Механика (стр. 4 )

Ответ: 0,51 рад/с.

34. Горизонтальная платформа, имеющая форму диска радиусом 4 м, вращалась вокруг вертикальной оси, делая 4 об/мин. На плат­форме, на расстоянии 3 м от ее центра, стоял человек массой 60 кг. После того, как человек побежал по платформе в сторону ее первона­чального вращения по окружности радиусом 3 м со скоростью 16.6 км/ч, платформа стала вращаться в обратном направлении, делая 3 об/мин. Определить массу платформы. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

Ответ: 73 кг.

35. В центре горизонтальной платформы стоит человек и держит в руках тонкий стержень, расположенный вертикально по оси враще­ния платформы. Платформа с человеком вращается по инерции, де­лая n = 1 об/с. С какой угловой скоростью будет вращаться плат­форма с человеком, если повернуть стержень в горизонтальное поло­жение так, чтобы центр массы стержня лежал на оси вращения. Сум­марный момент инерции человека и платформы J = 6 кг-м2. Длина стержня l= 2,4 м, его масса m = 8 кг.

Ответ: 3,8 рад/с.

36. Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, может вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси. На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы платформы. Определить, как и во сколько раз изменится угло­вая скорость вращения платформы, если человек перейдет ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса платформы.

Ответ: возрастет в 1,43 раза.

37. Человек массой 60 кг находится на неподвижной платформе массой 100 кг. Какой будет частота вращения платформы, если чело­век будет двигаться по окружности радиусом 5 м вокруг оси вращения? Скорость движения человека относительно платформы равна 4 км/ч. Радиус платформы 10 м. Считать платформу однород­ным диском, а человека - точечной массой.

Ответ: n= 0,49 об/мин.

38. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться вокруг вертикальной оси. На краю платформы стоит человек. Человек начи­нает равномерно идти по краю платформы. На какой угол повер­нется платформа, когда человек возвратится в исходную точку? Масса платформы = 240 кг, масса человека = 60 кг. Момент инерции человека рассчитывается как для материальной точки.

Ответ: 120°.

39. Метеорит массы m = т, двигавшийся со скоростью v = 50 км/с, ударился о Землю на широте = 60°. Вся его кинетическая энергия перешла в тепловую (внутреннюю) энергию, а сам он испа­рился. Какое максимальное влияние мог оказать удар такого метеори­та на продолжительность суток?

Ответ: с.

40. Человек, стоящий в центре горизонтальной платформы, дер­жит в расставленных руках гири. Платформа вращается с угловой скоростью, соответствующей 20 об/мин. Масса платформы 80 кг, диаметр платформы 2 м. После того, как человек опустил руки, уменьшив свой момент инерции в 3 раза, число оборотов платформы в единицу времени возросло до 21 об/мин. Определить начальный момент инерции человека. Платформу считать однородным диском.

Ответ: 3.1 кг м2

41. На какой угол надо отклонить однородный стержень, подве­шенный на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня, чтобы нижний конец стержня при прохождении им положе­ния равновесия имел скорость 5 м/с? Длина стержня 1 м.

Ответ:.

42. Однородный сосновый брус массой М (плотность 0,5 г/см3), размеры которого указаны на рис.16, может свободно вращаться око­ло оси АВ. В точку О бруса ударяет горизонтально летящее ядро массы т = 10 кг. Какова скорость ядра v, если брус отклонился на угол = 28°, а ядро упало на месте удара?

Ответ: 6 м/с.

Рис. 16

 

43. Стержень массы M и длины l, который может свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей че­рез один из его концов, под действием силы тяжести переходит из горизонтального поло­жения в вертикальное (рис.17). Проходя через вертикальное положение, нижний конец стержня упруго ударяет о малое тело массы m, лежащее на гладком горизонтальном столе. Определить скорость тела m после удара.

Ответ: .

44. Карандаш, поставленный вертикально, падает на пол. Какую угловую и линейную скорость будет иметь в конце падения: 1) середина карандаша; 2) верхний его конец? Длина карандаша 15 см.

Ответ: рад/с; 1) = 1,05 м/с, 2)= 2.10 м/с.

45. Полый тонкостенный цилиндр массой m=0,5, катящийся без скольжения, ударяется о стену и откатывается от нее. Скорость цилиндра до удара о стену =1,4 м/с, после удара - =1 м/с. Определить выделившееся при ударе количество теплоты DQ. Решить задачу для: а) шара; б) сплошного цилиндра при тех же условиях.

Ответ: для полого тонкостенного цилиндра DQ = 0,48 Дж.

46. Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного материала, одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра.

Ответ: в 1.07 раза.

47. Найти линейные ускорения движения центров масс: 1) шара; 2) диска; 3) обруча, скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости. Угол наклона плоскости равен 30°, начальная скорость всех тел равна нулю; 4) сравнить найденные ускорения с ускорением тела, соскальзывающего с этой наклонной плоскости при отсутствии трения.

Ответ: 1) 3,50 м/с2; 2) 3,27 м/с2; 3) 2,44 м/с2; 4) 4,9 м/с2.

48. Имеются два цилиндра: алюминиевый (сплошной) и свинцо­вый (полый) одинакового радиуса R = 6 см и одинаковых масс m = 0,5 кг. Определить: 1) моменты инерции этих цилиндров; 2) за ка­кое время каждый цилиндр скатится без скольжения с наклонной плоскости. Высота наклонной плоскости h = 0.5 м, угол наклона плоскости = 30°. Начальная скорость каждого цилиндра равна ну­лю.

Ответ:

3. Дополнительные задачи для самостоятельного решения.

1. Локомотив массой m начинает двигаться со станции так, что его скорость изменяется по закону , где a – постоянная, S – пройденный путь. Найти суммарную работу всех сил, действующих на локомотив за первые t секунд после начала движения.

Ответ: .

2. Кинетическая энергия частицы, движущейся по окружности радиусом R, зависит от пройденного пути S по закону , где a – постоянная. Найти силу, действующую на частицу в зависимости от S.

Ответ: .

3. Тело массой m медленно втащили на горку, действуя силой F, которая в каждой точке направлена по касательной к траектории. Найти работу этой силы, если высота горки h, длина ее основания l и коэффициент трения f.

Ответ: .

4. Шайба массой m=50 г соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом, и, пройдя по горизонтальной плоскости расстояние l=50 см, останавливается. Найти работу сил трения на всем пути, считая всюду коэффициент трения f=0,15.

Ответ: .

5. Два бруска массами и , соединенные недеформированной легкой пружиной, лежат на горизонтальной плоскости. Коэффициент трения между брусками и плоскостью равен f. Какую минимальную силу нужно приложить в горизонтальном направлении к бруску массой , чтобы другой брусок сдвинулся с места?

Ответ: .

6. Цепочка массой m=0,80 кг, длиной l=1,5 м лежит на шероховатом столе так, что один ее конец свешивается у его края. Цепочка начинает сама соскальзывать, когда ее свешивающаяся часть составляет длины цепочки. Какую работу совершат силы трения, действующие на цепочку, при ее полном соскальзывании со стола?

Ответ: .

7. Тело массой бросили под углом к горизонту с начальной скоростью . Найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести за все время движения тела, и мгновенную мощность этой силы как функцию времени.

Ответ: <N> = 0, .

8. Частица массой движется по окружности радиусом R с нормальным ускорением, которое меняется по закону , где b – постоянная. Найти зависимость от времени мощности всех сил, действующих на частицу, а также среднее значение этой мощности за первые t секунд после начала движения.

Ответ: N = mRbt, .

9. В системе отсчета, вращающейся вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью , движется небольшое тело массой = 0,10 кг. Какую работу совершила центробежная сила инерции при перемещении этого тела из точки 1 в точку 2, которые расположены на расстояниях и от оси вращения?

Ответ: .

10. Система состоит из двух последовательно соединенных пружинок с коэффициентами жесткости и . Найти минимальную работу, которую необходимо совершить, чтобы растянуть эту систему на Dl.

Ответ: .

11. Тело массой начинают поднимать с поверхности Земли, приложив к нему силу F, которую изменяют с высотой по закону , где b – положительная постоянная. Найти работу этой силы и приращение потенциальной энергии тела в поле тяжести Земли на первой половине пути подъема.

Ответ: .

12. Потенциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид , где а и b – положительные постоянные; - расстояние от центра поля. Найти: а) значение , соответствующее равновесному положению частицы; выяснить, устойчиво ли это положение; б) максимальное значение силы притяжения; изобразить графики зависимости U(r) и F(r) – проекции сил на радиус-вектор .

Ответ: а) , устойчиво; б) .

 

13. Тело массой движется вверх по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Начальная скорость тела равна , коэффициент трения – f. Какой путь пройдет тело до остановки и какова на этом пути работа силы трения?

Ответ: .

14. Небольшая шайба А соскальзывает без начальной скорости с вершины гладкой горки высотой Н, имеющей горизонтальный трамплин. При какой высоте h трамплина шайба пролетит наибольшее расстояние S? Чему оно равно?

Ответ: .

15. На горизонтальной плоскости лежит доска и на ней брусок массой = 1,0 кг, соединенный с точкой О легкой недеформированной нитью длиной l = 40 см. Коэффициент трения между бруском и доской f = 0,20. Доску начали медленно перемещать вправо до положения, при котором брусок стал скользить по ней. Это произошло в момент, когда нить отклонилась от вертикали на угол . Найти работу, которую совершила к этому моменту сила трения, действующая на брусок, в системе отсчета, связанной с плоскостью.

Ответ: 16. Гладкий горизонтальный стержень АВ может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец А. На стержне находится небольшая муфточка массой , соединенная невесомой пружинкой длиной l с концом А. Жесткость пружинки равна К. Какую работу надо совершить, чтобы эту систему медленно раскрутить до угловой скорости ?

Ответ: .

17. Бревно массой m поднимают по наклонному желобу, имеющему в сечении вид двугранного угла с раствором . Желоб наклонен к горизонту под углом , коэффициент трения между бревном и желобом равен f. Какую работу нужно совершить, чтобы бревно передвинуть вверх по желобу на расстояние l? При каком значении угла работа будет максимальной? Чему она равна?

Ответ: .

18. Шесть пружин с коэффициентом упругости соединены между собой посредством гладких колец таким образом, что образуют тетраэдр. К кольцам приложены четыре одинаковые силы F = 200 H, причем вся система находится в равновесии. Какую работу пришлось совершить, растягивая пружины?

Ответ: .

19. Автомобиль массой m = 3000 кг идет по горизонтальному участку пути со скоростью V = 36 км/ч. На сколько увеличивается мощность автомобиля при движении в гору с той же скоростью, если наклон горы равен ? Силу трения, препятствующую движению, в обоих случаях считать постоянной.

Ответ: .

20. Через блок перекинута веревка, на одном конце которой закреплен груз массой , лежащий на полу. В некоторый момент времени на свисающую свободную часть прыгает обезьяна массой и начинает карабкаться вверх с ускорением а относительно веревки. Какую минимальную мощность должна развить обезьяна, чтобы добраться до блока, если вначале она и груз находились от блока на расстоянии Н?

Ответ: .

21. Дальность полета тела массой m = 0,20 кг, брошенного под углом к горизонту, S = 10 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите работу при бросании, кинетическую и потенциальную энергии тела в высшей точке траектории.

Ответ:

22. Санки скатываются с горки и, пройдя в горизонтальном направлении расстояние l, останавливаются. Масса санок m, коэффициент трения f. Какую работу необходимо совершить, чтобы затащить санки на горку, на прежнюю высоту, прикладывая к ним силу в направлении движения?

Ответ: A = 2fmgl.

23. Шкив приводится во вращение приводным ремнем. Радиус шкива r = 25 см, шкив делает n = 2 оборота в секунду. Сила натяжения ведущей ветви ремня вдвое больше силы натяжения ведомой ветви. Обе ветви ремня параллельны друг другу. Какую минимальную силу натяжения выдерживает ремень без разрыва при передаче шкиву мощности N = 15 кВт?

Ответ:

24. Велосипедист имеет массу m и может развить мощность N. По какому минимальному уклону может подниматься велосипедист при коэффициенте трения между колесами и дорогой, равному ? С какой скоростью он будет при этом ехать?

Ответ:

. Шарик массой m висит на пружине, имеющей жесткость к. Точку на середине пружины медленно смещают вниз на расстояние А и отпускают. Пренебрегая массой пружины, определить амплитуду колебаний шарика, а также работу, совершенную при растяжении пружины.

Ответ:

. Идеально упругий шарик движется вверх и вниз в однородном поле тяжести, отражаясь от пола по законам упругого удара. Найти связь между средними по времени значениями его кинетической и потенциальной энергий.

Ответ:

27. На моторную лодку, движущуюся на север, действует сила ветра . Направление ветра меняется с расстоянием S по закону , где - угол между направлением силы и перемещением S (B = const). Найти работу ветра, если его направление изменилось с южного на восточное.

Ответ:

28. Тело массой m движется под действием постоянной силы F. Найти зависимость кинетической энергии тела от времени, если при t = 0: 1) V = 0; 2) . Векторы силы и скорости имеют одинаковое направление.

Ответ:

29. Действуя постоянной силой в 200 Н, поднимается груз массой 10 кг на высоту 10 м. Какая при этом совершается работа? Какой потенциальной энергией будет обладать поднятый груз?

Ответ: А = 2 кДж, U = 1 кДж. Половина работы идет на увеличение кинетической энергии поднимаемого тела.

30. Коэффициент трения между некоторым телом и плоскостью, наклоненной под углом 45° к горизонту, равен 0,2. На какую высоту поднимается это тело, скользя по наклонной плоскости, если ему будет сообщена скорость 10 м/с, направленная вверх вдоль плоскости? Какова будет скорость тела, когда она вернется в нижнюю исходную точку своего движения?

Ответ: 4,25 м; 8,16 м/с.

31. Горный ручей с площадью сечения потока S образует водопад высотой h. Скорость течения воды в ручье V. Найти мощность ручья.

Ответ:

32. Определить среднюю полезную мощность при выстреле из гладкоствольного ружья, если известно, что пуля массой m вылетает из ствола со скоростью , а длина канала ствола l. Давление пороховых газов считать постоянным во все время нахождения снаряда в канале ствола.

Ответ:

33. Оконная рама массой 1 кг и длиной 2м наматывается на тонкий валик наверху окна. Какая при этом совершается работа, если трением пренебречь?

Ответ: A = mgh/2 » 10 Дж

На практических занятиях.

1б. Начертить график зависимости от времени координаты и пути движения, заданного уравнением , где А = 5 м, В = 4 м/с, .

2б. На рисунке дан график зависимости скорости тела, движущегося прямолинейно. Постройте график его перемещения и ускорения, если треугольники ОАВ, ВСД, ДЕК равны.

 

3б. Зависимость пройденного пути S от времени t дается уравнением , где А = 2 м/с, В = 3 м/с, . Найти: 1) зависимость скорости V и ускорения a от времени t, 2) расстояние, пройденное телом, скорость и ускорение тела через 20 с после начала движения. Построить график пути, скорости и ускорения для через 0,5 с.

4б. Зависимость пройденного телом пути от времени дается уравнением , где А = 6 м, В = 3 м/с, . Найти среднюю скорость и среднее ускорение тела в интервале времени от 1 с до 4 с. Построить график пути, скорости, ускорения для через 1 с.

5б. Зависимость пройденного пути S от времени t дается уравнением , где А = 3 м, В = 2 м/с, . Найти среднюю скорость и среднее ускорение тела за первую, вторую и третью секунды его движения.

6б. Зависимость пройденного пути S от времени t дается уравнением , где . Через сколько времени после начала движения ускорение тела будет равным ? Чему равно среднее ускорение тела за этот промежуток времени?

7б. Одновременно из одного и того же пункта выезжают две автомашины, которые движутся в одном направлении прямолинейно. Зависимость пройденного автомобилями пути от времени дается уравнениями , . Найти относительную скорость автомобилей.

8б. По заданному уравнению движения построить график зависимости его мгновенной скорости от времени ().

9б. Точка движется по прямой согласно уравнению , где . Определить среднюю скорость движения точки в интервале от до .

10б. Две материальные точки движутся согласно уравнениям: , где ; , где . В какой момент времени ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости точек в этот момент.

11б. Зависимость пройденного телом пути от времени дается уравнением . Найти экстремальное значение скорости тела. Построить график зависимости скорости от времени за первые 5с движения, если .

12б. Движение точки по прямой задано уравнением , где . Определить среднюю скорость движения точки в интервале времени от до .

13б. Движение материальной точки задано уравнением , где . Определить момент времени, в который скорость точки V = 0. Найти координату и ускорение в этот момент. Построить графики координаты, пути, скорости и ускорения этого движения.

14б. Тело брошено под углом к горизонту. Найти тангенциальное и нормальное ускорения в начальный момент движения.

15б. Тело брошено со скоростью под углом к горизонту. Найти радиус кривизны траектории тела через после начала движения. Сопротивление воздуха не учитывать.

16б. Тело брошено со скоростью под углом к горизонту. Найти тангенциальное и нормальное ускорения тела через после начала движения. Сопротивление воздуха не учитывать.

17б. Тело брошено под некоторым углом к горизонту. Найти величину этого угла, если горизонтальная дальность полета S тела в 4 раза больше максимальной высоты Н траектории.

18б. Тело брошено со скоростью под углом к горизонту. Найти величины и , если известно, что наибольшая высота подъема тела h=3м и радиус кривизны траектории тела в верхней точке траектории R=3м. Сопротивление воздуха не учитывать.

19б. Путь, пройденный точкой по окружности радиусом r=2 м, выражен уравнением . Найти тангенциальное, нормальное и полное ускорения точки через после начала движения, если .

20б. При выполнении самолетом одной из фигур пилотажа траектория на прямолинейном участке пути описывается уравнением , где . Определить величину линейной скорости и тангенциального ускорения самолета через 5с после начала выполнения фигуры.

21б. Точка движется по окружности радиусом r = 20 см с постоянным тангенциальным ускорением . Через сколько времени после начала движения нормальное ускорение точки будет: 1) равно тангенциальному; 2) вдвое больше тангенциального?

22б. Точка движется по окружности радиусом R = 2 см. Зависимость пути от времени дается уравнением , где . Найти тангенциальное и нормальное ускорения тела в момент, когда линейная скорость точки равна .

23б. Точка движется по окружности так, что зависимость пути от времени дается уравнением , где . Найти линейную скорость точки, ее тангенциальное, нормальное и полное ускорения через после начала движения, если известно, что нормальное ускорение точки при равно .

24б. Закон движения тела дан в виде (путь в м, время в с). Через сколько секунд тело остановится?