Механика (стр. 2 )

Если ось вращения параллельно переносится на расстояние , то по теореме Штейнера момент инерции относительно новой оси

.

При параллелепипед можно рассматривать как материальную точку, а при любом значении - как нить, точнее бесконечно тонкий стержень, ось которого совпадает с осью вращения. В этом случае величиной можно пренебречь и момент инерции параллелепипеда

,

т. е. вычисляется как и для материальной точки.

В качестве второго примера приведем вычисление момента инерции кругового конуса с радиусом основания и высотой относительно оси, совпадающей с его осью симметрии (рис. в табл. 1). Выделим на высоте элементарный цилиндр высотой и радиусом основания . Его момент инерции

.

Для вычисления момента инерции найдем функциональную зависимость между высотой и радиусом конуса. Из подобия треугольников OAB и CAD следует

.

Откуда .

Тогда

.

Для определения момента инерции конуса найдем интеграл по радиусу , который изменяется в интервале от до 0, получим

,

где - масса конуса.

Формулы для вычисления моментов инерции некоторых однородных тел относительно указанных осей вращения приведены в табл. 1.

Таблица 1

Форма тела	Положение оси вращения	Момент инерции
Сплошной диск, Цилиндр
Обруч, Тонкостенный Цилиндр
Шар
Стержень постоянного Сечения (форма сечения любая)
Параллелепипед
Конус

Для вычисления момента инерции тела относительно оси, не проходящей через центр масс тела, следует применять теорему Штейнера, согласно которой

,

где - момент инерции тела относительно оси, параллельной данной оси и проходящей через центр масс тела;

- масса тела;

- расстояние от центра масс тела до данной оси.

Физическая величина, равная произведению момента инерции тела относительно данной оси на угловую скорость тела относи­тельно этой же оси, называется моментом количества движения (моментом импульса) тела относительно данной оси вращения:

.

Основное уравнение динамики вращательного движения: произ­водная момента импульса тела относительно оси Oz по времени t равна результирующему моменту внешних сил , приложенных к телу, относительно этой оси:

.

Если момент инерции тела относительно данной оси постоянен, то можно записать:

, (25)

где - угловое ускорение, сообщаемое телу результирующим момен­том сил.

Момент импульса системы тел равен сумме моментов импульсов отдельных тел, входящих в систему:

.

Если для системы тел выполняется условие

, (26)

т. е. результирующий момент внешних сил относительно некоторой оси Oz равен нулю, то суммарный момент импульса относительно той же оси Oz будет сохранять постоянное значение:

, (27)

где и - моменты инерции;

и - угловые скорости тел системы до и после взаимодейст­вия.

Следует помнить, что основной закон динамики вращательного движения справедлив только в инерциальных системах отсчета.

При решении задач динамики вращательного движения необхо­димо учитывать следующие рекомендации:

1. Сделать схематический чертеж, показав на нем расположение взаимодействующих тел (до и после взаимодействия). Показать на нем векторы угловых скоростей и угловых ускорений, сил и моментов сил.

2. Выбрать систему отсчета, связанную с Землей. При этом це­лесообразно ось Oz направлять вдоль направления вектора на­чальной угловой скорости (или вектора углового ускорения, если =0).

3. Используя уравнение основного закона динамики вращатель­ного движения, записать его, учитывая знаки проекций, моментов сил и углового ускорения.

4. Применяя уравнение (27), необходимо:

- установить, какие внешние силы в данной задаче учитываются и какими можно пренебречь;

- проверить, равна ли нулю проекция результирующего момента внешних сил на ось Oz, и, если =0, то записать уравнение (27), не забывая о знаках проекций угловых скоростей.

Примеры решения задач.

Задача 3. Маховик, вращавшийся с постоянной угловой скоро­стью, соответствующей 300 об/мин, под действием тормозящего мо­мента 10 остановился, сделав до остановки 50 полных оборотов. Определить момент инерции маховика и промежуток времени, за ко­торый угловая скорость уменьшилась в 2 раза.

Решение

= 300 об/мин = 5,00 с-1

=0

М = 10

N=50

k=2

J - ? t - ?

Возьмем систему отсчета, связанную с Землей, направив ось Oz вдоль оси вращения по направлению вектора начальной угловой ско­рости (рис. 3).

По условию задачи на маховик действует постоянный тормозя­щий момент (), поэтому вращение маховика является равнозамедленным, и векторы момента М и углового ускорения направ­лены противоположно вектору .

Рис.3

Для определения момента инерции маховика и промежутка вре­мени , за который угловая скорость уменьшилась от до , за­пишем уравнения основного закона динамики вращательного движе­ния (25) и кинематики равнопеременного вращательного движения (22) (в проекциях на ось Oz):

(28)

. (29)

Из уравнения (23), записанного в проекциях на ось Oz:

,

найдем модуль углового ускорения:

. (30)

Модуль вектора найдем по формуле (21):

. (31)

Изменение угла поворота диска до остановки выразим через число полных оборотов N:

. (32)

Из соотношений (28), (30)...(32) и условия задачи (= 0) получа­ем

. (33)

Используя выражения (29)...(32) и условие задачи (), находим :

. (34)

Определим наименования единиц величин, которые дают расчетные формулы:

;

.

Подставив исходные данные задачи в расчетные формулы (33) и (34), находим:

;

.

Задача 4. Через блок, имеющий форму однородного диска, пере­кинута веревка, к одному концу которой привязан груз массой 100 кг, а за другой конец тянут с переменной силой. Определить величину этой силы в момент, когда груз движется вверх с ускорением 0,2 м/с2. Какой максимальной массой должен обладать блок, чтобы можно бы­ло пренебречь ею в расчетах и возникшая при этом ошибка не превы­сила 10 %?

Решение

= 100 кг

а = 0,2 м/с2

Рассмотрим силы, действующие на груз (рис.4). Это сила тяжести (результат грави­тационного взаимодействия груза с Землей), направленная вертикально вниз, и сила натяже­ния (результат взаимодействия груза и верев­ки), направленная вертикально вверх.

Если блок невесом, то силы натяжения ве­ревки справа и слева от блока одинаковы. По­этому для определения искомой силы доста­точно определить силу натяжения , дейст­вующую на груз.

Запишем для груза закон динамики посту­пательного движения, используя формулу (6):

. (35)

Выберем систему координат, направим ось Ох вертикально вверх. Спроектировав уравнение (35) на ось Ох, получим:

. (36)

Из этого равенства видно, что ускорение постоянно тогда, когда постоянна сила натяжения Т. По условию задачи сила F, действую­щая на свободный конец веревки, переменна, поэтому переменным является и ускорение.

Из уравнения (36) получаем:

. (37)

Нам нужно найти силу натяжения в тот момент, когда ускорение равно заданной величине. Подставив численные значения m и а в формулу (37), найдем искомую силу F:

F = Т = 100 (0,2 + 9,8) = 1000.

Проверим размерность величины F:

.

Если считать, что масса блока m отлична от нуля, то силы натя­жения справа и слева от блока равны не будут, и ускоренное враще­ние блока будет вызвано как раз разностью моментов этих сил:

, (38)

где - радиус блока; - момент инерции блока.

Уравнение (38) является проекцией на ось Oz (рис.5) и получает­ся в результате применения уравнения динамики вращательного дви­жения (25) для блока:

,

где и - моменты сил натяжения и соответственно.

И тогда, добавив уравнение движения гру­за:

; (39)

и уравнение, связывающее угловое ускорение блока с линейным ускорением точек, ле­жащих на его ободе, т. е. с линейным ускоре­нием груза:

, (40)

получим систему трех уравнений: (38)...(40) с тремя неизвестными , и . Учитывая, что момент инерции блока (однородного диска) можно выразить через его массу и радиус :

,

решим эту систему относительно :

. (41)

Как видно, формула (37) более компактна и удобна для вычисле­ний, чем (41), однако в ущерб точности. Оценим, насколько он велик.

Ошибка, которую мы совершаем, считая блок невесомым и вы­числяя силу натяжения по формуле (37) вместо (41), определяется следующим образом:

(42)

Поделив числитель и знаменатель на m и умножив на 2, приведем формулу (42) к виду

(43)

Из (43) видно, что погрешность зависит от отношения массы блока к массе поднимаемого груза . По условиям задачи допус­тимая погрешность не должна быть больше 10%. Проделав необхо­димые вычисления, убедимся, что это условие выполняется, если мас­са блока не более чем в 11 раз превышает массу груза, т. е. составляет менее 1,1т. Поскольку в реальных условиях масса блока не превосхо­дит 0,4 от массы поднимаемых грузов, при решении данной задачи массу блока можно не учитывать.

Задача 5. Определить момент сил, действующий на оконную раму со стороны воздушной струи относительно нижних шарниров при скорости ветра . Высота рамы , длина , плотность воздуха .

Решение

M - ?

Если бы сила, действующая на раму со стороны воздушного по­тока, была приложена в одной точке, то было бы достаточно опреде­лить радиус-вектор этой точки относительно нижних шарниров и рас­считать момент силы по формуле (24). Но поскольку это сила распре­делена по площади рамы, то для расчета ее момента придется прибег­нуть к следующей процедуре. Выберем систему координат. Направим ось Ох вдоль рамы верти­кально вверх, ось Оу - горизонтально, перпендикулярно к плоскости рамы (рис.6). Разобьем раму на полоски шириной и рассчитаем силу, действующую на произвольно выбранную полоску (элемент) со стороны воздушного потока. За промежуток времени с эле­ментом рамы провзаимодействует воздушная масса, содержащаяся в заштрихованном объеме , размеры которого . Величина этой массы

,

а ее первоначальный импульс –

. (44)

После удара о стекло скорость воздушной массы обращается в нуль, а ее импульс при этом изменится на величину

. (45)

Согласно 2-му закону Ньютона (3) это изменение равно импульсу си­лы , подействовавшей со стороны элемента рамы на струю:

Рис. 6

Рис.6

(46)

Согласно 3-му закону Ньютона на элемент рамы со стороны струи действует сила , равная по величине силе и противопо­ложная ей по направлению:

. (47)

Подставив (44), (46) и (47) в (45), получим:

.

Момент силы , действующий на элемент , рассчитывается по формуле

. (48)

Чтобы определить момент силы, действующий на всю раму, надо проинтегрировать выражение (48) по всем элементам от до .

.

Проверим размерность полученной величины:

.

Задача 6. На покоящемся однородном горизонтальном диске мас­сой М и радиусом R находится человек массой m. Диск может вра­щаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. В некоторый момент времени человек начинает двигаться. С какой угловой скоростью вращается диск, когда человек идет по окружности радиусом r со скоростью относительно диска? Человека можно считать материальной точкой.

Решение

M

R

m

r

- ?

Рассмотрим все силы, действующие на систему "диск - человек" (рис.7). Когда че­ловек движется по диску, на него действует сила трения со стороны диска, и точно та­кая же сила, но в противоположном на­правлении действует на диск. Именно эта сила создает вращающий момент, под действием которого диск начи­нает вращаться. По отношению к системе обе эти силы являются внутренними и не могут изменить ее момент импульса.

Рассмотрим внешние силы. Это сила тяжести человека , сила тяжести диска и сила реакции опоры , действующая на диск со стороны подпятников оси. Поскольку эти силы направлены парал­лельно оси вращения, то, воспользовавшись формулой (24), нетрудно убедиться, что проекции их моментов на ось вращения Oz равны ну­лю. Таким образом мы доказали, что выполняется условие примени­мости закона сохранения момента импульса (26), а следовательно, проекция суммарного момента импульса на ось Oz до и после начала движения будет иметь одинаковую величину.

До начала движения момент импульса системы "диск - человек" был равен нулю. После того, как человек пошел, его момент импульса стал равен

, (49)

а момент импульса диска -

. (50)

В условии задана скорость движения человека относительно диска. Но, применяя закон сохранения момента импульса, мы долж­ны определять моменты импульса различных тел в одной и той же системе координат. Скорость человека в неподвижной системе ко­ординат, связанной с Землей, получается из его скорости относительно движущейся системы координат, связанной с диском, и скоро­сти самой движущейся системы координат, равной скорости той точ­ки диска, в которой человек находится в данный момент, т. е. произ­ведению :

. (51)

Закон сохранения момента импульса для системы будет иметь вид

. (52)

Подставив (49)...(51) в (52), получим

.

Отсюда найдем искомую угловую скорость:

.

Проверим размерность полученной величины:

.

Семинар 4.

1.Работа. Мощность. Энергия.

Элементарная работа силы на бесконечно малом участке пути , пройденном точкой приложения силы, определяется по формуле

,