Методические рекомендации к дисциплине Б3.Б.1 математический анализ (стр. 6 )

9. Найти производную функции в точке по направлению нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси .

10. На параболе найти точку наименее удаленную от прямой .

ВАРИАНТ № 4

1. Найти области определения следующих функций

а) ; б) .

2.

3. . Найти двумя способами .

4. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке:

.

5. (двумя способами).

6. Исследовать функцию на экстремум .

7. Найти и функции в области .

8. Найти условные экстремумы функции при .

9. Найти производную функции в точке по направлению нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси .

10. На гиперболе найти точку наименее удаленную от прямой .

ВАРИАНТ № 5

1. Найти области определения следующих функций

а) ; б) .

2.

3. . Найти двумя способами .

4. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке:

.

5. (двумя способами).

6. Исследовать функцию на экстремум .

7. Найти и функции в области .

8. Найти условные экстремумы функции при .

9. Найти производную функции в точке по направлению нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси .

10. На эллипсе найти точку наименее удаленную от прямой .

Контрольная работа по теме «Числовые ряды»

ВАРИАНТ № 1

1. Найти сумму ряда

2. Исследовать ряд на сходимость

а) б) в)

г) , д)

3. Исследовать ряд на абсолютную (условную) сходимость

4. Проверить, что данный ряд сходится и вычислить приближенное значение его суммы с точностью до 0,01:

ВАРИАНТ № 2

1. Найти сумму ряда

2. Исследовать ряд на сходимость

а) б) в) г)

д)

3. Исследовать ряд на абсолютную (условную) сходимость

4. Проверить, что данный ряд сходится и вычислить приближенное значение его суммы с точностью до 0,01:

ВАРИАНТ № 3

1. Найти сумму ряда

2. Исследовать ряд на сходимость

а) б) в) г)

д)

3. Исследовать ряд на абсолютную (условную) сходимость

4. Проверить, что данный ряд сходится и вычислить приближенное значение его суммы с точностью до 0,01:

ВАРИАНТ № 4

1. Найти сумму ряда

2. Исследовать ряд на сходимость

а) б) в) г) , д)

3. Исследовать ряд на абсолютную (условную) сходимость

4. Проверить, что данный ряд сходится и вычислить приближенное значение его суммы с точностью до 0,01:

ВАРИАНТ № 5

1. Найти сумму ряда

2. Исследовать ряд на сходимость

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

3. Исследовать ряд на абсолютную (условную) сходимость .

4. Проверить, что данный ряд сходится и вычислить приближенное значение его суммы с точностью до 0,001: .

Контрольная работа по теме «Функциональные ряды»

ВАРИАНТ № 1

1. Найти и область сходимости ряда .

2. Найти область сходимости функционального ряда .

3. Найти радиус, интервал и область сходимости степенного ряда:

а) б)

4. Вычислив значения производных , написать отличных от нуля членов разложения функции в степенной ряд с центром в точке : .

5. Разложить функцию в степенной ряд по степеням (до включительно), используя известные разложения элементарных функций в степенные ряды:

6. Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке:

.

7. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью , воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции: .

8. Найти разложение в степенной ряд по степеням решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения):

.

9 . Методом последовательного дифференцирования найти первые членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях:

.

ВАРИАНТ № 2

1. Найти и область сходимости ряда .

2. Найти область сходимости функционального ряда .

3. Найти радиус, интервал и область сходимости степенного ряда:

а) б)

4. Вычислив значения производных , написать отличных от нуля членов разложения функции в степенной ряд с центром в точке : .

5. Разложить функцию в степенной ряд по степеням (до включительно), используя известные разложения элементарных функций в степенные ряды:

6. Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке:

, .

7. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью , воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции: .

8. Найти разложение в степенной ряд по степеням решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения):

.

9. Методом последовательного дифференцирования найти первые членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях:

.

ВАРИАНТ № 3

1. Найти и область сходимости ряда .

2. Найти область сходимости функционального ряда

3. Найти радиус, интервал и область сходимости степенного ряда:

а) б)

4. Вычислив значения производных , написать отличных от нуля членов разложения функции в степенной ряд с центром в точке : .

5. Разложить функцию в степенной ряд по степеням (до включительно), используя известные разложения элементарных функций в степенные ряды:

6. Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке:

.

7. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью , воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции: .

8. Найти разложение в степенной ряд по степеням решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения):

.

9. Методом последовательного дифференцирования найти первые членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях:

.

ВАРИАНТ № 4

1. Найти и область сходимости ряда .

2. Найти область сходимости функционального ряда .

3. Найти радиус, интервал и область сходимости степенного ряда:

а) б)

4. Вычислив значения производных , написать отличных от нуля членов разложения функции в степенной ряд с центром в точке : .

5. Разложить функцию в степенной ряд по степеням (до включительно), используя известные разложения элементарных функций в степенные ряды:

6. Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке:

.

7. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью , воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции: .

8. Найти разложение в степенной ряд по степеням решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения):

.

9. Методом последовательного дифференцирования найти первые членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях:

.

ВАРИАНТ № 5

1. Найти и область сходимости ряда .

2. Найти область сходимости функционального ряда .

3. Найти радиус, интервал и область сходимости степенного ряда:

а) б)

4. Вычислив значения производных , написать отличных от нуля членов разложения функции в степенной ряд с центром в точке : .

5. Разложить функцию в степенной ряд по степеням (до включительно), используя известные разложения элементарных функций в степенные ряды:

6. Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке:

.

7. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью , воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции: .

8. Найти разложение в степенной ряд по степеням решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения):

.

9. Методом последовательного дифференцирования найти первые членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях: .

Контрольная работа по теме «Ряды и интеграл Фурье»

ВАРИАНТ № 1

1. Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье на указанном отрезке: на .

2. Найти синус-преобразование Фурье функции .

ВАРИАНТ № 2

1. Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье на указанном отрезке: на .

2. Найти косинус-преобразование Фурье функции .

ВАРИАНТ № 3

1. Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье на указанном отрезке: на .

2. Найти синус-преобразование Фурье функции .

Контрольная работа по теме «Кратные интегралы»

ВАРИАНТ № 1

1. Изменить порядок интегрирования: .

2. Вычислить: , где

3. Вычислить интеграл с помощью полярных координат:

4. Вычислить:

5. Вычислить интеграл, используя сферические или цилиндрические координаты:

6. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж.

7. Найти координаты центра масс тела с плотностью :

.

ВАРИАНТ № 2

1. Изменить порядок интегрирования: .

2. Вычислить: , где

3. Вычислить интеграл с помощью полярных координат:

4. Вычислить:

5. Вычислить интеграл, используя сферические или цилиндрические координаты:

6. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж.

7. Найти координаты центра масс тела с плотностью :

ВАРИАНТ № 3

1. Изменить порядок интегрирования: .

2. Вычислить: , где

3. Вычислить интеграл с помощью полярных координат:

4. Вычислить:

5. Вычислить интеграл, используя сферические или цилиндрические координаты:

6. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж.

7. Найти координаты центра масс тела с плотностью :

ВАРИАНТ № 4

1. Изменить порядок интегрирования: .

2. Вычислить: , где

3. Вычислить интеграл с помощью полярных координат:

4. Вычислить:

5. Вычислить интеграл, используя сферические или цилиндрические координаты:

6. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж.

7. Найти моменты инерции относительно координатных осей однородного (=1) тела:

ВАРИАНТ № 5

1. Изменить порядок интегрирования: .

2. Вычислить: , где

3. Вычислить интеграл с помощью полярных координат:

4. Вычислить:

5. Вычислить интеграл, используя сферические или цилиндрические координаты:

6. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж.

7. Найти моменты инерции относительно координатных осей однородного (=1) тела:

15. Содержательный компонент теоретического материала

1 семестр

Введение в анализ

1. Виды отображений. Числовые множества

Множества и основные операции над ними.

Отображения множеств и их виды.

Вещественные числа. Простейшее назначение вещественных чисел. Доказательство того, что диагональ единичного квадрата не может быть измерена рациональным числом. Свойства вещественных чисел.

Целая и дробная части числа. Абсолютная величина числа. Представление вещественных чисел в виде бесконечной десятичной дроби.

Определения ограниченного сверху (снизу) множества, ограниченного множества. Верхняя (нижняя) грань множества. Точная верхняя (нижняя) множества. Свойства точных верхней и нижней граней множества.

Свойство полноты множества вещественных чисел (формулировка и доказательство).

Леммы об отделимости множеств, о системе вложенных отрезков и последовательности стягивающихся отрезков.

Мощность множества. Определение счетного множества. Счетность множества рациональных чисел.

Мощность множества. Теорема о совокупности всех подмножеств любого множества. Замечание о множестве подмножеств конечного множества. Определение несчетного множества и множества мощности континуум. Утверждение о мощности множества точек отрезка . Канторов диагональный процесс. Определение бесконечного множества. Мощность множества вещественных чисел.

2. Числовые последовательности

Неравенство Бернулли. Числовые последовательности (Определение последовательности, примеры, операции над числовыми последовательностями, ограниченные сверху (снизу), ограниченные последовательности, определения бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей, примеры).

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей (теоремы 1-5 и следствия из них), доказательства того, что и - бесконечно малые последовательности при .

Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.

Предельный переход в неравенствах. Примеры: , .