Рабочая программа по дисциплине «Математика» (стр. 2 )

№	Тема и содержание занятия	Кол-во часов
1 семестр – 51 час
1-3	Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы и длина вектора. Координаты центра масс. Скалярное произведение. Векторное произведение. Смешанное произведение векторов.	6
4	Уравнения линий на плоскости. Геометрическое место точек плоскости. Полярные и декартовые координаты на плоскости.	1
4-5	Различные формы уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.	2
5	Кривые 2-го порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения.	2
6	Определители, их свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Вычисление определителя разложением по строке. Правило Крамера.	2
7	Матрицы, действия с ними. Понятие обратной матрицы. Ранг матрицы.	2
8	Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Решение систем линейных уравнений с неизвестными. Однородные системы.	2
9	Комплексные числа. Различные формы записи комплексных чисел. Действия над комплексными числами.	2
10	Функции одной действительной переменной, основные понятия Построение графиков функций с помощью преобразований.	2
11	Числовые последовательности, их роль в вычислительных процессах. Предел числовой последовательности.	2
12-14	Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. Сравнение бесконечно малых. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.	6
15-16	Правила нахождения производной и дифференциала. Производная сложной и обратной функции. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Касательная и нормаль к графику функции. Приложение дифференциала к приближённым вычислениям.	4
17-19	Приложение производной к решению задач. Точки экстремума функции. Условия монотонности функции. Экстремумы функции. Необходимое условие. Достаточные условия. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты. Общая схема исследования функции и построения ее графика. Формула Тейлора. Правило Лопиталя.	6
20-21	Область определения функции нескольких переменных. Предел. Непрерывность. Частные производные. Полный дифференциал. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Применение полного дифференциала.	4
22	Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.	2
23-26	Экстремумы функций нескольких переменных. Метод наименьших квадратов. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.	6
	Итого за 1 семестр	51
2 семестр – 34 часа
1-4	Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Методы интегрирования.	8
5-7	Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов. Несобственные интегралы, их основные свойства	6
8-13	Вычисление двойных и тройных интегралов в декартовых координатах, двойных интегралов в полярных координатах и тройных - в цилиндрических и сферических координатах. Приложения кратных интегралов. Вычисление и приложения криволинейных и поверхностных интегралов 1-го рода	12
14	Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент скалярного поля.	2
15-16	Векторное поле. Дифференциальные операции теории поля: дивергенция, ротор, оператор Лапласа. Оператор Гамильтона, Поток, циркуляция. Линейный интеграл в векторном поле. Криволинейные интегралы 2-го рода. Работа векторного поля. Потенциальные векторные поля. Нахождение потенциала.	4
17	Интегральные теоремы теории поля: теоремы Остроградского, Грина, Стокса	2
	Итого за 2 семестр	34
3 семестр – 17 ч
1-2	Дифференциальные уравнения первого порядка (с разделенными и разделяющимися переменными однородные, линейные, уравнения в полных дифференциалах). Частное и общее решения.	3
2-3	Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.	2
3	Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Однородные линейные дифференциальные уравнения. Уравнения с правой частью специального вида.	2
4	Нормальная система дифференциальных уравнений. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения Метод исключения для решения нормальных систем. Простейшие численные методы. Системы линейных дифференциальных уравнений.	2
5-6	Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Действия с рядами. Методы исследования сходимости знакопостоянных и знакопеременных рядов.	4
7-8	Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Достаточные условия сходимости ряда Тейлора. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора. Ряд Маклорена как частный случай ряда Тейлора. Разложение функций в ряд Маклорена	4
	Итого за 3 семестр	17
4 семестр – 34 часа
1-2	Тригонометрические ряды. Ряд Фурье. Приближенные вычисления с помощью рядов. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Ряд Фурье в комплексной форме. Представление функции интегралом Фурье. Приложение рядов к решению задач.	4
3-7	Уравнения с частными производными, основные понятия и определения. Классификация линейных уравнений с частными производными 2-го порядка относительно функции двух переменных. Основные уравнения математической физики: уравнение малых поперечных колебаний струны, уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле, уравнение стационарной теплопроводности. Постановка задач математической физики, начальные и граничные условия. Понятие о корректности поставленной задачи.	10
8-12	Задача Штурма-Лиувилля. Метод Фурье решения начально-краевых задач для волнового уравнения и уравнения теплопроводности. Решение методом Фурье задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике и круговых областях.	10
13-17	Функционалы. Функциональные пространства. Сильный и слабый экстремум. Необходимое условие экстремума функционала. Уравнение Эйлера Задача о брахистохроне. Задача со свободными концами. Вариационная производная. Изопериметрические задачи. Задача Дидоны. Задача на условный экстремум. Геодезические кривые. Задача с подвижными концами. Условия трансверсальности. Некоторые приложения к задачам механики и ракетодинамики. Понятие о поле экстремалей. Уравнение Гамильтона-Якоби.	10
	Итого за 4 семестр	34
	ИТОГО	136

2.4 Самостоятельная работа студентов.

Самостоятельная работа студентов заключается в проработке лекционного материала, подготовке домашних заданий по каждой теме практического занятия и выполнению расчетно-графических работ. Кроме того, каждый студент готовит реферативный доклад по некоторым темам курса математики. На углубленное самостоятельное изучение выносятся следующие темы курса математики:

1.  Собственные векторы и собственные числа.

2.  Различные виды уравнений прямой в пространстве.

3.  Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

4.  Свойства функции непрерывных в сегменте.

5.  Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

6.  Производные высших порядков.

7.  Приложение формулы Тейлора в приближенных вычислениях.

8.  Приближенное нахождение корней уравнений.

9.  Универсальная тригонометрическая подстановка..

10.  Приближенное вычисление определенных интегралов.

11.  Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

12.  Элементы теории устойчивости.

13.  Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

14.  Механические приложения кратных интегралов.

15.  Разложение функции в степенной ряд и применение рядов.

16.  Разложение функций заданных на произвольном интервале в ряд Фурье.

2.5 Промежуточные формы контроля знаний, перечень и темы.

По данному курсу предполагается оценка знаний по каждой теме лекционных и практических занятий, а также по каждой форме самостоятельной работы.

2.6 Итоговый контроль знаний.

Итоговая форма контроля знаний по дисциплине «Математика» экзамен.

К экзамену допускаются студенты, успешно выполнившие задания практических занятий, а также задания, предусмотренные для самостоятельной работы.

Примерные вопросы к экзамену.

1 семестр

1.  Свойства определителей

2.  Вычисление определителей

3.  Матрицы, их виды и свойства

4.  Умножение матриц

5.  Действия над матрицами.

6.  Миноры и алгебраические дополнения

7.  Обратная матрица

8.  Ранг матрицы

9.  Собственные векторы матрицы

10.  Приведение матрицы к треугольному виду

11.  Виды систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и особенности их решения

12.  Теорема Кронекера-Капелли

13.  Метод Крамера решения СЛАУ

14.  Метод Гаусса решения СЛАУ

15.  Решение СЛАУ матричным методом

16.  Векторы и их виды. Примеры

17.  Линейные операции над векторами

18.  Проекция вектора на ось.

19.  Разложение вектора по трем некомпланарным векторам, по ортам координатных осей.

20.  Модуль вектора, направляющие косинусы.

21.  Действия над векторами, заданными проекциями.

22.  Скалярное произведение векторов, его свойства.

23.  Выражение скалярного произведения векторов через координаты.

24.  Векторное произведение векторов, его свойства.

25.  Смешанное произведение векторов. Его свойства. Вычисление.

26.  Линейно зависимые векторы

27.  Понятие базиса.

28.  Уравнение прямой в общем виде, с угловым коэффициентом

29.  Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

30.  Уравнение прямой в отрезках

31.  Уравнение прямой в векторной форме и в нормальном виде

32.  Угол между прямыми.

33.  Параметрические уравнения прямой

34.  Эллипс. Каноническое и параметрическое уравнение окружности и эллипса

35.  Парабола и гипербола, их определение, канонические уравнения.

36.  Поверхности второго порядка. Сущность исследования поверхностей второго порядка методом сечения.

37.  Различные виды уравнений плоскости в пространстве.

38.  Плоскость. Основные задачи.

39.  Различные виды уравнений прямой в пространстве.

40.  Цилиндрические поверхности.

41.  Поверхности вращения. Конические поверхности.

42.  Определения функции. Способы задания.

43.  Сложная функция. Обратная функция и ее график.

44.  Полярная система координат и ее связь с прямоугольной.

45.  Предел последовательности.

46.  Предел функции.

47.  Первый и второй замечательный пределы.

48.  Бесконечно малые и бесконечно большие величины и их свойства.

49.  Эквивалентные величины и их использование в теории пределов.

50.  Основные теоремы о пределах функции.

51.  Признаки существования пределов.

52.  Непрерывность функций.

53.  Горизонтальные, вертикальные и наклонные асимптоты функций, их уравнения.

54.  Механический и геометрический смысл производной.

55.  Таблица производных.

56.  Производные суммы, разности, произведения и частного функций.

57.  Производная сложной и обратной функции.

58.  Производные основных элементарных функций.

59.  Гиперболические функции и их производные.

60.  Дифференциал, его определение, геометрический смысл и применение в приближенных вычислениях.

61.  Логарифмическое дифференцирование.

62.  Теорема Лагранжа о конечных приращениях, ее геометрический смысл

63.  Уравнения касательной и нормали

64.  Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

65.  Теорема Ролля, Коши, Лагранжа

66.  Общая схема исследования функций.

67.  Раскрытие неопределенностей различных видов.

68.  Возрастание, убывание, максимум и минимум функции.

69.  Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

70.  Асимптоты графика функции.

71.  Формула Тейлора для многочлена и произвольной функции.

72.  Комплексные числа. Изображение. Действия над ними, в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.

73.  Возведение в степень и извлечение корня.

74.  Понятие и примеры функций нескольких переменных (ФНП).

75.  Область определения ФНП.

76.  Предел и непрерывность ФНП.

77.  Частное и полное приращения ФНП.

78.  Частные производные ФНП.

79.  Частные производные ФНП высших порядков.

80.  Дифференциал ФНП, применение его в приближенных вычислениях.

81.  Экстремумы ФПН.

82.  Порядок исследования функции двух переменных на экстремум.

83.  Алгоритм определения наименьшего и наибольшего значений ФПН в замкнутой области.

2 семестр

1.  Неопределенный интеграл, его свойства

2.  Интегрирование подстановкой

3.  Интегрирование по частям

4.  Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен

5.  Интегрирование рациональных дробей

6.  Интегрирование тригонометрических функций

7.  Интегрирование иррациональных функций.

8.  Понятие правильной рациональной дроби.

9.  Разложение правильной рациональной дроби на простейшие

10.  Интегрирование функций, содержащих тригонометрические выражения

11.  Свойства и геометрический смысл определенного интеграла

12.  Формула Ньютона-Лейбница

13.  Вычисление определенных интегралов, изменение пределов интегрирования при замене переменной

14.  Методы вычисления определенных интегралов по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона

15.  Несобственные интегралы первого и второго рода, их вычисление

16.  Правила оценки сходимости несобственных интегралов

17.  Вычисление площадей фигур в прямоугольных и полярных координатах. Другие приложения определенного интеграла

18.  Понятие, определение и свойства двойного интеграла

19.  Вычисление двойного интеграла, изменение порядка интегрирования

20.  Вычисление площадей и объемов с помощью двойного интеграла

21.  Двойной интеграл в полярных координатах

22.  Замена переменных в двойном интеграле

23.  Вычисление площади поверхности

24.  Плотность распределения вещества и двойной интеграл

25.  Тройной интеграл. Вычисление тройного интеграла

26.  Тройной интеграл в цилиндрических координатах

27.  Тройной интеграл в сферических координатах

28.  Замена переменных в тройном интеграле

29.  Криволинейный интеграл и его свойства

30.  Вычисление криволинейного интеграла

31.  Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования