь в контексте восходящего исследования — должно стать темой ближайшей работы.

[1] «Метод Аристарха в определении отношений лунного и солнечного расстояний, — добавляет , — есть первый по времени и удачный по результатам шаг в области математической астрономии древних. Хотя результат, полученный Аристархом, далеко не точен, но чисто геометрическая основа рассуждений безусловно верна».

[2] Мы оставляем сейчас в стороне вопрос о природе более сложных знаний, относящихся уже к более высоким уровням и этажам развития мышления, которые дают возможность «свернуть» эту громоздкую таблицу в небольшое число правил, с помощью которых можно без мышления и соответственно без всякого труда производить все действия деления чисел друг на друга.

[3] Модернизация, о которой мы сказали выше, имеет место при записи этого соотношения (алгебраического тождества) ; в системе рассуждения Аристарха этого соотношения не было и решение осуществлялось в форме индуктивных арифметических представлений. Более подробно об этих моментах мы будем говорить ниже.

[4] Мы пока сознательно пропускаем здесь одно формальное звено:

так как оно не может быть пока проанализировано ни как содержательное действие, аналогичное переведению, ни как краевой процесс. По своему характеру это действие подобно формальным действиям деления, умножения и т. п. Анализ их природы и функциональной роли в сложных процессах мышления будет проведен ниже.

[5] Т. е. выделяющим в объектах какие-то новые стороны — свойства, отношения, связи.

[6] Например: известно, что IE:GE > 36:15, а GE:EH > 15:2. Не формулируя тождества FE:EH = (FE:GE)(GE:EH) и основываясь на каких-то, как говорят, «интуитивных» моментах, заключают, что FE:EH > 36:2. Это и будет в таком случае содержательный или, если можно так сказать, «полусодержательный» элемент формального в целом действия переноса.

[7] Здесь нужно специально оговориться, что мы отнюдь не считаем эту схему удовлетворительным изображением строения соответствующего процесса мысли. Чтобы получить такое, адекватное предмету, изображение надо применить иной метод анализа, основывающийся на особой системе понятий о мышлении как процессе. А эти понятия могут быть введены только дальше. Поэтому пока мы применяем приведенную выше схему как средство приближенного описания, и она вполне служит этой цели, так как дает возможность понять те стороны рассматриваемого процесса мысли, на которые мы хотим обратить внимание. Конечно, обоснование этому может быть дано только в дальнейшем, после систематического введения новых понятий.

[8] Знаки > и < читаются по направлению стрелки. Значения 7 и 5 для величин FG и GE в формуле (9.2) получаются путем формального преобразования

По своему характеру это преобразование подобно формальным действиям сложения, умножения и т. п. Формула, по которой оно совершается, и процесс получения не может рассматриваться как краевой процесс, входящий в рассматриваемый процесс мышления. Поэтому пока мы совершенно сознательно вынесли его за пределы схемы, хотя при более точном рассматривании он должен войти в нее, так же как и процесс выработки и использования тождества (FE:GE)(GE:EH) = FE:EH.

[9] Например: «Я понимаю под словом, соответственно, языком любой знак, соответственно, знаковую систему, поскольку они употребляются с той же направленностью и с теми же задачами, что и слова звукового языка. Таким образом, алгебраические символы, письменные знаки любого вида и геометрические фигуры будут рассматриваться как специального вида язык...» [Révész 1954: 11].

[10] Это положение интересно сравнить, с одной стороны, с «изображенческой теорией» обычных словесных предложений, развитой представителями английской школы анализа языка, в частности Дж. Уисдомом и др., с другой — с замечанием Л. Кутюра, направленным против утверждений о наглядности геометрических чертежей: «Ведь если допускают, что понятия необходимо (а не просто удобно) представлять знаками, то этого представления никак нельзя назвать конструированием понятий, ни заключить отсюда, что они по природе воззрительны. Это есть попросту смешение знака с обозначаемым. Знаками, аналогичными алгебраическим, можно представлять даже логические отношения (в алгебре логики): отсюда не следует, что эти отношения мыслятся нами лишь при посредстве наглядного представления. Мы видели, что сам Кант изображает состав понятия символической формулой (a + b); следует ли отсюда, что этот состав есть продукт синтеза в наглядном представлении? Итак, он опровергает свое собственное учение доведением его до конца, ибо, если рассуждать таким образом, то окажется, что нет ни одного понятия, ни одного отношения, относительно которого нельзя было бы доказать, что оно основано на наглядном представлении. Не передаются ли словами все наши идеи, и что такое эти слова, как не видимые или слышимые знаки, которые «конструируют» наши идеи в пространстве и времени?» [Кутюра 1913: 232-233].

[11] Не менее показательным является, к примеру, счет дней или каких-либо предметов по зарубкам на палке и т. п.

[12] Обнаруженное при разборе этого примера соответствие между задачей деятельности, характером действий и способом выражения определенного объективного содержания является исключительно интересным фактом, требующим своего объяснения. Однако такое объяснение возможно только в контексте генетического восхождения.

[13] Разница между геометрическими чертежами и обычными словесными или алгебраическими знаками заключается только в следующем: свойства материала вторых не связаны непосредственно со свойствами обозначаемого этим материалом содержания, отношение замещения между содержанием и этим материалом не предполагает никакого сходства в свойствах, и поэтому, имея дело с материалом этих знаков, мы всегда сравнительно легко различаем, когда мы берем его во взаимосвязи замещения — как знаковую форму и со стороны функциональных свойств прежде всего (атрибутивные свойства этого материала и его структура выступают в этом случае как то, через посредство чего фиксируются и выявляются функциональные свойства и совершенно иное по своим свойствам и структуре содержание), а когда — просто в качестве самостоятельных объектов и, следовательно, только со стороны атрибутивных свойств и структуры. Эта особенность обычных словесных, а также математических знаков давно была зафиксирована в тезисе об их «конвенциональной» природе. Свойства материала знаков первого вида, т. е. чертежей, напротив, как мы уже говорили, в целом ряде отношений сходны со свойствами обозначаемого содержания — на этом, собственно, и строится в этих случаях отношение замещения, — и поэтому, имея дело с материалом этих знаков, мы часто не можем выяснить, с чем мы, собственно, имеем дело и как именно рассматриваем этот материал: во взаимосвязи замещения, как знаки-модели, а свойства этого материала — атрибутивные и структурные — как имеющие функциональную нагрузку и выражающие в точности такие же свойства содержания, или, напротив, мы берем его как самостоятельный объект, безотносительно к связи замещения и, соответственно, только в его собственных атрибутивных и структурных свойствах.

[14] В частности, важное значение имеет вопрос: насколько необходимым является требование, чтобы знаки-модели образовывали системы? Какими свойствами вообще должны обладать знаки, чтобы из них могли сложиться знаковые системы.

[15] Здесь надо заметить, что не только это, но и многие другие выражения, будучи зафиксированы словесно только один раз, фактически участвует в доказательстве по несколько раз в различных планах. Такое явление было отмечено уже в классической теории силлогизма под именем энтимемы. Поскольку в этом контексте мы не анализируем структуру мыслительных операций, составляющих доказательство теоремы, а также структуру получаемых посредством них знаний, постольку мы можем не обращать внимание на это обстоятельство.

[16] Мы оставляем сейчас в стороне разбор всех тех различий, которые могут существовать между этими преобразованиями с алгебраической точки зрения.

[17] -Болтовский добавляет к этому: «Некоторые математики вводили предложение, обратное евклидову, хотя в его постановке оно, вообще говоря, не обратимо: равновеликие фигуры могут и не совпадать друг с другом при наложении. Однако Евклид в своих доказательствах пользуется частными видами такой обращенной аксиомы 7, т. е. признает наложимость равных отрезков и углов. Это было отмечено всеми комментаторами Евклида, которые пополнили его систему аксиом группой аксиом конгруэнтности. Некоторые авторы обращали аксиому в определение, определяя равенство наложимостью» (с. 251). Мордухай-Болтовский здесь непоследователен: то он говорит, что в постановке Евклида это положение необратимо, то признает, что сам Евклид пользуется такой обращенной аксиомой, и затем добавляет, что некоторые авторы рассматривали эту аксиому как определение. С нашей точки зрения, правильно именно это последнее положение, а из него естественно вытекают обратимость аксиомы 7 и необходимость такой обратимости. Другое дело, что такое обращение обнаруживало внутреннюю противоречивость понятия «равно», возникшую в ходе развития геометрии и присущую «Началам», но оно и должно восприниматься таким образом.

[18] По поводу термина «целое» в этой связи -Болтовский замечает: «У Евклида ta öla , что вполне точно переводится "целые", а не "суммы", Евклид не мыслит сложения величин и получаемых после сложения сумм» [Мордухай-Болтовский 1948: 15].

[19] Фактически, как аксиома другой, негеометрической формальной системы.

[20] При этом возникает исключительно важный и принципиальный вопрос: можно ли представить эти ряды действий по преобразованию чертежей в геометрии в виде единой замкнутой системы или эти преобразования необходимым образом перемежаются словесно-алгебраическими выражениями и действиями с ними? Ответ на него может быть дан только на пути восходящего генетического исследования. Одновременно это будет решением вопроса о роли словесных рассуждений в доказательстве.

[21] Вообще говоря, как мы видели из предыдущего анализа и в чем мы сможем дополнительно убедиться в дальнейшем, существует и такая деятельность со знаками, которая не является формальным движением по готовым связям знаний и дает возможность выявлять определенное содержание. Но это содержание не может быть таким же, каким является содержание, выявляемое посредством каких-то других объектных действий. Фактически, такие неформальные действия со знаками являются особыми объектными действиями, а различные объектные действия в принципе выявляют различное содержание. Таким образом, совершенно оправданным и правильным является вывод, что действие со знаками, позволяющее получить то же самое содержание, что и определенное объектное действие, может быть только формальным.

[22] Здесь любопытно отметить, что фактически «равенство» объектов треугольной формы как таковых, в целом означает не что иное, как равенство (и соответственно совмещение) всех сторон и всех углов; другими словами, содержание языкового выражения «равно», взятого в отнесении к объектам треугольной формы, т. е. содержание знака (a), складывается из содержания знаков (b1), (b2), (b3), (b4), (b5), (b6), фиксирующих равенство сторон и углов этих объектов. Но это, между прочим, означает, что между (a) и (b1 ... b6) существует отношение, очень похожее на то, которое И. Кант называл «аналитическим». Вместе с тем оказывается, что между свойствами, обозначенными как (b1 ... b6), в свою очередь, существуют связи — такие, что из «существования» (т. е. наличия) b1, b2, b3 (равенство двух сторон и угла между ними), b1, b2, b6 (равенство стороны и двух углов, прилежащих к ней) или b1, b3, b5 (равенство трех сторон), следует «существование» (т. е. наличие) и всех других свойств, входящих в комплекс b1 ... b6. (Для сравнения надо указать на то, что из «существования» b2, b4, b6 «существование» a не следует). Если «учесть» эти связи между свойствами b и брать лишь минимальную группу их, обусловливающую существование всех других и свойства a, то тавтологичная по своей природе «аналитическая» связь (b1, b2, b3, b4, b5, b6) превращается в отнюдь не тавтологичную и, по всем признакам, «синтетическую» двустороннюю связь (b1, b2, b3) « a. Фактически, она равносильна связи a (b1, b2, b3) ® (b4, b5, b6); последняя нуждается в обосновании, и оно было дано в геометрии предложениями: «через две точки можно провести только одну прямую» или «две прямые пересекаются только в одной точке». Но все это уже выходит за рамки проводимого нами анализа.

[23] Здесь слово «стороны» мы употребляем не в смысле сторон треугольника, а в смысле сторон объекта, т. е. любых операций, которые могут характеризовать любой объект и могут быть выделены в качестве особых предметов.

[24] Для упрощения мы оставляем сейчас без внимания то обстоятельство, что для получения знания, выраженного в предложении 32, надо обращаться не только к предложению 29, но также к предложению 13, аксиоме 2 и другим знаниям. Учет этих деталей или пренебрежение ими ничего не изменит сейчас в способе нашего (пока весьма грубого) рассуждения, хотя подлинный анализ процесса получения необходимых связей вида (l) ® (c) должен будет учесть и объяснить все эти моменты.

[25] Мы не можем здесь обсуждать различные оценки природы аксиом, их значения в системе геометрии и условий происхождения. По этому вопросу существует огромная литература и предельное многообразие точек зрения.

[26] Ср. с положением Л. Кутюра: «Геометрия не может быть автономной наукой, имеющей свои особые принципы и опирающейся на «синтетические суждения apriori»; она — ряд формальных дедукций, имеющих исходным пунктом некоторое определение и развивающих до бесконечности логические следствия из него. Одним словом, геометрия — не что иное, как простое продолжение логики» [Кутюра 1913: 176].

[27] Хотя и там можно встретить иногда некоторые скептические нотки: «Затронутые вопросы (доказательство непротиворечивости цепей формул. — Г. Щ.) <...> и в настоящее время все еще не являются окончательно решенными. Более того, пути их решения оказались совсем не столь гладкими, как когда-то представлял себе Гильберт; здесь обнаружено немало подводных камней, глубоко усложнивших задачу» [Рашевский 1960: 96-97].

[28] Само сопоставление объектов-чертежей, как мы уже говорили выше, осуществляется часто в форме словесного описания. Это словесное описание входит в тело геометрии как особая часть, но существует наряду с цепями словесно-алгебраических выражений вида (d) ® (g) ® (b) ® (a) и часто переплетается с ними. На эту сторону дела мы уже указывали выше и поэтому сейчас оставляем ее в стороне.

[29] Обратите внимание на это «то есть».

[30] В этой связи важно отметить, что введение знаков постоянных и переменных в математической логике фактически имело целью различить реальные и формальные знания и в этом плане есть неудачная форма учета двухплоскостности реальных знаний. Поэтому вводя в свои схемы двухплоскостность за счет использования двух измерений, мы вполне можем отказаться от самих знаков, постоянных и переменных, и в то же время сохранить то действительно правильное содержание, которое было заключено в идее использования этих знаков.

[31] Здесь нужно специально оговориться, что, очевидно, могут существовать и существуют также и другие способы связи операций и процессов мысли в более сложные мыслительные единицы. Подробнее об этом мы будем говорить ниже.

[32] Эта совокупность реальных знаний позволяет нам посредством процесса соотнесения на основе формального знания «Если два угла треугольника равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны» получить реальное знание (7).

[33] Нередко отношение предиката к субъекту прямо отождествлялось с отношением знания к объекту. Тогда предикат «существовал» как знание, а субъект — как вещь, как объективная реальность. В Аристотелевой логике слово «есть» — по мнению Ж. Лашелье — берется во всей полноте его метафизического смысла: «Петр есть человек» означает, что Петр существует, т. е. является и для собственного своего сознания и для сознания других под формой человечности.

[34] Специально нужно рассмотреть вопрос, в какой мере это изображение повлияло на появление современной формулы вида (X)Р.