Механика (стр. 3 )

где - угол между направлением вектора силы и скорости ;

- проекция вектора силы на направление вектора скорости.

Работа на конечном отрезке произвольной траектории равна сум­ме элементарных работ

.

Работа постоянной силы ( = const) на прямолинейной траекто­рии, не имеющей точек возврата, равна

.

При вращательном движении работа рассчитывается по формуле

,

где - проекция момента силы, совершающей работу, на ось вращения Oz.

Быстрота совершения работы характеризуется мощностью N:

.

Если за промежуток времени, равный t, сила совершает работу, рав­ную А, то средняя мощность

.

При поступательном движении мгновенную мощность можно рассчитать по формуле

,

при вращательном –

.

Полная механическая энергия W тела состоит из кинетической энергии и потенциальной :

.

Кинетическая энергия тела массой , движущегося поступательно со скоростью , равна

.

Кинетическая энергия тела, обладающего моментом инерции и вращающегося с угловой скоростью , равна

.

Если тело участвует и в поступательном, и во вращательном дви­жении, то его кинетическая энергия

, (53)

где - скорость центра масс тела;

и - момент инерции и угловая скорость относительно оси вращения, проходящей через центр масс.

Потенциальная энергия тела массой в поле силы тяжести:

,

где h - высота центра масс тела над заданным уровнем, для которого потенциальную энергию тела условно принимают равной нулю (например, уровень поверхности Земли или низшее положение, кото­рое занимает тело при движении).

Потенциальная энергия сжатой или растянутой на величину х пружины, обладающей жесткостью , рассчитывается по формуле

.

Полная механическая энергия изолированной системы, в которой действуют только консервативные силы, остается постоянной:

.

Если в изолированной системе действуют неконсервативные си­лы, например, силы трения, то полная механическая энергия системы уменьшается:

,

где - работа сил трения.

Если же система тел, в которой действуют силы трения, к тому же не является изолированной (равнодействующая внешних сил отлична от нуля), то убыль полной механической энергии такой системы рав­на работе внешних сил и сил трения:

.

Здесь цифрами 1 и 2 обозначены соответственно начальное и конеч­ное состояния системы.

Это равенство называется общим законом сохранения и превра­щения энергии.

Примеры решения задач

Задача 7. Брусок скользит вниз по наклонной плоскости высотой 0,10 м и длиной 0,50 м. Соскользнув с наклонной плоскости, брусок проходит по горизонтальной поверхности расстояние 1,0 м и останав­ливается. Определить коэффициент трения, считая его одинаковым на наклонной плоскости и на горизонтальной поверхности.

Решение

h = 0,10м

= 0,50 м

= 1,0 м

- ?

Рис.8

Покажем на рис.8 начальное и конечное положения бруска, а также его промежуточные состояния на наклонной плоскости и на горизонтальной поверхности. На брусок действует сила тяжести , сила реакции опоры ( - на наклонной плоскости; - на гори­зонтальной поверхности) и сила трения ( - на наклонной плоскости; - на горизонтальной поверхности). Будем считать, что сис­тема отсчета связана с Землей.

Запишем для системы тел (брусок, наклонная плоскость и гори­зонтальная поверхность, Земля) уравнение закона сохранения и пре­вращения энергии

. (54)

Потенциальную энергию будем отсчитывать от уровня горизон­тальной плоскости. Тогда = 0.

Кинетическая и потенциальная энергия наклонной плоскости, горизонтальной поверхности и Земли в системе отсчета, связанной с Землей, не изменяется и в уравнение (54) не входит.

Поскольку в начальном состоянии (в точке В) (см. рис.8) брусок относительно Земли покоился и в конечном состоянии (точка С) опять стал неподвижным относительно Земли, изменение кинетиче­ской энергии бруска

. (55)

Изменение потенциальной энергии бруска:

. (56)

Внешние силы на систему не действуют:

. (57)

Полная работа сил трения равна сумме работ сил трения на на­клонной плоскости и на горизонтальной поверхности:

. (58)

Работы и отрицательны, так как направления сил и противоположны направлению перемещения бруска.

Величина силы реакции опоры на наклонной плоскости - , а на горизонтальной поверхности - . Тогда силы трения соответственно равны

; (59)

. (60)

Подставляя выражения (59), (60) в равенство (58), получаем

. (61)

С учетом соотношений (55)...(57) и (61) уравнение (54) закона со­хранения и превращения энергии запишется так:

,

откуда

. (62)

.

Подставляя это выражение в формулу (62), находим:

. (63)

Определение наименования единицы величины, которую дает расчетная формула (63):

(- безразмерный коэффициент).

Используя исходные данные задачи, вычисляем значение коэф­фициента трения:

Задача 8. Шар скатывается без скольжения с наклонной плоско­сти с углом при основании = 30°. Начальная скорость шара равна нулю. Определить ускорение центра шара, время, за которое он прой­дет по наклонной плоскости расстояние 1.0 м, и скорость шара в конце этого пути. Трение качения не учитывать.

Решение

Покажем на рис.9 начальное и конечное положение шара, катящегося по наклонной плоскости. Возьмем систему отсчета, свя­занную с Землей, направив ось ОХ вниз вдоль наклонной плоскости, и выберем уровень в конце пути.

На систему тел (шар, наклонная плоскость, Земля) внешние силы не действуют, т. е. система - изолированная. Трение качения по усло­вию задачи не учитывается, т. е. . Поэтому для данной системы тел можно записать уравнение закона сохранения механической энергии:

. (64)

Так как движение шара является равноускоренным (), учитывая, что , из уравнения (4) численное значение ус­корения центра шара равно

, (65)

а время скатывания шара согласно уравнению (2) можно найти так:

. (66)

Поскольку система отсчета связана с Землей, а наклонная плоскость неподвижна относительно Земли, кинетическая и потенциаль­ная энергии Земли и наклонной плоскости в условиях задачи не из­меняются и в уравнение (64) входить не будут.

Рис.9

Изменение кинетической энергии шара согласно условию и фор­муле (53):

. (67)

Изменение потенциальной энергии шара

. (68)

Поскольку качение шара происходит без скольжения, численные значения скоростей и связаны соотношением

. (69)

Момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости чертежа, равен

. (70)

Подставляя выражения (67), (68), (69) в уравнение (64) закона со­хранения механической энергии, получаем

. (71)

Из формул (65), (71) находим

. (72)

Время скатывания из формул (66), (71), (72) равно

. (73)

Учитывая выражение (70), для момента инерции шара из формул (71), (72), (73) окончательно получаем:

; (74)

; (75)

. (76)

Определим наименования единиц величин, которые дают расчет­ные формулы (74), (75) и (76):

Подставляя исходные данные условия задачи в формулы (74)...(76), получаем:

2. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности ра­диусом R = 4 м, задается уравнением (A = 1 м/с2, В = 6 м/с3, С = 9 м/с4). Определить: 1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время с после начала движения; 3) полное ускорение для момента времени с.

Ответ: 1) 6 м/с2;м; 3) 17,1 м/с2.

2. Зависимость пройденного телом пути по окружности радиусом R = 3 м задается уравнением (А = 0,4 м/с2, В = 0,1 м/с). Определить для момента времени с после начала движения ус­корения: 1) нормальное; 2) тангенциальное; 3) полное.

Ответ: 1) 0,27 м/с2; 2) 0,8 м/с2; 3) 0,84 м/с2.

3. Материальная точка начинает двигаться по окружности ра­диусом R = 12,5 см с постоянным тангенциальным ускорением 0,5 см/с2. Определить: 1) момент времени, при котором вектор ускорения образует с вектором скорости угол 45°; 2) путь, пройденный за это время движущейся точкой.

Ответ: 1) 5 с; 2) 6,25 см.

4. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением 3 рад/с2. Определить радиус колеса, если через t = 1 с после начала движения полное ускорение колеса а = 7,5 м/с2.

Ответ: 79 см.

5. Точка движется по окружности радиусом R = 15 см с постоян­ным тангенциальным ускорением . К концу четвертого оборота по­сле начала движения линейная скорость точки v = 15 см/с. Опреде­лить нормальное ускорение точки через t = 16 с после начала дви­жения.

Ответ: 1,5 см/с2.

6. Диск радиусом R = 10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением (В = 1 рад/с, С = 1 рад/с2, D = 1 рад/с3). Определить для точек на ободе диска к концу второй се­кунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение ; 2) нормальное ускорение ; 3) полное ускорение а.

Ответ: 1) 1,4 м/с2: 2) 28,9 м/с2; 3) 28,9 м/с2.

7. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением (А = 0,1 рад/с2). Определить полное ускорение а точки на ободе диска к концу второй секунды после начала движения, если линейная ско­рость этой точки в этот момент v = 0,4 м/с.

Ответ: 0,26 м/с2.

8. Диск радиусом R = 10 см вращается так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением (А = 2 рад, В = 4 рад/с3). Определить для точек на ободе колеса: 1) нормальное ускорение в момент времени t = 2 с; 2) тангенци­альное ускорение для этого же момента; 3) угол поворота , при ко­тором полное ускорение составляет с радиусом колеса угол 45°.

Ответ:м/с2; 2) 4,8 м/с2: 3) 2,67 рад.

9. Груз массой 100 кг привязан к свободно свисающему концу ве­ревки, намотанной на лебедку, находящуюся на крыше здания. Груз начинает падать, причем веревка натягивается в тот момент, когда груз пролем. После этого при помощи лебедки движение груза тормозится. Какую минимальную длину веревки необходимо смотать с барабана лебедки до полной остановки груза, если прочность верев­ки на разрыв 1800 Н?

Ответ: 14,3 м.

10. Для подачи в служебное помещение использованной посуды в столовой применяется транспортер. С какой максимальной скоростью должна двигаться лента транспортера, чтобы при остановке посуда не скользила по ленте? Коэффициент трения между лентой и посудой 0,02, время остановки транспортера 2,5 с.

Ответ: 49 см/с.

11. Гирька весом Р = 4,9 Н, привязанная к резиновому шнуру длиной , описывает в горизонтальной плоскости окружность. Ско­рость вращения гирьки соответствует частоте 2 об/с. Угол откло­нения резинового шнура от вертикали равен 30°. Найти длину нерастянутого резинового шнура. Для растяжения шнура на требуется сила F1 = 6.0 Н

Ответ: 6,3 см.

12. Камень массой 0,5 кг, привязанный к веревке длиной 50 см, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Натяже­ние веревки в низшей точке окружности равно Т = 44 Н. На какую высоту поднимается камень, если веревка обрывается в тот момент, когда скорость направлена вертикально вверх?

Ответ: 2 м.

13. Стальная проволока некоторого радиуса выдерживает нагрузку до 300 кГ. На такой проволоке подвешен груз массой 150 кг. На какой наибольший угол можно отклонить проволоку с грузом, чтобы она не разорвалась при прохождении грузом положения равновесия?

Ответ: 60°

14. Коэффициент трения между некоторым телом и плоскостью, наклоненной под углом 45° к горизонту, равен 0,2. На какую высоту поднимается это тело, скользя по наклонной плоскости, если ему бу­дет сообщена скорость 10 м/с, направленная вверх вдоль плоскости. Какова будет скорость тела, когда оно вернется в нижнюю исходную точку своего движения?

Оцет: 4,25 м; 8,16 м/с.

15. Конькобежец массой 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой 3 кг со скоростью 8 м/с. На какое расстояние откатится при этом конькобежец, если известно, что коэффициент трения коньков о лед равен 0,02?

Ответ: 0,3 м.

16. Человек, стоящий на неподвижной тележ­ке, бросает вперед в горизонтальном направлении камень массой 2 кг. Тележка с человеком покати­лась назад, и в первый момент после бросания ее скорость была равна 0,1 м/с. Вес тележки с челове­ком равен 100 кГ. Найти кинетическую энергию брошенного камня через 0,5 с после начала его движения. Сопротивлением воздуха при полете камня пренебречь.

Ответ: 49 Дж.

17. Баллистический маятник - это маятник для определения скорости снаряда. Принцип его действия заключается в том, что снаряд, скорость ко­торого следует измерить, ударяется в тело маятника (рис.12). Если из­вестны условия удара и массы снаряда и маятника, то по углу откло­нения маятника можно вычислить скорость v снаряда до удара. По­казать, как это сделать для следующих различных случаев: 1) снаряд после удара застревает в маятнике; 2) снаряд отскакивает после удара со скоростью v' назад; 3) снаряд падает вниз, потеряв свою скорость. Масса маятника М кг, и масса снаряда m кг, известны; маятник можно рассматривать как математический длины .

Ответ: 1)

2)

3)

18. Льдина площадью поперечного сечения S = 1 и высотой Н = 0,4 м плавает в воде. Какую работу надо совершить, чтобы пол­ностью погрузить льдину в воду?

Ответ: А = 7,84 Дж.

19. Для забивки сваи груз массой 100 кг поднимают с постоянной скоростью 5 м/с, а затем отпускают на высоте 10 м, после чего он, пройдя по инерции некоторое расстояние вверх, свободно падает, а затем ударяется о сваю. Масса сваи 700 кг. Сила сопротивления дви­жению сваи 104 Н. На какую глубину опускается свая после каждого удара? Какое максимальное количество ударов можно произвести за 1 мин?

Ответ: 12 см; 15 ударов.

20. При пескоструйной обработке поверхности песок направляет­ся на обрабатываемую поверхность со скоростью 50 м/с под углом 30° к нормали поверхности. Масса песчинки 0,1 г, время удара 0,001 с. Определить силу нормального давления, оказываемого песчинкой на поверхность, если она отскакивает с половинной скоростью под тем же углом.

Ответ: 6,5 Н.

21. На рельсах стоит платформа массой 10 т. На платформе закреплено орудие массой 5 т, из которого производится вы­стрел вдоль рельсов. Масса снаряда 100 кг: его начальная ско­рость относительно орудия 500 м/с. Определить скорость плат­формы в первый момент после выстрела, если: 1) платформа стояла неподвижно; 2) платформа двигалась со скоростью 18 км/ч и вы­стрел был произведен в направлении ее движения; 3) платформа дви­галась со скоростью 18 км/ч и выстрел был произведен в направ­лении, противоположном направлению ее движения.

Ответ:км/ч; 2) 6 км/ч;км/ч.

22. На железнодорожной платформе, движущейся по инерции со скоростью 3 км/ч, укреплено орудие. Масса платформы с оруди­ем M = 10 т. Ствол орудия направлен в сторону движения платфор­мы. Снаряд массой m = 10 кг вылетает из ствола под углом к горизонту. Определить скорость v снаряда (относительно Земли), если после выстрела скорость платформы уменьшилась в n = 2 раза

Ответ: 835 м/с.

23. Автомобиль начинает двигаться в гору и за 4 мин проходит расстояние 3 км. Сила сопротивления движению составляет при этом 8% от силы тяжести. Определить уклон горы (sin угла при основании) и мощность, развиваемую двигателем в конце пути, если масса авто­мобиля 2 т, а работа, совершенная его двигателем, равна Дж.

Ответ: sin 0,03; N = 58 кВт.

24. Автомобиль массой 1 т, двигаясь в гору (с уклоном 5 м на ка­ждые 100 м пути) с постоянной скоростью 36 км/ч, развивает мощ­ность 11,8 кВт. Определить, какую мощность должен развивать авто­мобиль, чтобы двигаться под гору с тем же уклоном, с той же скоро­стью'?

Ответ: 2 кВт.

25. Шар радиусом R = 10 см и массой m = 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению = А + Bt2 + Cl3 (В = 2 рад/с2, С = -0.5 рад/с3). Определить момент сил M для t = 3 с.

Ответ: - 0,1 .

26. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J = 150 кг м2, вращается с частотой v = 240 об/мин. Через время t = 1 мин действия на маховик момента сил торможения он остановился. Определить: 1) момент М сил торможения; 2) число оборотов махови­ка от начала торможения до полной остановки.

Ответ:Н м;

27. К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,5 м приложена постоянная касательная сила F = 100 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения = 2 Н м. Определить массу m диска, если известно, что его угловое ускорение постоянно и равно 16 рад/с2.

Ответ: 24 кг.

28. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 5 см и массой М = 10 кг намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 1 кг (рис.13). Определить: 1) зависи­мость , согласно которой движется груз; 2) силу натяжения нити Т; 3) зависимость , согласно которой вращается вал; 4) угловую скорость вала через t = 1 с после начала движе­ния; 5) тангенциальное () и нормальное () ускорения точек, находящихся на поверхности вала.

Ответ: 1) 0,82t2; 2) 8,2 Н; 3) =16.4t2;

4) 32,8рад/с; 5) = 1,64 м/с2; = 53.8 м/с2.

Рис.13

29. Тело массой = 0.25 кг (рис.14), со­единенное невесомой нитью посредством блока (в виде полого тонкостенного цилиндра) с телом массой = 0.2 кг, скользит по поверхно­сти горизонтального стола. Масса блока = 0,15 кг. Коэффициент трения тела о по­верхность равен 0,2. Пренебрегая трением в подшипниках, опреде­лить: 1) ускорение а, с которым будут двигаться эти тела; 2) силы на­тяжения и нити по обе стороны блока.

Ответ: 1) 2,45 м/с2; 2) = 1,1 Н; = 1,47 Н.

Рис. 15

 

Рис.14

30. На ступенчатый блок, радиусы которого = 0,3 м и = 10 см, намотаны в противоположных направлениях нити (рис.15). К концам нитей привязаны грузы массами 1 кг. Момент инерции блока J = 0.3 кг-м2. Пренебрегая силой трения и массой ни­тей, определить ускорения грузов и натяжение каждой нити.

Ответ: = 1.5 м/с2; = 0,5 м/с2; = 8,3 Н; = 10,3 Н.

31. С какой силой следует прижать тормозную колодку к колесу, вращающемуся с частотой = 30 об/с, для его остановки в течение t = 20 с, если масса колеса распределена по ободу и равна m = 10 кг, диаметр колеса d = 20 см? Коэффициент трения между колодкой и ободом колеса = 0.5.

Ответ: 18,8 Н.

32. По ободу шкива, насаженного на общую ось с маховым коле­сом, намотана нить, к концу которой подвешен груз массой 1 кг. На какое расстояние должен опуститься груз, чтобы колесо со шкивом получило скорость, соответствующую 60 об/мин? Момент инерции колеса со шкивом равен 0,42 кг-м2, радиус шкива равен 10 см.

Ответ: h = 0.865 м.

33. Человек стоит на горизонтальной платформе и ловит рукой мяч массой т = 0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью v = 9.6 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии м от вертикальной оси вращения платформы. С какой угловой скоростью начнет вращаться платформа с человеком, поймавшим мяч? Суммарный момент инерции платформы и человека J = 6 кг м2.