Нестандартные задачи (По материалам газеты «Математика» №38, 39, 1996 года) (стр. 2 )

► 2.1. Утверждение неверно, например, 0,5 + (- 0,5)2 < 0.

2.2. Брат выходит раньше на 5 мин и проходит за это время часть пути до школы; за каждую минуту я прохожу часть пути, брат часть пути, следовательно, я догоняю брата за часть пути в минуту. Таким образом, я догоню брата через мин.

2.3.Равенство получиться не может, так как наибольшее возможное произведение двузначных чисел 99∙99 < 100∙100 <

2.4.Так как кувшин уравновешивает графин и чашку (далее «=»), то 2 кувшина = 2 графина + 2 чашки;

3 чашки = 4 стакана + 2 чашки; 4 стакана = 1 чашка. Следовательно, уравновесят графин 5 стаканов.

2.5.Ответ:

►3.1. Пассажир проспал второй половины пути, т. Е. всего пути.

3.2. В зашифрованном слове могут встретиться только 2, 22, 21, 1, 11 и 12-я буквы алфавита, т. Е. 6, ф, у, а, й, к. Перебором находим, что это слово фуфайка.

3.3. Пусть нам удалось разбить 173 числа, каждое из которых равно 1 или – 1, на две группы так, что суммы чисел в группах равны. В этом случае сумма всех 173 чисел должна быть числом четным, что невозможно, так как сумма (алгебраическая) 173 нечетных чисел нечетна.

3.4. Решаем «с конца»: 30 страниц – это 0,25 последнего остатка, следовательно, он равен 120; прибавив 20, получаем, что 140 – это 0,7 первого остатка, значит, первый остаток – 200 страниц; прибавив 16, получаем, что 216 – это 0,8 всей книги. Таким образом, в книге 270 страниц.

3.5. К каждой грани кубика примыкают 8 × 8 = 64 кубика, окрашенных только с одной стороны (см. рисунок). Граней 6, следовательно, с одной стороны окрашено 384 кубика. Рассуждая аналогично, получаем, что с двух сторон окрашено 96 кубиков.

► 4.1. Ответ. Сумма чисел 19, 25 и 6 равна 50.

4.2.Требуется проезжать километр на минуту быстрее, т. Е. в рассматриваемом случае за 0 мин (при скорости 60 км/ч машина проезжает километр ровно за 1 мин), что невозможно.

		X

4.3. Первый игрок выигрывает при ходе:

4.4. Каждый игрок сыграл 6 партий, т. Е. всего сыграно 6 ·7 = 42 партии. При этом мы каждую партию считали дважды (в партии участвуют два игрока!), поэтому в турнире была сыграна 42 : 2 = 21 партия.

Эту задачу можно решить также с помощью таблицы:

	Участники	1	2	3	4	5	6	7
1	Иванов	хххх		1
2	Свирин		хххх
3	Шершнев	0		хххх	1/2
4	Судо				хххх
5	Макаров					хххх
6	Романов						хххх
7	Новиков							хххх

Из анализа таблицы ясно, что общее число сыгранных партий равно 7 + 6 + 5 + … + 1 (количество клеток, расположенных выше диагонали).

4.5. Пусть шахматную доску 8x8 удалось разрезать на п прямоугольников размером 3x1; тогда сумма площадей всех многоугольников равна Зn = 64, что неверно, так как n – целое число.

► 5.1. Из условия следует, что за книгу осталось заплатить 5 000 руб. а книга стоитруб.

5.2.Дядя мог сказать и так: «Если к половине моих лет прибавить не 7, а 20, то узнаешь мой возраст не 13 лет тому назад, а сейчас». Следовательно, половина возраста дяди 20 лет. Отсюда следует, что возраст дяди 40 лет.

5.3.Последняя цифра двузначного числа не изменилась при умножении на 9, это цифра 5. Сумма цифр трехзначного числа равна сумме цифр двузначного, следовательно, двузначное число также делится на 9. Первоначальное число 45.

5.4.Запишем сумму S = 1 + 2 + … + 871 так: S = 871 + 870 + … + 2 + 1. Сложив эти равенства получим

2S = (1 + 871) + (2 + 870) + ... + (436 + 436). Откуда 2S = 872 • 871; S = Полезно напомнить о задаче 4.4.)

5.5. (Сделайте рисунок) Сумма длин всех палочек равна 50; у квадрата 4 равные стороны, поэтому число, выражающее периметр квадрата, должно делиться на 4. Число 50 на 4 не делится, следовательно, квадрат из предложенных палочек сложить нельзя.

► 6.1. Пусть множимое x, а множитель y; тогда новое множимое 1,1x, а 0,9y – новый множитель. Новое произведение равно 0,99xy следовательно, произведение уменьшилось на 1%.

6.2.  Когда А пробежал 100 м, Б отставал от него на 10 м, т. Е. пробежал 90 м. Следовательно, его скорость составляет 0,9 скорости А. Скорость В также составляет 0,9 скорости Б; следовательно, скорость В составляет 0,81 скорости А, и когда А финишировал, В пробежал 81 м и отставал от А на 19 м.

6.3. Пусть а – количество учеников в классе. Первоначально число отсутствующих составляло часть от а. После того, как из класса вышел один ученик, число отсутствующих составило часть от а. Поэтому один ученик соответствует часть от а. Следовательно, в классе 42 ученика.

6.4. (Задача аналогична задаче 2.4.) Арбуз = дыня + свекла; дыня = кочан капусты + свекла; следовательно, арбуз = кочан капусты + 2 свеклы, а 2 арбуза = 2 кочана капусты + 4 свеклы. Но 2 арбуза = 3 кочана капусты, значит, 3 кочана капусты = 2 кочана капусты + 4 свеклы, а кочан капусты = 4 свеклы. Таким образом, дыня = 5 свеклам.

6.5. Например, так:

► 7.1. Если x – начальная цена товара, то после первого снижения она станет равной 0,9x, а после второго 0,81x. Если цену сразу снизить на 20%, то она составит 0,8x.

Ответ. Товар не стал бы дешевле.

7.2.Пропажа замечена через 15 мин, следовательно, гребец догонит шляпу через 15 мин. Таким образом, за 30 мин шляпа проплыла 1 км, а скорость течения реки 2 км/ч. (Почему гребец догонит шляпу через 15 мин? Представим себе, что дело происходит в поезде и шляпа оставлена на полке вагона… Заметим, что не важно, плыл ли гребец по течению или против течения.)

7.3.Это можно достигнуть за 3 взвешивания. Если при I взвешивании (см. таблицу) имеет место равновесие, то фальшивая монета находится среди монет, оставшихся на столе; в противном случае – среди тех монет, общий вес которых меньше. Теперь надо найти фальшивую монету из восьми (или даже семи) имеющихся. Добавим еще одну (или две) монеты, чтобы всего стало 9 монет (взвешивание II).

Если наблюдается равновесие, то фальшивая монета среди монет, оставшихся на столе; если равновесия нет, то среди тех монет, общий вес которых меньше. Теперь мы должны найти фальшивую монету уже из трех монет (взвешивание III).

Если теперь имеет место равновесие, то фальшивая монета на столе, если же нет, то фальшивая монета на той чашке весов, которая легче.

Номер взвешивания	Количество монет на чашке весов	Количество монет на столе
левая	правая
I	8	8	7
II	3	3	3
Ш	1	1	1

7.4.Нет, так как по правилам игры в домино все «шестерки» (не считая дубля) в цепи расположены парами, если только они не с краю. Если «шестерка» расположена с краю, то одна шестерка остается без пары, а значит, она также должна быть с краю.

7.5.Если бы каждый из девятнадцати телефонов был соединен ровно с одиннадцатью, то соединений должно быть 19 ∙ 11 = 201. Но при такой системе подсчета мы каждое соединение считаем дважды, следовательно, их общее число должно быть четным. Таким образом, соединить девятнадцать телефонов так, чтобы каждый из них был соединен ровно с одиннадцатью, невозможно.

► 8.1. Все, кроме победителя, проиграли по одному бою и выбыли из соревнования. Для этого требуется 46 боев.

8.2.Яблонь в два раза больше вишен, следовательно, их 240, а вишен 120.

8.3.Если Боря занял второе место, то Коля (который по условию не мог занять ни первого, ни четвертого места) занял третье место; Вова занял не четвертое место, следовательно, первое, а Юре остается четвертое место.

8.4.Сумму цифрможно представить так: 2((1 + 8) + (2 + 7) + … + (4 + 5)) + 9, следовательно, она делится на 9. Поэтому числоделится на 9.

8.5.Площадь прямоугольника равна 36 кв см, следовательно, сторона квадрата должна быть равна 6 см.

Ответ:

Так разрежем! А так сложим!

► 9.1. Решение удобно записать в виде таблицы:

Грибов	Всего	Воды	Сухого вещества
Первоначально	100 кг	99%	1% - I кг
После сушки		98%	2% - 1 кг

Количество сухого вещества в грибах в процессе сушки не меняется. Поэтому, если до сушки 1 кг составлял их массы, то после сушки 1 кг будет составлять массы. Ответ. 50 кг.

9.2. Нельзя, так как сумма

1 + 2 + … + 11 + 12 = (13 х12) : 2 = 13 x 6 не делится на 4. (Вспомните решение задач 4.4 и 5.4.)

9.3. Число 135х оканчивается на 5; число 31y оканчивается на 1; число 56x+y оканчивается на 6, следовательно, сумма 135х + 31y + 56x+y оканчивается на 2.

9.4.  Володя самый маленький – ему 1 год. Только число 5 можно представить в виде суммы двух других (2 + 3), следовательно, Диме 5 лет, Андрею и Гене 2 и 3 соответственно, но неизвестно, кому именно сколько, a Боре. Может быть только 4 года.

9.5. (Вспомните решение задачи 1.5.) Каждая «кость» домино накрывает одно белое и одно черное поле шахматной доска. От шахматной доски отпилили два черных поля. Следовательно, белых полей осталось на два больше, чем черных, и покрыть доску «костями» домино нельзя.

► 10.1. (Сравните с задачей 9.2.) Можно, например, такую:

1	6	7	12
2	5	8	11
3	4	9	10

10.2.Инженер приехал на 20 мин раньше, так как машине не пришлось ехать до вокзала, а затем возвращаться на место встречи с инженером (10 мин туда и 10 мин обратно), т. Е. машине оставалось ехать до вокзала 10 мни, следовательно, встреча произошла в 7 ч 50 мин.

10.3.Если из первого мешка взять часть муки, то там останется первоначального количества, т. Е. 70 кг (муки в мешках стало поровну!), следовательно, - это 10 кг. Таким образом, в первом мешке первоначально было 80 кг, а во втором 60 кг.

10.4.Если в одном месяце три среды пришлись на четные числа, то первая среда это 2-е число, третья – 16-е, пятая – 30-е число (если, например, первая среда это 4, то пятая — 32-е). Второе воскресенье 13-е число.