Нестандартные задачи (По материалам газеты «Математика» №38, 39, 1996 года) (стр. 3 )

10.5.Длина, ширина и толщина куска мыла уменьшились вдвое, поэтому его объем уменьшился в 8 раз, т. Е. за 7 стирок кусок мыла уменьшился на своего объема, (за одну стирку на объема). Следовательно, оставшегося мыла хватит на одну стирку.

► 11.1. Ответ. 10, 8, 11, 9, 12, 10, 13, 11… .

Правило следующее: на нечетных местах ряда стоят последовательные натуральные числа, начиная с 10, а на четных — начиная с 8,

11.2.Пусть за 5 мин Лена пройдет расстояние s (км). Тогда в следующие 5 мин Юра пройдет путь 2s (км), а Лена еще s (км), т. Е. всего 2s (км). Следовательно, через 5 мин Юра догонит Лену,

11.3.Представим число 2100 в виде 2100 = (24)25 =1625, следовательно, оно оканчивается на 6.

11.4. Число 737 можно представить в виде 737 = 11 х 67, где 11 и 67 – простые числа. Скорее всего, 67 учеников двух шестых классов купили каждый по 11 учебников (случай, когда 11 шестиклассников купили по 67 учебников маловероятен).

11.5. Площадь прямоугольника равна 6x8 = 48 кв. см (клеток). Чтобы найти площадь треугольника, надо из площади прямоугольника вычесть площади трех прямоугольных треугольников. Их площади равны половинам площадей соответствующих прямоугольников, т. Е. площадь треугольников 1, 2 в 3 равна соответственно 12 кв. см, 6 кв. см и 8 кв. см. Площадь искомого треугольника равна

48 – (12 + 8 + 6) = 22 кв. см.

► 12.1. Решение удобно записать в виде таблицы:

	Всего	воды	сухого вещества
Трава	1000 кг	60%	40% - 400 кг
Сено	-	15%	85% - 400 кг

Далее имеем: 85% - это 400 кг, следовательно, 1% - это400:85 кг, а 100% - это400: 85x100, т. Е. сена получилось кг.

12.2. (Сравните с решениями задач 2.4 и 6.4) Запишем условие задачи в виде:

1) Коля + Вася + Юра + Саша + Сережа = 100 тетрадей;

2)Коля + Вася = 52 тетради;

3)Вася + Юра = 43 тетради;

4)Юра + Саша = 34 тетради;

5)Саша + Сережа = 30 тетрадей.

Решение:

1) Коля + Вася + Юра + Саша купили вместе 86 тетрадей, следовательно, Сережа куши 100 – 86 = 14 тетрадей;

2) Вася + Юра + Саша + Сережа купили вместе 73 тетради, следовательно, Коля купил 100 – 73 = 27 тетрадей;

9.  Саша + Сережа купили вместе 30 тетрадей, следовательно, Саша купил 30 – 14 = 16 тетрадей;

4)Коля + Вася купили вместе 52 тетради, следовательно, Вася купил 52 – 27 = 25 тетрадей.

5)Юра + Саша купили вместе 34 тетради, следовательно, Юра купил 34 – 16 = 18 тетрадей.

12.3. (Продолжение задач 4.4, 5.4 и 9.2.) Решение:

19 ·20 : 2 = 190, следовательно, в турнире играло 20 шахматистов.

12.4.(Продолжение задачи 9.3.) Число 3100 можно представить в виде 3100 = (34)25 = 8125, следовательно, оно оканчивается на 1.

12.5.В треугольнике длина любой стороны меньше суммы двух других его сторон, поэтому длина искомой стороны меньше 6 и не может быть равна 4 (так как неверно, что 4 + 1 > 5), следовательно, третья сторона треугольника равна 5. (При разборе задачи полезно было бы сформулировать неравенство треугольника.)

► 13.1. Запишем условие задачи в виде таблицы:

	Число пассажиров	Стоимость билета	Выручка, руб.
До снижения	x	18 000 р.	18 000x
После снижения	1,5x	?

Теперь найдем стоимость билета после снижения платы за проезд:х : 1,5x =руб.

13.2. (Сравните с решением задачи 2.2) Когда теплоход идет от Нижнего Новгорода до Астрахани (по течению реки), за сутки он проходит часть пути, а когда обратно - часть пути. Поэтому - «две скорости течения», откуда часть пути в сутки — скорость течения реки. Следовательно, плоты будут плыть от Нижнего Новгорода до Астрахани 35 суток.

13.3. В первый день Юра прочитал книги, во второй – треть оставшейся половины, т. Е. всей книги, следовательно, за два дня он прочитал книги, а за третий день еще ее часть. Таким образом, всего он прочитал , т. Е. всю книгу.

13.4.Алеша не может ездить ни на автобусе, ни на троллейбусе, следовательно, он ездит на трамвае. Боря не ездит на троллейбусе, значит, он ездит на автобусе. Таким образом, Витя ездит на троллейбусе.

13.5.Запишем условие задачи в виде таблицы:

	Мне	Вам
Сейчас	2x	y
Тогда	y	x

Решение. Имеем 2х – у = у – х, следовательно. 3x = 2у; с другой стороны, у = 35 – 2х, откуда 3x = 2(35 – 2х) и x = 10. Итак, мне – 20 лет, а Вам – 15.

► 14.1. 1) Сумма всех чисел положительна, поэтому среди них есть хотя бы одно положительное число. 2) По условию, остальные 2 000 чисел можно разбить на группы по четыре числа так, чтобы сумма чисел в каждой из них была положительна. Следовательно, искомая сумма положительна.

14.2. Заметим, что на ходьбу велосипедист затратил в 2 раза больше времени, чем на езду на велосипеде, но при этом прошел в 2 раза меньшее расстояние. Составим таблицу:

Способ передвижения	Скорость	Время	Путь
Пешком	v	2t	2vt=s
На велосипеде	?	t	2s = 4vt

Находим скорость езды на велосипеде. Она равна 2s : t = 4v, т. Е. эта скорость в 4 раза больше, чем скорость ходьбы.

14.3. Решение понятно из таблицы:

Левая чашка весов	Правая чашка весов
Груз 13 г	Гири 1 г + 3 г +9г
Груз 31 г	Гири 27 г + 3 г + 1 г
Груз 19 г + гиря 9 г	Гири 1 г + 27 г
Груз 23 г + гиря 1 г + 3 г	Гиря 27 г

14.4. Число делится на 11 (так как 1001 = 11 х 91). Числа - же и на 11 не делятся. Следовательно, ученик ошибся.

14.5. Пусть х – количество шахматистов, которые являются музыкантами; тогда музыкантов 7х, а шахматистов 9x:, Следовательно, шахматистов больше.

►15.1. Решение запишем в виде таблицы:

	Длина	Ширина	Площадь
Первоначальная	x	y	x ∙ y
Окончательная	1,35x	0,86y	1,161x ∙ y

Из таблицы следует, что площадь увеличилась на 16,1%.

15.2.Число 109! Делится на 9, следовательно, сумма его цифр также делится на 9 и т. Д. Однозначное число, которое получится в конце процесса, должно делиться на 9, это число 9.

15.3.(Задача, аналогичная задаче 10.4.) Ответ: Воскресенье.

15.4.Преступником не может быть Джонс, так как иначе правдивые и ложные высказывания распределились бы так:

Браун: 1. Я не совершал преступления (правда). 2. Джонс тоже (ложь).

Джонс: 1. Это не Браун (правда). 2. Это Смит (ложь).

Это противоречит условию. Не может преступником быть и Смит, иначе дело обстояло бы так:

Браун: 1. Я не совершал преступления (правда). 2. Джонс тоже (правда).

Джонс: 1. Это не Браун (правда). 2. Это Смит (правда).

Это также противоречит условию.

Остается единственный вариант: преступник — Браун.

Браун: 1. Я не совершал преступления (ложь). 2. Джонс тоже (правда).

Джонс: 1. Это не Браун (ложь). 2. Это Смит (ложь).

Смит: 1. Преступник Браун (правда). 2. Это не я (правда).

15.5. (Сделайте рисунок!) Минутная стрелка от 9.00 до 9.16 прошла 15 делений, что соответствует части круга, т. Е. 90°. Часовая стрелка за это же время прошла четверть часа, т. Е. часть круга или 7°30'. Таким образом, угол между стрелками равен 82°30'.

► 16.1. (Сравните с задачей 5.1.) Человек, стоящий после того человека, который стоял перед Вами, - это Вы сами, следовательно, человек, стоящий в очереди перед Вами, выше Вас.

16.2. Число учеников в классе должно делиться на 7, 2 и 3, а так как эти числа попарно взаимно простые, то и на 42 — их произведение, но лишь одно такое число меньше 50 – это 42; находим , и от 42, складываем, в результате получаем 41, значит, только один ученик получил оценку «2».

16.3. (Сделайте рисунок!) Общее расстояние, которое проехали оба велосипедиста до первой встречи, равно АВ, до второй встречи – 3АB, поэтому от начала движения до второй встречи прошло в три раза больше времени, чем до первой. Велосипедист, который первоначально ехал из пункта А, проехал до первой встречи 70 км, следовательно, до второй встречи он проехал 210 км, причем из пункта В он проехал 90 км. Следовательно, расстояние от А до В равно АВ = 210 – 90 = 120 (км).

16.4.Число 111…единиц) делится на 111, а 111 = 37·11, следовательно, 111…111 делится на 37.

16.5. (Вспомните решение задачи 8.5.)

Так разрежем: А так сложим:

► 17.1. Папа в 3 раза старше Вани, который, в свою очередь, в 3 раза старше Сережи, следовательно, папа в 9 раз старше Сережи. Таким образом, папа старше Сережи на 8 возрастов Сережи, что составляет 40 лет. Отсюда получим возраст Сережи: 40 : 8 = 5 (лет). Ваня втрое старше Сережи, значит, ему 15 лет.

17.2. (Решение аналогично решению задачи 12.2.) Запишем условие задачи в виде

I склад + II склад = 400 т;

II склад + III склад = 300 т;

I склад + III склад = 440 т.

«Сложив» эти условия, получим, что удвоенная сумма грузов на трех складах равна 1140 т, а сумма -570 т. Отсюда получаем, что на III складе было 570 – 440 = 170 (т груза), на II складе 570 – 440 -= 130 (т) и на I складе 570 – 300 = 270 (т).

17.3. Решение удобно записать в виде следующей таблицы, в которой отражены положения каждой из мух в различные моменты.

Положение	Пояснения
первой	второй
пути вниз	на полу	Так как скорость второй мухи при спуске в 2 раза больше
на полу пути вверх	пути вверх пути вверх	Так как скорость первой мухи в 2 раза больше, чем скорость второй мухи при подъеме

Мухи оказались на одном расстоянии до «финиша», причем скорость мухи I больше, чем скорость мухи II, поэтому муха I вернется раньше.

17.4.Предположим, что нельзя найти 9 ящиков с яблоками одного сорта. Отсюда следует, что имеется не более восьми ящиков яблок I сорта, не более восьми ящиков яблок II и III сортов (каждого), т. Е. всего не более 24 ящиков. Но имеется 25 ящиков, следовательно, исходное предположение неверно и можно найти 9 ящиков с яблоками одного сорта.

17.5.Если оба простых числа нечетные, то их сумма и разность будут четными, а одно из двух четных чисел обязательно составное (так как 2 – единственное простое четное число). Поэтому одно из двух простых чисел четное, а значит, равно 2. Пусть второе число равно р; тогда простыми должны быть также числа р – 2, p и р + 2, но из трех подряд идущих нечетных чисел одно должно делиться на 3. В данном случае числа р-2, р и р + 2 простые, поэтому одно из них равно 3. Проверка показывает, что р – 2 = 3; р = 5; р + 2 = 7. Ответ: 2 и 5.

► 18.1. Если первая цифра искомого числа 5, то либо вторая цифра 4, либо третья 2 (так как требуется совпадение разряда со вторым числом). И то и другое приводит к противоречию: совпадение либо с первым, либо с третьим будет в двух разрядах, следовательно, первая цифра не 5. Рассуждая аналогично, убеждаемся, что вторая цифра искомого числа не 4, а третья не 2. Остается единственная возможность: искомое число 163.

18.2. Пусть k – число кавалеров, тогда число танцевавших пар 3k, так как каждый кавалер танцевал с тремя дамами. Если число дам т, то число пар 3т. Понятно, что 3k = 3т, откуда k = т.

18.3. (Сравните с задачей 17.4.) Пусть в каждом из 33 классов школы меньше 35 учеников; тогда всего в школе не более, чем 34x33 = 1122 (ученика), что противоречит условию (в школе 1150 учеников). Следовательно, в школе найдется класс, в котором не менее 33 учеников.

18.4. Пусть только один дом имеет не более 5 этажей, а всего домов n. Тогда имеем , откуда и . Ответ: наименьшее возможное количество домов в районе 17.

18.5. (Сравните с задачей 12.5.) Стороны треугольника могут принимать только значения 1 и 2 см; кроме того не существует треугольник со сторонами 1, 1 и 2 см (так как 2 = 1 + 1), т. Е. не выполняется известное неравенство); все остальные случаи возможны. Ответ: 1) 1, 2 и 2 см; 2) 1, 2 и 2 см; 3) 1, 1 и 1 см.

► 19.1. Пусть произведение двух натуральных чисел больше 36; тогда одно из них больше 6 (так как если оба множителя не больше 6, то их произведение не больше 36). Если одно слагаемое больше 6, то оно может быть равно 7, 8, 9, 10 или 11; тогда другое слагаемое соответственно не больше 5, 4, 3, 2, или 1. В каждом из этих случаев произведение не больше 35, 32, 27, 20 или 11. Это противоречит сделанному предположению. Следовательно, оно неверно и верно то, что требовалось доказать.

19.2. Решение. Первое взвешивание:

Количество монет
на левой чашке весов	на правой чашке весов	на столе
25	25	25

Если весы находятся в равновесии, то среди монет на весах нет фальшивой – все они настоящие. Вторым взвешиванием сравним вес 25 настоящих монет с весом 25 монет, не участвовавших в первом взвешивании (фальшивая монета находится среди них) и узнаем, легче фальшивая монета или тяжелее.

1) Если одна из чашек перевесила, то все 25 монет, лежащих на столе, - настоящие. Сравним их массу с более легкой кучкой. Если имеет место равновесие, то фальшивая монета более тяжелая, если нет, - то более легкая.

19.3. Пусть s (км) – длина первого участка пути. Запишем условие задачи в виде таблицы:

	Путь, км	Скорость, км/ч	Время, ч
1)	S	180
2)	s – 320	250
3)	АВ = 2s – 320	200

Составим уравнение: Решая это уравнение, находим s = 720 (км), откуда расстояние АВ равно 1120 (км).