Глава 3. Аналитическая геометрия

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

В этом разделе будем изучать описание и свойства простейших геометрических объектов - прямых и плоскостей с помощью средств математического анализа.

3.1. Прямая линия на плоскости

Введем на плоскости декартову систему координат XOY и выберем в этой системе произвольную фиксированную точку , произвольную точку и некоторый фиксированный вектор . Составим скалярное произведение векторов и , которое приравняем затем нулю . Поскольку точка M выбрана произвольной, все множество векторов будет представлять собой совокупность коллинеарных векторов, лежащих на одной прямой, проходящей через заданную точку . Концы этих векторов соответствуют произвольной точке этой прямой и, следовательно, описывают саму прямую. Тем самым мы получили уравнение прямой в векторном виде, проходящей через заданную точку с заданным нормальным вектором:

. (3.1)

Вектор называется нормальным вектором прямой и определяет ее направление на плоскости. Заметим, что из уравнения прямой видно, что длина вектора никакой роли не играет, поскольку уравнение не изменится, если вместо подставить любой коллинеарный ему ненулевой вектор . Перейдем теперь от векторного уравнения прямой к ее уравнению в декартовых координатах, учитывая, что :

. (3.2)

Полученное уравнение первого порядка относительно величин x и y и есть уравнение прямой, проходящей через заданную точку. Если раскрыть скобки, то получим следующее уравнение или

, (3.3)

которое называется общим уравнением прямой. Если в этом уравнении , и , то оно называется полным уравнением и неполным в противном случае.

3.1.1. Виды уравнения прямой.

Полное уравнение прямой всегда можно привести к виду . Полагая , получим уравнение прямой в отрезках

. (3.4)

Числа а и b имеют постой геометрический смысл: a и b есть отрезки, отсекаемые прямой на осях координат X и Y соответственно. Рассмотрим теперь другой способ задания прямой – с помощью направляющего вектора. Выберем, аналогично предыдущему, произвольную фиксированную точку и некоторую произвольную точку . Запишем уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно некоторому фиксированному ненулевому вектору . Для этого потребуем, чтобы векторы и были коллинеарными, т. е. , где - произвольная вещественная константа. Переходя к декартовым координатам, запишем условие коллинеарности этих векторов, т. е. условие пропорциональности их соответствующих координат, в следующем виде:

, (3.5)

которое называется уравнением прямой в каноническом виде. Заметим, что одна из координат вектора может быть равна нулю. В этом случае запись уравнения (6) остается прежней, например, , что означает, что вектор параллелен оси Y и уравнение (6) можно записать как , т. е. . Это и есть уравнение прямой, параллельной оси Y, пересекающей ось X в точке .

Запишем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки , . В этом случае за направляющий вектор прямой можно взять вектор и тогда каноническое уравнение (3.5) запишется в виде:

. (3.6)

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Заметим, что можно записать и эквивалентное ему уравнение .

Каноническое уравнение прямой (3.5) можно записать в виде системы двух уравнений

, (3.7)

где - произвольный параметр, или

, (3.8)

Которое называется параметрическим уравнением прямой.

Если прямая не параллельна оси X, то в общем уравнении прямой (3.3) и, поделив уравнение на B, его можно записать в виде , где .

Из геометрических соображений понятно, что - угловой коэффициент, b – отрезок, отсекаемый прямой на оси координат Y. Полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

(3.9)

Если заданы координаты точки, через которую проходит прямая, то уравнение

(3.10)

есть уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точку .

Рассмотрим теперь произвольную прямую L. Проведем из начала координат перпендикулярно прямой L луч с единичным вектором и пусть P - точка его пересечения с прямой L. Направляющие косинусы вектора есть , а его декартовы координаты . Тогда для любой точки M, лежащей на прямой L, , где p – длина отрезка OP (всегда неотрицательная величина!) или

, откуда получаем нормированное уравнение прямой или уравнение прямой в нормальном виде

. (3.11)

3.1.2. Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые и заданы общими уравнениями ,

. При этом и - их нормальные векторы. Тогда угол между прямыми и равен углу между и , значение которого выражается через их скалярные произведения:

. (3.12)

Если векторы и коллинеарны, то их координаты пропорциональны - условие параллельности прямых и . Если же и ортогональны, то - условие перпендикулярности прямых и . Рассмотрим теперь, как выражаются углы между прямыми, заданными уравнениями в каноническом виде. Пусть

и . Тогда здесь аналогичную роль играют направляющие вектора этих прямых и :

; (3.13)

- условие параллельности прямых и , - условие перпендикулярности этих прямых. Если же прямые и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами

, , то угол между ними определяется как . Тогда

или

. (3.14)

Равенство - есть условие параллельности прямых и , - условие их перпендикулярности.

3.1.3. Отклонение точки от прямой

Рассмотрим уравнение прямой в нормальном виде

. Введем фундаментальное понятие отклонения

произвольной точки M от данной прямой L. Пусть d обозначает расстояние от т. M до L. Назовем отклонением точки M от прямой L число +d в случае, когда точка M и начало координат лежат по разные стороны от прямой L и число –d в случае, когда точка M и начало координат лежат по одну сторону от прямой L. Если же начало координат O лежит на прямой L, то положим , если M лежит по ту сторону от L, куда направлен вектор и в противном случае.

Теорема. Левая часть нормального уравнения (3.11) прямой L равна отклонению точки M с координатами от прямой L , если координаты этой точки подставить в левую часть этого уравнения, т. е.:

Доказательство. Спроектируем точку M на луч, определяемый единичным вектором . Тогда .

Но . Отсюда получаем, что . При этом расстояние от точки до прямой равно модулю отклонения, т. е. .

Для приведения общего уравнения прямой к нормальному виду поступим следующим образом. Уравнение и определяют одну и ту же прямую. Умножим первое из них на некоторый множитель t. Тогда , , , откуда и . Знак у множителя t выбирается так, чтобы выполнялось условие (расстояние всегда положительное), т. е. выбирается знак, противоположный знаку C (). Тогда отклонение какой-либо точки от прямой определяется как

. (3.15)

Расстояние от этой точки до прямой есть .

3.2. ЗАДАЧИ

1. Для прямой, заданной уравнением с угловым коэффициентом :

а) выписать угловой коэффициент; определить, острый или тупой угол образует прямая с положительным направлением оси ;

б) записать уравнение в общем виде; выписать координаты вектора нормали;

в) записать уравнение в отрезках; нарисовать прямую;

г) записать уравнение в каноническом виде; выписать два различных направляющих вектора;

д) записать уравнение в параметрическом виде.

2. Даны: , , , , . Записать и привести к общему виду:

а) уравнение прямой с вектором нормали , проходящей через точку ;

б) уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно направлению ;

в) уравнение прямой с направляющим вектором , проходящей через точку ;

г) уравнение прямой, проходящей через точки и .

3. Определить взаимное расположение прямых (пересекаются, параллельны, совпадают). Если прямые пересекаются, то найти точку пересечения и угол между ними; если прямые параллельны, то найти расстояние между ними:

а) , ;

б) , ; в) , .

4. Определить, при каких значениях и две прямые , :

1) параллельны; 2) совпадают; 3) перпендикулярны.

5. Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точку :

а) параллельно данной прямой; б) перпендикулярно к данной прямой.

6. Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и одна из его вершин А(2;-3). Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника.

7. Даны вершины треугольника , , . Составить уравнения его высот и биссектрисы внутреннего угла при вершине .

8. Найти точку симметричную точке относительно прямой .

Домашнее задание.

9. Прямая задана уравнением в общем виде . Записать уравнение этой прямой в разных видах:

а) уравнение с угловым коэффициентом;

б) уравнение в отрезках;

в) уравнение в каноническом виде;

г) уравнение в параметрическом виде.

10. Даны: , , , , . Записать и привести к общему виду:

а) уравнение прямой с вектором нормали , проходящей через точку ;

б) уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно направлению ;

в) уравнение прямой с направляющим вектором , проходящей через точку ;

г) уравнение прямой, проходящей через точки и .

11. Определить взаимное расположение прямых (пересекаются, параллельны, совпадают). Если прямые пересекаются, то найти точку пересечения и угол между ними; если прямые параллельны, то найти расстояние между ними:

а) , ;

б) , ; в) , .

12. Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника А(5;-4), В(-1;3), С(-3;-2) параллельно противоположным сторонам.

13. Даны стороны трапеции , . Найти длину ее высоты.

14. , - стороны параллелограмма. - одна из диагоналей. Найти координаты вершин.

Ответы. 1. а) k = 2, острый; б) , ; в) ;

г) ; д) . 2. а) ; б) ;

в) ; г) . 3. а) Пересекаются, (5;6), ; б) совпадают; в) параллельны, ., или , ;

2) , или , ; 3) , .

5. а) ; б) . 6. , .

7. , , ,

.;-11).

9. а) ; б) ; в) ; г) .

10. а) ; б) ; в) ; г) .

11. а) Параллельны, ; б) Пересекаются, , ;

в) Совпадают. 12. , , .

13. . 14. (2;-2), (-2;0), (-2;2), (-6;4.)

3.3. Плоскость в пространстве

В пространстве с декартовой системой координат OXYZ выберем произвольную фиксированную точку , произвольный фиксированный вектор и произвольную точку пространства . Составим скалярное произведение векторов , и приравняем его нулю. Тогда геометрическое место концов множества векторов , удовлетворяющих этому уравнению, образует плоскость, перпендикулярную вектору и уравнение

. (3.16)

есть векторное уравнение плоскости. Вектор называется нормальным вектором плоскости. В декартовых координатах уравнение (3.16) принимает вид

(3.17)

и называется уравнением плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором . Если раскрыть скобки, то уравнение (3.17) можно записать как

, (3.18)

где - константа. Уравнение (3.18) называется общим уравнением плоскости. Оно называется полным уравнением плоскости, если и неполным в противном случае. Полное уравнение плоскости можно привести к виду или

, (3.19)

где a, b, с – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях OX, OY, OZ и такое уравнение называется уравнением плоскости в отрезках.

Рассмотрим другой способ задания плоскости – с помощью двух направляющих векторов. Пусть заданы два неколлинеарных ненулевых вектора и . Выберем, как и ранее, произвольную фиксированную точку , произвольную точку и построим вектор . Тогда равенство нулю смешанного произведения

(3.20)

определяет плоскость, проходящую через точку параллельно плоскости, в которой лежат векторы и . Поэтому уравнение (3.20) называется уравнением плоскости в векторном виде. Его также можно записать через радиус-векторы точек и M:

. (3.21)

В декартовых координатах это уравнение может быть записано

. (3.22)

Раскрыв этот определитель, получим общее уравнение плоскости (3.18). С другой стороны, равенство нулю определителя означает, что его первая строка является линейной комбинацией остальных двух строк (вторая и третья строки линейно независимы как координаты неколлинеарных векторов) и тогда уравнение плоскости можно записать в виде следующей системы

, (3.23)

где - произвольные параметры и называется уравнением плоскости в параметрическом виде. В векторном виде система (3.23) может быть записана следующим образом

. (3.24)

Заметим, что между нормальным вектором плоскости е ее направляющими векторами и существует простая связь: .

3.3.1. Виды уравнений плоскости

Рассмотрим какие-нибудь три произвольные точки , и , не лежащие на одной прямой. Построим на этих точках два вектора и , которые являются неколлинеарными и их можно использовать в качестве направляющих векторов плоскости. Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку с указанными направляющими векторами, запишется в виде

. (3.25)

Это и есть уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.

Рассмотрим теперь произвольный единичный вектор

, лежащий на луче, проведенном из начала координат. Выберем на нем произвольную точку P и обозначим через OP = p расстояние от начала координат до этой точки. Далее, проведем через точку Р плоскость, перпендикулярную вектору . Такая плоскость единственная и ее

уравнение есть , где - произвольная точка этой плоскости. Это уравнение можно записать в виде или

. (3.26)

Это и есть уравнение плоскости в нормальном виде или нормированное уравнение плоскости. Если - произвольная точка, не лежащая на плоскости (3.25), то величина

называется отклонением точки от плоскости, определяемой уравнением (3.26). Если , то это означает, что точка и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, и если - то по одну. Если же начало координат O лежит на плоскости, то положим , если лежит по ту сторону от плоскости, куда направлен вектор и в противном случае. Расстояние от этой точки до плоскости . Чтобы привести общее уравнение плоскости к нормальному виду, достаточно умножить его, по аналогии с общим уравнением прямой на плоскости, на нормирующий множитель , знак которого выбирается противоположным знаку D. Тогда отклонение точки от плоскости определится как

(3.27)

и расстояние от точки до плоскости .

3.3.2. Угол между двумя плоскостями

Пусть две плоскости заданы своими общими уравнениями и . Тогда угол между ними будет равен углу между их нормальными векторами и , который определится из скалярного произведения этих векторов

. (3.28)

Отсюда следуют условие перпендикулярности двух плоскостей (ортогональность нормальных векторов) и параллельности двух плоскостей (коллинеарность нормальных векторов) .

3.4. ЗАДАЧИ

1. Составить уравнение плоскости в отрезках, если эта плоскость проходит через точку и имеет нормальный вектор .

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и

а) параллельно координатной плоскости ;

б) проходящей через ось .

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и

а) параллельно двум векторам , ;

б) перпендикулярно вектору , где ;

в) перпендикулярно вектору , где О - начало координат;

г) проходящей через точку и параллельно вектору .

4. Определить взаимное расположение плоскостей (пересекаются, параллельны, совпадают). Если плоскости пересекаются, то найти угол между ними; если плоскости параллельны, то найти расстояние между ними:

а) , ;

б) , ;

в) , .

5. На оси найти точку, равноудаленную от плоскостей

и .

6. Найти объем пирамиды, ограниченной плоскостями

, , , .

Домашнее задание.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

, , .

8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и

а) параллельно координатной плоскости ;

б) проходящей через прямую в плоскости .

9. Составить уравнение плоскости в общем виде и в отрезках, если плоскость проходит через точку и

а) параллельно двум векторам , ;

б) перпендикулярно вектору , где ;

в) проходящей через точку и параллельно вектору .

10. Определить взаимное расположение плоскостей (пересекаются, параллельны, совпадают). Если плоскости пересекаются, то найти угол между ними; если плоскости параллельны, то найти расстояние между ними:

а) , ;

б) , ;

в) , .

11. Найти плоскость, равноудаленную от плоскостей

и .

Ответы. 1. . 2. . 3. а) ;

б) . 4. а) ; б) ;

в) ; г) .

5. а) Пересекаются, ; б) Совпадают; в) Параллельны, .

6. , . 7. . 8. .

9. а) ; б) . 9. а) ; б) ;

в) . 10. а) Параллельны, ; б) Совпадают;

в) Пересекаются, . 11. .

3.5. Прямая линия в пространстве

Выберем в пространстве произвольную фиксированную точку и фиксированный ненулевой вектор , который будем называть направляющим вектором прямой. Точка тогда и только тогда лежит на прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору , когда векторное произведение векторов и равно нулю:

или . (3.29)

Уравнение (3.29) называется уравнением прямой в векторном виде. В декартовых координатах это уравнение записывается в виде условия коллинеарности указанных векторов

(3.30)

и называется каноническим уравнением прямой. Любая координата вектора (но не все одновременно) может быть равна нулю. Это означает, что прямая будет проходить параллельно соответствующей координатной плоскости. Уравнение (3.30) также может быть представлено в параметрическом виде (параметрическое уравнение прямой)

, (3.31)

где t - произвольный параметр. Кроме того, как известно, пересечение двух непараллельных плоскостей происходит по прямой и поэтому можно уравнение прямой задать в виде системы двух уравнений первого порядка, каждое из которых является общим уравнением плоскости:

. (3.32)

Покажем, что система (3.32) действительно является уравнением прямой. Поскольку плоскости непараллельные, ранг матрицы системы уравнений (3.32) равен двум. Пусть, например, базисным минором этой системы есть . Тогда общее решение системы (3.32) имеет вид: , где - числа. Его можно записать в виде , это и есть каноническое уравнение прямой.

Получим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Пусть это будут точки и . В качестве направляющего вектора прямой возьмем вектор и тогда уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, имеет вид:

(3.33)

3.5.1. Угол между прямыми в пространстве.

Угол между двумя прямыми

и

определяется углом между направляющими векторами этих прямых:

. (3.34)

\

3.5.2. Некоторые типовые задачи.

1. Угол между прямой и плоскостью. Рассмотрим плоскость и прямую . Угол между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой определится как . Угол же между прямой и плоскостью . Тогда .

Условие параллельности прямой и плоскости: . Условие перпендикулярности прямой и плоскости : .

2. Условие принадлежности прямой плоскости . Одновременно должны быть выполнены два условия: и . Первое из них означает, что точка прямой и второе, что плоскость и прямая параллельны.

3. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости.

Две прямые и лежат в одной плоскости, если в одной плоскости лежат векторы , и , т. е. если равно нулю смешанное произведение этих векторов:. Если данный определитель не равен нулю, то прямые не пересекаются и не параллельны. Такие прямые называются скрещивающимися прямыми.

4. Условие пересечения трех плоскостей.

Точка пересечения плоскостей находится из решения системы уравнений Необходимым и достаточным условием ее существования является отличие от нуля определителя этой системы. В противном случае они либо пересекаются по прямой, если ранг матрицы системы равен двум, либо они параллельны, если ранг матрицы равен единице.

5. Пересечение прямой и плоскости.

Чтобы найти точку пересечения плоскости и прямой , нужно перейти к уравнению прямой в параметрическом виде , подставить полученные выражения для координат в уравнение плоскости и найти значение параметра t. Подставив это найденное значение параметра в выражения для координат, найдем искомые значения координаты точки пересечения.

6. Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости .

Здесь достаточно в качестве направляющего вектора прямой взять нормальный вектор данной плоскости и записать уравнение прямой в каноническом виде: .

7. Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

В этом случае искомая плоскость имеет тот же нормальный вектор и ее уравнение записывается в виде .

8. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

В этом случае в качестве нормального вектора плоскости следует выбрать направляющий вектор прямой: .

9. Расстояние от точки до прямой .

Существует два способа. Первый способ. 1). Составляется уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой . 2). Определяется точка пересечения этой плоскости с прямой . 3). Искомое расстояние равно длине отрезка . Второй способ. Искомое расстояние равно высоте параллелограмма, построенного на векторах и и может быть вычислено по формуле .

10. Уравнение перпендикуляра, опущенного из заданной точки на заданную прямую .

Через точку проводится плоскость, перпендикулярная к прямой и находится точка пересечения ее с прямой . Тогда уравнение прямой, проходящей через точки и , и будет уравнением искомого перпендикуляра.

11. Определение расстояния между скрещивающимися прямыми.

Расстояние между скрещивающимися прямыми и определяется как расстояние между двумя параллельными плоскостями, одна из которых принадлежит прямой , другая – прямой .

Такие плоскости являются верхней и нижней гранями параллелепипеда, построенного на векторах и . Действительно, точки и лежат на этих гранях соответственно, а обе прямые параллельны плоскостям этих граней, поскольку их направляющие векторы параллельны им и, следовательно, прямые лежат в этих плоскостях. Расстояние между верхней и нижней гранями есть высота параллелепипеда, которая равная отношению его объема к площади основания (грани): .

3.6. ЗАДАЧИ

1. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку

параллельно:

а) вектору ; б) прямой ;

в) оси ; г) прямой .

2. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки , .

3. Составить параметрические уравнения прямой .

4. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку

параллельно прямой .

5. Определить взаимное расположение прямой и плоскости (пересекаются, параллельны, прямая лежит в плоскости). Если прямая и плоскость пересекаются, то найти точку пересечения и угол между ними; если параллельны, то найти расстояние между ними:

а) , ;

б) , ;

в) , .

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и:

а) перпендикулярно к прямой ;

б) проходящей через прямую .

7. Найти расстояние от точки М(-25;7;10) до прямой .

8. Найти точку N, симметричную точке М(1;3;-4) относительно плоскости .

Домашнее задание.

9. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки , .

10. Составить параметрические уравнения прямой .

11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной плоскости .

12. Даны вершины треугольника А(3;6;-7), В(-5;2;3), С(4;-7;-2). Составить параметрические уравнения его медианы, проведенной из вершины С.

13. Определить взаимное расположение прямой и плоскости (пересекаются, параллельны, прямая лежит в плоскости). Если прямая и плоскость пересекаются, то найти точку пересечения и угол между ними; если параллельны, то найти расстояние между ними:

а) , ;

б) , ;

в) , .

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельно прямым , .

Ответы. 1. а) ; б) ; в) ;

г) . 2. , .

3. . 4. . 5. а) Параллельны, ;

б) Пересекаются, (2;-3;6), ; в) Прямая лежит в плоскости.

6. а) ; б) . 7. .;1;0).

9. , . 10. . 11. .

12. . 13. а) Пересекаются, (-1;-2;1), ; б) Прямая лежит в плоскости; в) Параллельны, . 14. .

3.7. Кривые второго порядка на плоскости.

Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат и рассмотрим кривую, определяемую неявно общим алгебраическим уравнением второй степени

, (3.35)

где: A, B, C, D, E, F – некоторые числа, причем A, B, C не равны нулю одновременно. Кривая в декартовых координатах, описываемая уравнением (3.35), называется кривой второго порядка. Может случиться так, что уравнению (3.35) не соответствует ни одна точка с вещественными координатами (x, y) и тогда уравнение (3.35) определяет мнимую кривую второго порядка. Например, уравнению не соответствует ни одна точка в декартовой системе координат. В дальнейшем такие кривые не рассматриваются.

Перечислим шесть важных случаев общего уравнения кривых второго порядка (канонические кривые).

1). Уравнение эллипса: с полуосями a, b. При a = b - окружность с центром в начале координат.

2). Уравнение гиперболы: с полуосями a, b.

3). Уравнение параболы: .

4). Уравнение пары пересекающихся прямых: .

5). Уравнение пары параллельных прямых: или .

6). Уравнение, определяющее точку: .

Рассмотрим вкратце эти канонические кривые и некоторые их свойства.

3.7.1. Эллипс.

Уравнение эллипса

(3.36)

с полуосями a, b. Нетрудно видеть, что это кривая, симметричная относительно начала координат. Такие кривые называются центральными кривыми. Точки , , , называются вершинами эллипса. Пусть для определенности

a > b. Положим и отметим на оси X точки и , отстоящие от начала координат на расстоянии и соответственно. Эти точки называются фокусами эллипса. Эллипс определяется как геометрическое место точек, сумма расстояний которых до фокусов и есть величина постоянная, равная 2а.

Действительно,

, откуда

и

или . Возводя в квадрат обе части, получим .

Так как , то и, поделив обе части на , получим уравнение эллипса . Величина называется эксцентриситетом эллипса () и характеризует «сплюснутость» эллипса вдоль полуоси a. При c = 0 (a = b) имеем уравнение окружности, при () эллипс переходит в отрезок прямой [-a, a]. Уравнение эллипса также можно записать в параметрическом виде

, . (3.37)

Действительно, .

Если начало координат перенести в точку , то в новых декартовых же координатах уравнение эллипса по-прежнему будет иметь канонический вид , а в старых (исходных) запишется как

(3.38)

3.7.2. Гипербола.

Уравнение гиперболы

. (3.39)

Это также центральная кривая. Параметры a и b называются полуосями гиперболы. Точки ее пересечения с осью ОХ с абсциссами x = a и называются вершинами гиперболы, ось OX – ее действительной осью. Ось OY гипербола не пересекает, и эта ось называется мнимой осью гиперболы, а точки и называются ее мнимыми вершинами. Положим и отметим на оси X точки и с абсциссами и соответственно, которые называются ее фокусами. Расстояние между фокусами называется фокальным расстоянием. Гипербола определяется как геометрическое место точек, разность расстояний которых до фокусов и есть величина постоянная, равная 2a.

По определению, имеем, выбирая в качестве расстояния разность , получим первую (правую) ветвь гиперболы. Далее: . Возведем в квадрат обе части или, снова возводя в квадрат, получим . Отсюда . Если исходить из равенства , то аналогичным образом получим вторую (левую) ветвь гиперболы. Уравнение гиперболы можно также записать в виде . Тогда и при получаем уравнения двух прямых , которые являются асимптотами гиперболы. Эксцентриситет гиперболы Нетрудно видеть, что и также характеризует ее «сплюснутость». При гипербола приближается к своему вырожденному состоянию – двум полупрямым на действительной оси.

По аналогии с параметрическим уравнением эллипса, можно записать параметрическое уравнение гиперболы

, (3.40)

Действительно, . Если начало координат перенести в точку , то в новых декартовых же координатах уравнение гиперболы по-прежнему будет иметь канонический вид , а в старых (исходных) запишется как

. (3.41)

3.7.3. Парабола

Каноническое уравнение параболы имеет вид

, (3.42)

которая является нецентральной линией. Точка F на оси абсцисс называется фокусом параболы, а прямая называется директрисой параболы. Тогда парабола определяется как геометрическое место точек M(x, y), равноудаленных от фокуса и директрисы.

Действительно,

,, , то есть, или . Парабола не имеет асимптот. Если начало координат перенести в точку , то в новых декартовых же координатах уравнение параболы также по-прежнему будет иметь канонический вид , а в старых (исходных) запишется как

. (3.43)

3.7.4. Пара пересекающихся прямых

Уравнение определяет пару пересекающихся прямых. Действительно, если этому уравнению удовлетворяет какая-либо точка M(x, y), то она удовлетворяет одному из уравнений или , или обоим этим уравнениям.

3.8. ЗАДАЧИ

1. Написать каноническое уравнение эллипса и построить его:

а) , ; б) , ;

в) , расстояние между директрисами равно 5.

2. Установить, что уравнение определяет эллипс (или окружность); найти его центр, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис; изобразить эллипс на координатной плоскости:

а) ; б) .

3. Составить уравнение окружности, изобразить ее на координатной плоскости , если:

а) центр окружности находится в точке С(2;-3) и радиус равен 7;

б) окружность проходит через точку А(2;6), а ее центр находится в точке С(-1;2);

в) окружность проходит через три точки А(1;1), В(1;-1), D(2;0).

4. Написать каноническое уравнение гиперболы и построить ее:

а) , ; б) , ;

в) , расстояние между директрисами равно .

5. Установить, что уравнение определяет гиперболу; найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис и асимптот; изобразить гиперболу на координатной плоскости: .

6. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если:

а) парабола расположена в левой полуплоскости, симметрична относительно оси и имеет параметр ;

б) фокус параболы находится в точке , а осью симметрии является ось .

7. Установить, что уравнение определяет параболу, найти ее параметр, координаты вершины, уравнение директрисы; построить график:

а) ; б) .

8. Дан эллипс . Найти гиперболу, у которой фокусы совпадают с фокусами эллипса и эксцентриситет равен 1.25.

Домашнее задание.

9. Написать каноническое уравнение эллипса и построить его, если , расстояние между директрисами равно 32.

10. Составить уравнение окружности, изобразить ее на координатной плоскости , если точки А(3;2) и В(-1;6) являются концами одного из диаметров окружности.

11. Написать каноническое уравнение гиперболы и построить ее, если , уравнения асимптот .

12. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если парабола расположена симметрично относительно оси и проходит через точку М(4;-8).

13. Установить, какую кривую определяет уравнение. Для эллипса и гиперболы найти центр, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис и асимптот (для гиперболы); для параболы найти ее параметр, координаты вершины, уравнение директрисы. изобразить кривую на координатной плоскости:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Ответы. 1. а) ; б) ; в) .

2. а) эллипс: , С(3;-1), , , , , ; б) окружность: , С(2;-3), .

3. а) ; б) ; в) .

4. а) ; б) ; в) .

5. , С(2;-3), , , ,

, , , .

6. а) ; б) . 7. а) , , А(1;3),

; б) , , А(1;2), . 8. .

9. . 10. . 11. . 12. .

13. а) парабола: , , А(6;-1), ; б) эллипс:

, С(-1;2), , , , ,

; в) гипербола: , С(-5;1), , ,

, , , , ;

г) окружность: , С(4;0), .