Нестандартные задачи (По материалам газеты «Математика» №38, 39, 1996 года) (стр. 4 )

19.4. Правду сказал только один из мальчиков, поэтому это либо Виктор, либо Сергей (их высказывания противоречат друг другу и не могут быть одновременно ни правдой, ни ложью), следовательно, все остальные лгут. Юрий твердил, что это сделал не он. Если это ложь, то виновен Юрий.

19.5. Разобьем числа от 11 до 90 на 20 групп, как показано в таблице:

11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	38	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90

Заметим, что в каждой из групп – 4 четных и 4 нечетных цифры. Следовательно, среди этих чисел четных и нечетных цифр поровну.

Среди оставшихся чисел все четные и нечетные цифры легко расположить парами, за исключением девяток, которым пар не находится:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
91	92	93	94	95	96	97	98	99

Таким образом, для записи всех натуральных чи­сел от 1 до 99 нечетных цифр использовано больше.

► 20.1. Им осталось идти пути – это на больше, чем они прошли, следовательно пути составляет 12 км, и весь путь равен 36 км.

20.2. (Продолжение задач 9.3, 12.4.) Число 7777 + 1 = (74)194 ∙ 73 + 1 = 2401194 ∙ 343 + 1 не делится на 5, так как оканчивается на 4.

20.3. Ход решения виден из таблицы:

Утверждение	Вывод (цифры указывают возраст)
Ане	Боре	Вере	Гале
Младшая в семье – девочка		8, 13 или 15
Аня старше Бори	13 или 15
Бели к 15 прибавить 13.8 или 5, то не получится число, которое делится на 3	13 лет
Аня старше Бори		8 лет
Сумма лет Ани и Веры делится на 3			5 лет
Для Гали – единственная возможность				15 лет

20.4. Для того чтобы достать не менее двух арбузов, нужно взять не менее 10 фруктов. Если взять фруктов меньше, то среди них могут оказаться все 8 дынь, и арбузов будет меньше, чем 2.

20.5. Пусть длина одной из сторон прямоугольника х, тогда длина другой стороны 80 – х. Если каждую сторону прямоугольника увеличить на 10 см, то площадь прямоугольника увеличится на сумму площадей двух полосок (см. рису нок):

площадь первой полоски равна 10(x + 10), площадь второй полоски 10(80 – х), откуда следует, что добавится 10(x + 10 + 80 – х) = 900 (см2).

► 21.1. (Вспомните задачу 5.4.) Пусть S = 1 + 5 + … + + 97 + 101; тогда S = 101 + 97 + … + 5 + 1.

Поэтому 2S = (1 + 101) + (5 + 97) + … + (97 + 5) + (101 + 1) = 102 ∙ 26, откуда S = 102 ∙ 13 = 1326.

21.2. Иногда удобно решать задачу, задавая вопросы:

Вопрос	Ответ
Какая часть общего количества учеников отсутствовала вчера?	часть
Какая часть общего количества учеников отсутствовала сегодня?	часть
На сколько больше?	на часть

Таким образом, часть общего количества учеников это 2 человека, т. Е. всего в классе 36 человек.

21.3. 3200 = (32)100 = 9100; 8100 = (23)100 = 2300, следовательно, 3200 > 2300.

21.4.(Вспомните задачу 12.3.) Каждая вершина многоугольника соединена диагоналями со всеми остальными вершинами, кроме двух соседних (с ними она соединена стороной). Таким образом, каждая диагональ тридцатичетырехугольника соединена диагоналями с 31 вершиной. Поэтому диагоналей у тридцатичетырехугольника 34 ·31 : 2 = 17 ·31 = 527.

21.5.Так как площадь квадрата 100 м2, то его сторона равна 10 м; тогда сторона клумбы равна 5 м, а ее площадь 25 м 2.

► 22.1. Решение:

10.Пусть х – количество кусков проволоки длиной 12 см; тогда разность 102 – 12х должна делиться на 5 (так как это число делится на 15). Следовательно, у числа, равного 102 – 12х, последняя цифра 0 (на 5 оно оканчиваться не может, так как делится на 2). Число 102 равное 12х оканчивается на 0 только в том случае, если х = 1 или х = 6 (так как х < 10), следовательно, возможны лишь два решения задачи:

1)1 кусок длиной 12 см и 6 кусков длиной 15 см и

2)6 кусков по 12 см и 2 куска по 15 см.

22.3.(Рассуждаем аналогично задаче 20.4.) Для того, чтобы наверняка достать не менее двух красных карандашей, нужно взять не менее 7 карандашей, а для того, чтобы наверняка достать не менее 3 синих, требуется взять не менее 10 карандашей. Таким образом, для того, чтобы наверняка достать не менее 2 красных и не менее 3 синих карандашей требуется взять не менее 10 карандашей.

22.4.Будем записывать в таблицу количество воды в сосудах после каждого переливания.

Сосуду	Количество воды
	шаг 0	шаг 1	шаг 2	шаг 3	шаг 4	шаг 5	шаг 6	шаг 7
I	2а	а		а		а		а
II	0	а		а		а		а
Что сделано	в I	во II	в I	во II	в I	во II	в I	и т. д.

Заметим, что после первого шага воды в сосудах поровну и также поровну после каждого нечетного шага. Докажем, что если на каком-нибудь нечетном шаге в сосудах одинаковое количество воды, то на следующем нечетном шаге в сосудах также будет одинаковое количество воды. Действительно, разделив воду в одном из сосудов на n частей и добавив одну часть воды в другой сосуд, мы в нем получим n + 1 частей (так как перед этим воды в сосудах было поровну). Следовательно, когда на следующем шаге мы из второго сосуда одну из частей возвращаем обратно в первый, то просто восстанавливается предыдущее состояние.