Опыт логического анализа рассуждений (стр. 6 )

Предположим теперь, что первая пара сторон наших объектов при наложении совместилась, а вторая — нет. Перед человеком, осуществляющим наложение, естественно возникает вопрос: в чем причина этого? От чего зависит или чем определяется то, что вторая пара сторон (при равенстве первой пары сторон) не совместилась? Фактически это означает, что перед человеком встает задача выявить в объектах и сделать предметом специального рассмотрения какие-то новые, дополнительные свойства, от характера которых зависит, произойдет совмещение объектов или нет. В разбираемом случае таких свойств (соответственно причин), определяющих «несовмещение», две: 1) неравенство углов между соответствующими сторонами объектов и 2) (при равенстве углов) неравенство самих сторон. С другой стороны, из многократно повторяющегося опыта выясняется, что, если углы между соответствующими сторонами равны и равны сами стороны, то каждый раз происходит и совмещение третьей пары сторон, а вместе с тем и объектов в целом. Так или примерно так, путем анализа предметно-практического действия наложения и тех действий, которые производят, проверяя, произошло ли совмещение объектов (особенно благодаря анализу тех случаев, когда совмещения нет), приходят к выделению тех свойств, на основании которых, не производя самого наложения, можно судить, произойдет ли совмещение объектов как целых [22].

Мы оставим сейчас в стороне все вопросы о том, как именно фиксируются вновь выделенные «стороны» [23] — свойства объектов, как обнаруживается и фиксируется в специальных знаках их равенство, как устанавливается необходимый характер связи содержаний этих знаков с прежним признаком равенства объектов в целом, как находится знаковая форма для выражения этой связи и все подобные им (дать обоснованный ответ на все эти вопросы — дело систематического генетического исследования).

В данной связи нам важно дать лишь самую общую схему обходного пути решения задачи и на ее основе постараться дать ответ на поставленные выше вопросы, во-первых, относительно характера свойства b, его отношения к свойству a, природы операции, посредством которой выявляется b, и возможности осуществления ее в подразумеваемом плане, во-вторых, относительно природы словесных рассуждений, входящих в систему геометрии. Для этого нам важно подчеркнуть следующее.

Как показал разобранный пример, действие наложения двух объектов друг на друга — казалось бы одноактное и простое — распадается на ряд следующих друг за другом действий, каждое из которых выявляет особое содержание, фиксируемое в специальном словесном знаке. При этом происходит «анализ» исходных объектов А и В и выделяются определенные их «стороны» a1 и b1, a2 и b2, a3 и b3 (в данном примере — стороны объектов и углы между этими сторонами). Между знаками, фиксирующими равенство соответствующих «сторон» a1 и b1, a2 и b2, a3 и b3 — обозначим их как (b1), (b2), (b3), — и знаком a, фиксирующим равенство объектов А и В в целом, устанавливается каким-то образом связь (b1, b2, b3) ® (a). После того, как эта связь установлена и закреплена, мы можем решать исходную задачу определения равенства исходных объектов А и В обходным путем: по отдельности устанавливая равенство «сторон» a1 и b1, a2 и b2, a3 и b3, а затем формально двигаясь по связи (b1, b2, b3) ® (a). При определенных условиях, когда в силу каких-то причин (например, размеров или тяжести объектов, делающих невозможным их перемещение) объекты А и В непосредственно не могут быть наложены друг на друга, обходный путь решения задачи становится единственно возможным. При этом приходится вводить дополнительные «объекты-посредники», выступающие в роли эталонов для тех сторон a1 и b1, a2 и b2, a3 и b3, которые мы выделили в объектах, и производить уже не три объектных действия наложения, а по меньшей мере шесть. (Надо отметить, что вместе с этим могут появляться и дополнительные действия сопоставления знаковых выражений, связанные со «сведением» эталонов друг к другу или другими подобными же задачами.) Наглядно-символически весь этот процесс обходного решения задачи может быть изображен так:

где a1 и b1, a2 и b2, a3 и b3 — «стороны» объектов А и В, сопоставляемые друг с другом через сопоставление их с эталонами Э1, Э2, Э3 (в частном случае это может быть один и тот же эталон), вертикально расположенные фигурные скобки изображают сами эти объектно осуществляемые сопоставления с эталонами, горизонтальные линии, попарно связывающие фигурные скобки, изображают сопоставления результатов первых сопоставлений, вертикальные линии, как обычно, связи со знаками, (b1), (b2), (b3) — знаки, фиксирующие содержание, выявленное посредством этих сложных сопоставлений, наклонная линия обозначает объединение свойств, фиксируемых этими знаками, в одно, (a) — знак, фиксирующий равенство объектов А и В как таковых, горизонтальная стрелка обозначает необходимую связь между (b1, b2, b3) и (a), а вертикальная стрелка вниз от (a) — приписывание соответствующей характеристики исходным объектам А и В.

Но весь этот обходный путь решения задачи, изображенный на схеме, относится к тому случаю, когда мы имеем дело с объектами и устанавливаем равенство их «сторон» путем фактического наложения этих «сторон» друг на друга или эталонов на эти «стороны». Когда же мы переходим в сферу геометрии, где объектами оперирования являются чертежи-знаки, замещающие реальные объекты, тогда (по соображениям, которые мы уже излагали выше) фактическое, реально осуществляемое наложение становится невозможным: его надо осуществлять в представлении, подразумеваемым образом. Но при таком способе осуществления наложения становится неопределенным его результат. Следовательно, в собственно геометрии нельзя определять характеристики b1, b2, b3, а приходится предполагать, что они уже определены, т. е. полагать действия наложения уже произведенными, а содержание выявленным, причем, выявленным именно таким, какое требуется связью (b1, b2, b3) ® (a). Но это означает, что равенство элементов a1 и b1, a2 и b2, a3 и b3 становится условием движения в собственно геометрии. Таким образом, в общих чертах мы отвечаем на вопрос относительно взаимоотношения свойств b и a и характера операции, вычленяющей b. Свойства b (так как их всегда оказывается несколько) представляют собой свойства, обязательно или «необходимо» обнаруживающиеся в отношениях между «сторонами», накладываемых друг на друга объектов, тогда, когда имеется налицо свойство a, характеризующее отношение между объектами в целом. В то же время свойства b являются такими, что наличие их обусловливает и наличие свойства a. Операции, посредством которых выявляются свойства a, насколько показывает разобранный пример, не могут быть осуществлены в подразумеваемом плане; поэтому они не могут осуществляться в собственно геометрии, и их результат предполагается уже данным.

Но отсюда непосредственно вытекает другое важное следствие, характеризующее собственно геометрию и являющееся частью ответа на поставленный выше вопрос относительно природы словесных рассуждений, входящих в систему геометрии. Действительно, если знания (b1), (b2), (b3), фиксирующие равенство определенных элементов чертежа (эти элементы на языке геометрии выражают определенные «стороны» объектов), становятся условием движения в собственно геометрии и предполагаются уже данными, то само это геометрическое движение сводится лишь к фиксации в представлении последовательности осуществления подразумеваемых действий, или, иначе, последовательности привлечения в рассуждении знаний (b1), (b2), (b3). Но если таких действий длинный ряд, то фиксировать его в чисто предметном представлении просто невозможно; к этому добавляется необходимость сообщать об этой последовательности подразумеваемых действий другим; таким образом возникает словесное описание.

Этот вывод, хотя он и сделан на основе очень грубого анализа, исключительно важен. Он позволяет объяснить появление в геометрии словесных описаний действий, осуществляемых в подразумеваемом плане, и показывает необходимость их появления.

Остается не совсем выясненным вопрос о роли и значении для геометрии другого вида словесных выражений, именно, выражений вида (b) ® (a), а вместе с тем не получен еще ответ на вопрос о правомерности точки зрения Л. Кутюра и других представителей формалистического направления. Чтобы осветить эту сторону дела, необходимо вернуться к анализу обходного пути решения задач. Выше мы уже сказали, что новые объектные действия, к которым переходят от прежних при формировании какого-либо обходного пути решения задачи, должны соответствовать способу существования объектов. Если этого нет и объектная деятельность, необходимая для обнаружения свойств группы b, точно так же «не подходит» к способу существования объектов А и В, как и деятельность, приводящая к a, то уже разобранная схема обходного пути может быть применена вновь столько раз, сколько это необходимо, пока не будет достигнут переход к «подходящей» объектной деятельности.

В схеме это выразится примерно так:

где А и В исходные объекты, знак, состоящий из сплошной и штриховой линий, изображает сложную систему действий, посредством которой выявляются определенные характеристики отношений между «сторонами» объектов А и В (или в геометрии — элементами соответствующих этим объектам чертежей), (l) — языковое выражение, фиксирующее эти характеристики, (a) — характеристика отношения объектов А и В, которую надо получить по условиям исходной задачи, (b)...(c) — «промежуточные» языковые выражения, позволяющие формально вывести (a) из (l), горизонтальные стрелки обозначают «необходимые» связи между этими языковыми выражениями, V-образные знаки изображают сложные действия с объектами А, В и другими, посредством которых эти необходимые связи выявляются как особые содержания, вертикальные двойные штриховые линии обозначают связи между этими содержаниями и фиксирующими их языковыми формами вида (l) ® (c), наконец, вертикальная стрелка, идущая вниз от (a), обозначает «приписывание» формально выведенного свойства объектам А и В.

Проанализируем некоторые аспекты содержания, выражаемого этой схемой. На основе всего разобранного выше можно утверждать, что какой бы длины ни были цепи формального выведения, они в своем конечном пункте предполагают в качестве обязательного условия определенную объектную деятельность. Это зафиксировано на схеме знаком сопоставления, приводящего к выражению (l). Но, как и в более простых случаях, эта деятельность лежит за границами собственно геометрии: в последней просто предполагается, что эта деятельность уже осуществлена и нужный результат получен.

Кроме того, обязательным условием появления самой этой цепи формального выведения является сложная система действий, с помощью которой выделяются и фиксируются как особое содержание сами связи между (l), (c) ... (b), (a). Поскольку в выделении этих связей и состоит специфическая задача геометрии, постольку действия, с помощью которых это выделение осуществляется, должны, очевидно, входить в ее собственную систему. Выше, при разборе доказательств некоторых предложений из «Начал» Евклида мы показали, что эти действия представляют собой прежде всего преобразования чертежей, осуществляемые реально (например, с помощью циркуля и линейки) или в подразумеваемом плане (часто с помощью словесного описания). Фактически, они строятся по такой же схеме, как и любой другой процесс решения задачи: отдельные шаги в преобразовании чертежей фиксируются в связях знания, а последовательность и связь этих шагов определяют последовательность и связь структур знания.

На схеме этот процесс будет выглядеть примерно так:

[(y) ® (j)] Þ [(m) ® (n)] Þ [(l) ® (c)]

ç ç (27)

éù éù

E F I K

где E, F, I, K — определенные объекты-чертежи, знак «ворот» éù изображает какие-то сложные действия по преобразованию их (или сопоставлению друг с другом), (y) ® (j), (m) ® (n), (l) ® (c) — «необходимые» связи свойств, а двойные горизонтальные стрелки изображают переходы от одних «необходимых» связей к другим, осуществляемые на основе и с помощью преобразований чертежей.

Нам в этой связи особенно важно подчеркнуть, что основание для перехода от (y) ® (j) к (m) ® (n) и далее к (l) ® (c) лежит в преобразовании чертежей. Если мы возьмем к примеру доказательство предложения 32 из «Начал» Евклида, то связь (l) ® (c) будет изображать само это предложение («во всяком треугольнике по продолжении одной из сторон внешний угол равен двум внутренним и противоположным, и внутренние три угла треугольника <вместе> равны двум прямым» [Евклид 1948: 43]), связь (m) ® (n) будет изображать предложение 29 («прямая, падающая на параллельные прямые, образует накрестлежащие углы, равные между собой, и внешний угол, равный внутреннему противолежащему с той же стороны, и внутренние односторонние углы <вместе> равны двум прямым» [Евклид 1948: 41]), а i éù K — определенные построения, преобразующие исходный треугольник, о котором идет речь в предложении 32, в более сложную фигуру, к которой можно применить знание, выраженное в предложении 29 [24].

Именно так, как мы уже выяснили на анализе конкретных примеров, вырабатываются новые «необходимые» связи у Евклида, и именно эта особенность способа их получения определяет характер и способ всей организации геометрии как науки, ее систему.

Но здесь вполне закономерно поставить вопрос: насколько единственной и необходимой является такая система организации геометрии? И ответ, в принципе, может быть только отрицательным.

После того, как предложения (y) ® (j), (m) ® (n), (l) ® (c) ... получены, их структурам, не меняя в общем и целом содержания самих предложении, можно придать такой вид и одновременно найти такие правила преобразования структур друг в друга, что мы получим «непрерывную» систему из всех имеющихся предложений, допускающую, теперь уже на основании иных принципов, все те переходы, какие были получены ранее на основе преобразования чертежей. Для этого надо, во-первых, изменить точку зрения на некоторые предложения — начать рассматривать их не как полученные путем анализа реальных явлений и реальных действий по отношению к предметам, а как предложения, допущенные гипотетически, без доказательств (так называемые «предметные аксиомы геометрии») [25], во-вторых, принять определенные правила преобразования предложений (y) ® (j), (m) ® (n)... друг в друга (так называемые «логические аксиомы», или логические правила умозаключений), наконец, можно для достижения «непрерывности» ввести какие-то дополнительные содержательные «необходимые» связи вида (y) ® (j).

Тогда та же самая цепь «необходимых» связей знания, которая первоначально была получена на основе преобразования чертежей, примет вид:

(f, k, l...) (f, k, l...) (f, k, l...)

ç ç ç (28)

S [(A ) ® (B )] Þ [(y')® (j')] Þ [(m')® (n')] Þ [(l')® (c')]

где S [(A) ® (B)] — набор «предметных геометрических аксиом», (y')® (j'), (m')® (n'), (l')® (c') — геометрические предложения, выраженные в словесно-алгебраической форме, соответствующей определенным логическим правилам преобразования, (f, k, l...) — сами эти логические правила, определяющие преобразование словесно-алгебраических выражений друг в друга. При этом система предложений S [(A ) ® (B )] Þ ... [(l')® (c')] разрывает свою связь о предметным содержанием геометрии — объектами-чертежами — и становится обособленной, самодовлеющей системой в теле науки. (Здесь требует самого тщательного анализа вопрос: теряется ли всякое содержание или только то, с которым эти формы были связаны первоначально?)

По-видимому, именно в таком преобразовании системы организации и заключалась одна из основных линий развития евклидовой геометрии, начиная с античных комментаторов и вплоть до «Оснований геометрии» Д. Гильберта. Первоначально в системе объектно-чертежной геометрии появлялись отдельные фрагменты таких цепей «формального выведения»; они еще не образовывали замкнутой, «непрерывной системы», а состояли лишь из связок в два-четыре предложения и то и дело перемежались с преобразованиями чертежей; последние дополняли их, перебрасывая мост между отдельными связками предложений, и только вместе, в единстве, те и другие «движения» образовывали «непрерывную» систему геометрии. Получалось нечто вроде «двухплоскостной», «двухэтажной» структуры, в которой движение шло то по законам преобразования чертежей (с одновременным дублированием этого движения в словесно-алгебраической форме), то по законам только формального выведения в одной лишь плоскости словесно-алгебраических выражений. Схематически это будет выглядеть примерно так:

Но — и это нам особенно важно здесь подчеркнуть — внутри словесно-алгебраических фрагментов движение было одноплоскостным и подчинялась одним лишь логическим правилам выведения. Такое положение мы находим уже у Евклида. В дальнейшем удельный вес словесно-алгебраических фрагментов все более возрастает, все большее число предложений принимает структуру, необходимую для чисто формального выведения, все отчетливее формулируются принципы формального подхода. Этот процесс можно явственно наблюдать по различным изложениям геометрии в XVIII–XIX столетиях. Наконец, в последней четверти ХIХ в. «строго формальное», или, как стали говорить, аксиоматическое построение геометрии становится основным лозунгом работы геометров. Появляется целый ряд систем аксиоматического изложения евклидовой геометрии — М. Паша, Д. Пеано, Дж. Веронезе, М. Пиэри, Д. Гильберта и др.

Идеалом для системы геометрии становится система абсолютно замкнутого формального исчисления, в котором структуры предложений имеют совершенно единообразный характер и получаются друг из друга путем чисто формальных преобразований в соответствии с правилами этого исчисления. Вот как, в частности, характеризует задачу своей работы сам Гильберт:

«Основная мысль моей теории доказательства такова: все высказывания, которые составляют вместе математику, превращаются в формулы, так что сама математика превращается в совокупность формул. Эти формулы отличаются от обычных формул математики только тем, что в них, кроме обычных знаков, встречаются также и логические знаки:

® & V — (x) (Ex)

(следует, если — то) (и) (или, либо) (не) (все) (существует)

Некоторые определенные формулы, которые служат фундаментом этого формального построения математики, называются аксиомами. Доказательство есть фигура, которая должна наглядно предстать перед нами; она состоит из выводов, делаемых согласно схеме

в которой каждая посылка, т. е. соответствующие формулы

каждый раз является либо аксиомой, либо совпадает с полученной ранее из доказательства формулой, или получается из такой формулы с помощью подстановки...

Доказуемые теоремы, т. е. формулы, получающиеся при этом способе, являются отображением мыслей, которые образуют обычную до сих пор математику» [Гильберт 1948: 366-367].

Затем Гильберт излагает принятые им логические правила, или аксиомы, явные определения и аксиомы рекурсии и добавляет: «В моей теории содержательные выводы заменены внешними действиями, подчиняющимися определенным правилам; тем самым аксиоматический метод получает ту надежность и законченность, которая для него доступна и в которой он нуждается для того, чтобы служить основным средством теоретических изысканий» (там же, с. 369).

Эту характеристику полезно сравнить с не менее резкой характеристикой , опубликованной через 32 года после доклада Д. Гильберта:

«Предложения математики, равно как и законы логики, записываются при помощи особой символики в виде формул без всякого участия словесных выражений. Процессы логического мышления заменяются манипуляциями с такого рода формулами по строго очерченным правилам, а именно: из формул, уже построенных, разрешается чисто механически, по точно указанным рецептам составлять новые формулы, и это заменяет сознательные умозаключения, выводящие из одного предложения другое. Таким образом, и математическое, и логическое содержание исследуемого отдела математики предстает перед нами в виде цепи формул. Эта цепь начинается с формул, изображающих математические и логические аксиомы, и может быть неограниченно продолжаема путем механического составления новых формул. Нам нет при этом надобности понимать, какое математическое содержание записано под видом той или иной формулы; нас интересует лишь формула сама по себе как вполне конкретная и обозримая конечная комбинация знаков» [Рашевский 1960: 96] [26].

Мы не можем сейчас входить в обсуждение вопроса о том, насколько точно и строго удалось Гильберту достичь желаемого идеала (с точки зрения принципов развиваемой нами содержательной логики многое выглядит совершенно иначе, нежели с точки зрения самих геометров и традиционных исследований по обоснованию геометрии [27]), но в принципе такое преобразование системы геометрии вполне возможно, поскольку имеют дело с уже готовыми, наработанными предложениями и стоит задача лишь по-новому организовать их в систему.

Кстати, здесь весьма характерно, что таких систем организации может быть очень много. Уже система Пеано, по определению Кутюра, была «логически безупречной» [Кутюра 1913: 161], хотя при целом ряде преимуществ, и не обладала достаточной логической общностью. Теория Пиэри, по выражению того же Кутюра, даже в сравнении с работами Гильберта, содержала «самый глубокий анализ принципов геометрии» (там же, с. 165-166). Примерно так же, с весьма относительных и односторонних позиций, оценивают в настоящее время и систему Гильберта: «Наиболее удачную, глубоко продуманную систему аксиом предложил Гильберт в своем сочинении “Основания геометрии”. Эта книга выдержала длительное испытание временем, и в наши дни после ряда поправок система Гильберта остается наиболее целесообразной.

<...> Основная заслуга Гильберта, благодаря которой его труд стал классическим, заключается в следующем. Гильберту удалось сконструировать аксиоматику геометрии, расчлененную настолько естественным образом, что логическая структура геометрии становится совершенно прозрачной. Это расчленение аксиоматики позволяет, во-первых, формулировать аксиомы наиболее простым и кратким образом и, во-вторых, исследовать, как далеко можно развивать геометрию, если класть в ее основу не всю аксиоматику, а те или иные группы аксиом, на которые естественным образом расчленяется аксиоматика» [Рашевский 1960: 81-82].

Приведенные характеристики достаточно отчетливо подтверждают наш тезис о том, что в аксиоматических построениях геометрии речь идет о способах организации уже готового знания — множества геометрических предложений, а не о реконструкции способов образования или способов получения этих предложений.

Таким образом, мы пришли к ответу на поставленный выше вопрос относительно роли словесно-алгебраических выражений в «геометрическом» мышлении, причем, что очень важно, к ответу, учитывающему историческое развитие геометрии.

Сначала простейшие словесно-алгебраические выражения вида «равно», «неравно», «параллельно», «перпендикулярно» и т. п. возникают как средство и форма фиксации содержаний, выделенных путем определенных сопоставлений объектов-чертежей. Отношение между объектами-чертежами, связанными между собой отношениями сопоставлениями, и словесными выражениями может быть представлено как отношение между двумя различными плоскостями; геометрия, в силу этого, имеет двухплоскостную структуру. При этом основную часть, ядро и сердцевину геометрии составляют объекты-чертежи, поскольку «геометрическое движение» в этот период осуществляется только в форме сопоставления и преобразования чертежей; словесно-алгебраические выражения носят «вторичный» характер: они не являются «оперативной» частью геометрии. Структуру геометрии как системы образуют отношения сопоставления чертежей; эти отношения и составляют «единицы» нижней плоскости геометрии; словесно-алгебраические выражения разрозненны и являются элементами системы только за счет своих связей с единицами нижней плоскости.

Особый «чертежный» характер объектов геометрии, невозможность фактически накладывать их друг на друга делает необходимым анализ самих способов сопоставления объектов между собой. В результате этого анализа и разложения деятельности с объектами и учета тех «сторон» объектов, на которые она непосредственно направлена, появляются сложные словесно-алгебраические выражения вида (b)® (a), содержащие «необходимые» связи между свойствами и соответственно знаками свойств. Благодаря этому в геометрии становится возможным другой вид движения: формальный переход по связям между элементами словесно-алгебраических выражений.

На основе сопоставления и преобразования объектов-чертежей словесно-алгебраические выражения развертываются в сложные цепи вида... (d) ® (g) ® (b) ® (a). Движение по этим цепям, поскольку они уже сложились, может осуществляться без обращения к чертежам, по особым правилам, которые специально формулируются как логические правила умозаключения. Геометрия по-прежнему сохраняет двуплоскостную структуру, и в каждой плоскости существует свой вид движения: в нижней — содержательное движение, осуществляющееся в виде сопоставления и преобразования объектов-чертежей [28], в верхней — формальное движение, осуществляющееся в виде переходов по готовым цепям выражений, которые подчиняются логическим правилам.

Цепи словесно-алгебраических выражений становятся относительно самостоятельными и относительно замкнутыми фрагментами системы геометрии. Но если брать систему геометрии как целое, то главными и основными в ней остаются пока все же действия с чертежами: именно они связывают между собой фрагменты формальных переходов в одно целое, именно они образуют «скелет» системы геометрии.

Наличие нескольких плоскостей и нескольких различных видов мыслительного движения, причудливо переплетающихся друг с другом, необходимость то и дело переходить с одной плоскости на другую, от одного вида движения к другому, создают, естественно, целый ряд затруднений при использовании геометрии для решения практических задач. Это обстоятельство стимулирует работу, направленную на то, чтобы преобразовать систему геометрии как целое, исключить из нее содержательное (а поэтому более трудное) движение в плоскости чертежей и оставить одно лишь формальное движение по цепям словесно-алгебраических выражений. Решение этой задачи знаменует собой превращение геометрии в замкнутое словесно-алгебраическое исчисление. Вместе с тем исчезает одна из ее плоскостей — плоскость содержательных преобразований.

Но было бы ошибкой сделать отсюда вывод, что геометрия становится одноплоскостной системой. Мы уже видели выше, что осуществление формального умозаключения предполагает определенные правила деятельности, и эти правила должны быть сформулированы в специальном языке, надстраивающимся над первым, формализуемым языком, и образующим в силу этого вторую плоскость системы. Потеряв нижнюю содержательную плоскость, на которую она «опиралась», формальная система приобретает другую, верхнюю — плоскость правил, к которой она как бы «подвешивается». Система по-прежнему остается двухплоскостной, хотя характер этих плоскостей существенным образом меняется.

Именно на это преобразование системы геометрии опирался Л. Кутюра, полемизируя с И. Кантом, именно это он имел в виду, говоря, что геометрия не нуждается ни в каких фигурах, ни в каких построениях, она просто ссылается на предыдущие предложения и ограничивается сопоставлением и сочетанием их. «Реконструкция геометрии не есть просто идеальная возможность, а факт получивший воплощение в трудах современных геометров, — писал он в другом месте. — Итак, отныне установлено, что геометрические доказательства являются (то есть могут и должны быть [29]) аналитическими и что вся геометрия может и должна быть логически выведена из каких-нибудь двух десятков постулатов» [Кутюра 1913: 251].

И как мы убедились из предыдущего анализа, нельзя сказать, что он неправ. Это было бы неверно, ибо современная система геометрии имеет именно такой характер, о котором говорит Кутюра. Но зато мы можем сказать, что все приведенные утверждения Кутюра, вся его полемика не имеют смысла. И мы будем иметь полное право сказать это, так как вся полемика Кутюра глубоко антиисторична, она совершенно не принимает во внимание того факта, что мышление в геометрии исторически развивается и при этом претерпевает такие изменения, которые в самом существенном меняют как его характер и структуру, так и характер всей системы геометрического знания. Кутюра совершенно не учитывает, что одно дело — процессы первоначальной выработки какого-либо общего положения в геометрии: они, в конечном счете, всегда опираются на знаки-модели, на определенные фигуры, чертежи, и предполагает определенные содержательные действия по преобразованию и сопоставлению их; другое дело — применение этих общих, уже выработанных и словесно сформулированных положений к единичным случаям; здесь преобразования и сопоставления чертежей в самом этом процессе применения общих положений элиминированы, но сохраняются в скрытой форме, в ссылках на другие теоремы, излагающие способ получения этих положений; наконец, третье, существенно отличающееся от первого и второго, — новый способ организации и систематического изложения всей совокупности имеющихся знаний. Он связан с выработкой совершенно новых исходных знаний (аксиом, постулатов) и новых логических операций перехода от одних предложений к другим; вместе с тем этот процесс есть процесс перехода от системы с n языками к системе с n -1, nи, в предельном случае, одним унифицированным языком, подчиняющимся определенным правилам образования и преобразования. Именно этих различий, возникающих в ходе развития мышления, не учитывал Кутюра, а поэтому его полемика с Кантом и все оценки характера «геометрии вообще» не имеют смысла, являются, фактически, беспредметными: нужно было устранить историческую ограниченность точки зрения Канта, указав на развитие геометрии, изменение ее структуры и методов, а вместо этого Кутюра выдвинул другую, столь же антиисторическую, а поэтому неизбежно одностороннюю и (в применении ко всей геометрии) неправильную точку зрения.

Заканчивая обсуждение вопросов этого круга, мы можем сформулировать пятый вывод в плане непосредственно интересующих нас проблем: мышление в геометрии (и тем более мышление с помощью средств геометрии) обязательно имеет двухплоскостное строение; анализ его предполагает различение объектов и знаков, соответственно, плоскости содержания и плоскости знаковой формы — познавательных действий с объектами и действий со знаками, соответственно, движений в плоскости содержания и движений в плоскости знаковой формы; движения в плоскости знаковой формы в каких-то частях процесса мышления могут осуществляться относительно независимо от движения в содержании, как формальные движения, но всякий целостный процесс мысли должен содержать в качестве основной и определяющей части движение в содержании.

16.

Может показаться странным, что, постоянно настаивая на этом последнем тезисе, мы с самого начала не положили его в основание всего анализа. Но это было не только оправданно, но даже необходимо. Приняв идею двухплоскостности в исходном пункте анализа, мы должны были бы вычленять в эмпирическом материале элементы плоскости содержания и элементы плоскости формы, ничего не зная ни о тех, ни о других. Временное отвлечение от идеи двухплоскостности, напротив, позволило нам выделить формальную часть рассматриваемого процесса мышления и каким-то образом расчленить ее. Специально оговоримся: это расчленение ни в коем случае не может рассматриваться как точное и окончательное, оно должно быть уточнено и даже существенно исправлено на основе анализа содержательных частей процесса мышления, заключенного в рассматриваемом тексте, и выведения (функционального или генетического) из них формальных структур и операций. Но все это — дело второго этапа в исследовании заданного текста, а пока важно было получить хотя бы грубую основу. И она получена. Но теперь мы должны взглянуть на весь проделанный анализ с точки зрения принципа двухплоскостности и постараться выяснить, какие общие коррективы он вносит в его результаты. Вспомним основные шаги этого анализа.

Исходным и определяющим для всего предшествующего было предположение, что процессы и операции мышления можно выделить, выделив их продукты — конечные знания и исходный материал, с которого начинает и на который опирается этот процесс. При этом предполагалось, во-первых, что исходный материал процесса мышления — это тоже знания, такого же вида и порядка, как и знания, являющиеся конечным продуктом этого процесса; во-вторых, — что знание есть то, что выражено какой-либо знаковой структурой вида «a = b», «a:b = c:d» и т. п. (т. е. являются образованиями одноплоскостными). Эти два предположения по существу были равносильны предположениям, что все операции и процессы мысли, во-первых, однородны по своей структуре, а во-вторых, сочленяются в линейные цепи через посредство своего исходного материала и конечных продуктов.