Рабочая программа по дисциплине «Математика» (стр. 1 )

Амурский государственный университет

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

_________________________

личная подпись, И. О.Ф

«__» _____________ 200___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

по дисциплине «МАТЕМАТИКА»

для специальности: 160803.65 – «Стартовые и технические комплексы ракет и космических аппаратов»

Виды учебной работы	Распределение по семестрам
1	2	3	4
Общая трудоемкость дисциплины	146	112	78	384
Лекции	68	51	34	34
Практические занятия	51	34	17	34
Самостоятельная работа	27	27	27	316
Вид итогового контроля	экз	экз	экз	экз

Составитель

Факультет МиИ

Кафедра ОМиИ

2009 г.

Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования

Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры общей математики и информатики

« » 2009 г., протокол № .

Заведующий кафедрой

Рабочая программа одобрена на заседании УМС _______________________

__________________________________________________________________

«__» __________________ 200__г., протокол №___________

Председатель ______________________________________________________

СОГЛАСОВАНО СОГЛАСОВАНО

Начальник УМУ Председатель УМС факультета

__________________ ____________________

«__» ___________ 200__г. «__»_______________ 200 __г.

СОГЛАСОВАНО

Заведующий выпускающей кафедры

_____________________

«__» ________________200 __г.

1. Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе.

1.1.  Цели преподавания учебной дисциплины «Математика»

«Математика» является фундаментальной дисциплиной при подготовке инженеров всех специальностей, в том числе авиационного профиля.

Важнейшая задача этой дисциплины – достаточно строго в логической последовательности изложить основы классической математики, привить студентам навыки самостоятельной работы, начиная с первых дней обучения в институте, что служит основой дальнейшей исследовательской деятельности будущих специалистов.

Программа предназначена для подготовки специалистов по специальности «Стартовые и технические комплексы ракет и космических аппаратов». Это накладывает на нее определенные особенности, заключающиеся в том, что выпускник должен получить высшее образование, способствующее дальнейшему развитию личности.

Математическое образование следует рассматривать как важную составляющую подготовки специалиста. Обусловлено это тем, что математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры.

Основными целями курса «Математика» являются:

-  подготовка студента к восприятию математического аппарата специальных дисциплин, чтению специальной литературы;

-  обучение основным математическим методам, необходимым для анализа и решения физико-математических задач, соответствующих его будущей специальности;

-  формирование математическое образование студента таким образом, чтобы в дальнейшем он мог творчески развивать известные методы применительно к задачам своей специальности;

-  формирование логического мышления, способности к абстрагированию, и умения «работать» с «неосязаемыми» объектами.

1.2. Задачи изучения дисциплины.

-  на примерах математических понятий и методов продемонстрировать сущность научного подхода, специфику математики, ее роль в развитии других наук;

-  научить студентов приемам исследования и решения, математически формализованных задач;

-  выработать умения анализировать полученные результаты, привить навыки самостоятельного изучения литературы по математике.

1.3. Перечень учебных дисциплин с указанием разделов, усвоение которых необходимо для изучения осознания учебных тем, вопросов курса «Математика»

·  основные понятия школьного курса алгебры и начал математического анализа, аксиомы геометрии;

·  математические модели простейших систем и процессов в естествознании;

·  математическую символику для выражения количественных и качественных отношений объектов.

1.4.  После изучения дисциплины студент должен знать и уметь использовать:

-  основные понятия и методы математического анализа, аналитической геометрии, дискретной математики и теории множеств, теории рядов, функционального анализа, векторной алгебры, линейной алгебры, теории функции комплексного переменного, операционного исчисления;

иметь опыт

-  обработки экспериментальных данных;

-  аналитического и численного решения алгебраических и дифференциальных уравнений и систем;

-  исследования функций одной и нескольких действительных и комплексных переменных.

2. Содержание дисциплины.

2.1. Федеральный компонент. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования (ГОС ВПО) математических и естественнонаучных дисциплин содержит следующие разделы: основные алгебраические структуры, векторные пространства и линейные отображения, булевы алгебры; аналитическая геометрия, многомерная евклидова геометрия, дифференциальная геометрия кривых и поверхностей, элементы топологий; логические исчисления, графы, теория алгоритмов, языки и грамматики, автоматы, комбинаторика; дифференциальное и интегральное исчисления, элементы теории функции и функционального анализа, теория функций комплексного переменного, дифференциальные уравнения; элементарная теория вероятностей, математические основы теории вероятностей, модели случайных процессов, проверка гипотез, принцип максимального подобия, статистические методы обработки экспериментальных данных.

2.2. Объем дисциплины и виды учебной работы.

Виды учебной работы	Всего часов	Распределение по семестрам
1	2	3	4
Общая трудоемкость дисциплины	720	146	112	78	384
Лекции	187	68	51	34	34
Практические занятия	136	51	34	17	34
Самостоятельная работа	397	27	27	27	316
Вид итогового контроля		экз	экз	экз	экз

2.3 Тематическое планирование лекционных занятий, наименование тем, содержание, объем в часах.

	1 СЕМЕСТР	Кол-во часов
1.	ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Векторы. Проекция вектора на ось. Разложение вектора по базису. Замена базиса и системы координат. Линейные операции над векторами. Векторное, скалярное, смешанное произведения векторов, свойства.	8
2.	АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линий на плоскости. Различные уравнения прямой на плоскости Кривые второго порядка, их геометрические свойства и уравнения. Понятие об уравнении поверхности и линии в пространстве. Уравнения поверхностей второго порядка, цилиндрических и конических поверхностей. Плоскость в пространстве, некоторые виды уравнения плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. Прямая линия в пространстве, различные ее уравнения. Исследование формы поверхности формы методом сечений	16
3.	ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Определители, их свойства и вычисление. Матрицы и операции над ними. Свойства операций. Обратная матрица. Ранг матрицы. Система линейных уравнений. Свойства систем уравнений: совместимость, определенность. Частное и общее решение. Эквивалентность систем. Однородные и неоднородные СЛУ. Свободные и базисные переменные. Линейные преобразования линейных пространств. Матрица линейного преобразования. Действия над линейными преобразованиями. Связь между матрицами линейного преобразования в разных базисах. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования. Характеристический многочлен. Свойства собственных векторов. Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду в случае простого спектра.	10
4.	ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Множества. Последовательность. Конечный предел числовой последовательности. Критерий сходимости монотонной последовательности. Число е. Формулировка критерия Коши сходимости числовой последовательности. Бесконечно малые последовательности, их свойства и связь со сходящимися последовательностями. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного сходящихся последовательностей, о пределах последовательностей, связанных неравенствами. Бесконечно большие последовательности, их связь с бесконечно малыми. Функция одной действительной переменной. Конечный предел функции одной действительной переменной. Бесконечно большие функции. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функции. Замечательные пределы. Сравнение функций. Эквивалентные бесконечно малые функции, их свойства. Непрерывность функций. Точки разрыва функции, их классификация. Непрерывность функции на интервале, отрезке. Формулировка свойств функций, непрерывных на отрезке	10
5.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Производная функции. Односторонние производные. Геометрический и механический смысл производной. Касательная и нормаль к кривой. Дифференцируемость функций, необходимое условие дифференцируемости. Общие правила дифференцируемости. Производная сложной и обратной функции. Производные элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование. Дифференциал функции, его геометрический смысл, свойства, инвариантная форма записи, приложения. Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование параметрически заданной функции. Теоремы о среднем Ферма, Ролля, Лагранжа, их геометрический смысл. Теорема Коши. Правила Лопиталя. Формулы Тейлора и Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано. Разложение по формуле Маклорена функций. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций. Условия монотонности функции. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Выпуклость (вогнутость) графика функции, точки перегиба. Необходимое и достаточное условия точки перегиба. Асимптоты графика функции	14
6.	ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Метрическое пространство. Открытые и замкнутые множества и области. Предел функции. Непрерывность функции. Формулировка свойств функций, непрерывных в ограниченных замкнутых областях. Частные производные, дифференцируемость. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости. Дифференциал, его свойства. Дифференцирование сложных функций. Дифференцирование неявно заданных функций. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданной уравнением z=f(x, y) и поверхности, заданной уравнением F(x, y,z)=0. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия. Квадратичные формы. Формулировка критерия Сильвестра. Достаточные условия экстремума. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Формулировка достаточных условий.	10
	Итого за 1 семестр	68
	2 СЕМЕСТР
7	ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Методы интегрирования. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных функций. Рационализирующие подстановки для интегралов от тригонометрических и иррациональных выражений. Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции. Определённый интеграл. Определение. Условия существования. Свойства определённого интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом, его дифференцируемость. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле. Геометрические приложения определённого интеграла. Несобственные интегралы. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.	20
8	ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Интегралы, зависящие от параметра, их интегрируемость и дифференцируемость. Задачи, приводящие к понятиям кратных, криволинейных и поверхностных интегралов. Общая структура этих интегралов. Определения, свойства. Вычисление двойных и тройных интегралов в декартовых координатах. Понятие якобиана. Замена переменных в кратных интегралах. Двойной интеграл в полярных координатах, тройной - в цилиндрических и сферических координатах. Геометрические приложения кратных интегралов. Механические приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов.	19
9	ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ. Скалярное поле, поверхность уровня. Производная по направлению. Градиент скалярного поля, его свойства. Векторное поле. Вектор-функция скалярного аргумента. Предел. Непрерывность. Производная вектор-функции, её геометрический и кинематический смысл. Работа векторного поля. Криволинейные интегралы 2-го рода, определение, свойства, вычисление, связь с криволинейными интегралами 1-го рода Потенциальные векторные поля. Необходимые и достаточные условия потенциальности. Нахождение потенциала. Поток векторного поля. Поверхностные интегралы 2-го рода, определение, свойства, связь поверхностными интегралами 1-го рода. Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция векторного поля, её свойства. Вихрь векторного поля, го свойства. Формула Стокса.	12
	Итого за 2 семестр	51

3 СЕМЕСТР
10	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Задачи, приводящие к ДУ. Основные понятия и определения. Задача Коши, теорема существования и единственности ее решения. Поле направлений. Метод изоклин. Классы ДУ 1-го порядка, интегрируемых в квадратурах: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли, в полных дифференциалах. ДУ, неразрешенные относительно производной. Метод введения параметра. Понятие особого решения. ДУ высшего порядка. Задача Коши. ДУ, допускающие понижение порядка. Линейные ДУ n- го порядка. Линейные однородные ДУ, свойства их решений. Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Определитель Вронского и связанные с ним условия линейной зависимости и линейной независимости решений линейных однородных ДУ Фундаментальная система решений. Структура общего решения. Линейное однородное ДУ с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные ДУ, структура его общего решения. Метод вариации постоянных. Линейные неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Метод подбора частного решения.	12
11	СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Основные понятия и связь с ДУ n-го порядка. Задача Коши, условия существования и единственности ее решения. Первые интегралы, метод интегрируемых комбинаций. Линейные системы ДУ, ее матричная форма записи. Линейные однородные системы ДУ, свойства их решений. Определитель Вронского и связанные с ним условия линейной зависимости и линейной независимости решений линейной однородной системы ДУ. Фундаментальная система решений. Структура общего решения линейной однородной и линейной неоднородной систем ДУ. Метод вариации постоянных. Линейные системы ДУ с постоянными коэффициентами.	10
12	ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Основные определения, свойства. Необходимые признаки сходимости. Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами: ограниченность частных сумм, интегральный признак, признак сравнения и его следствие, признаки Даламбера и Коши и их следствия. Числовые ряды с произвольными членами. Теорема Лейбница для знакочередующихся рядов, оценка остатка ряда. Необходимое и достаточное условие сходимости рядов с комплексными членами. Абсолютная и условная сходимость. Признак Даламбера и Коши для числовых рядов с произвольными членами. Свойства абсолютно сходящихся рядов.	6
13	ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. Последовательности и ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг сходимости. Степенные ряды в действительной области, их свойства. Ряды Тейлора и Маклорена. Приложение степенных рядов к приближённым вычислениям и решению задачи Коши для ДУ. Элементарные функции комплексного переменного.	6
	Итого за 3 семестр	34
	4 СЕМЕСТР
14	РЯДЫ ФУРЬЕ. Ортогональные и ортонормированные системы функций. Ряды Фурье по произвольной ортогональной системе функций. Сходимость в среднем. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля. Тригонометрический ряд Фурье. Формулировка достаточных условий разложимости функций в тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье для четных и нечётных функций. Интегрирование и дифференцирование комплекснозначных функций действительного аргумента. Ряд Фурье в комплексной форме. Интеграл Фурье в действительной форме. Интеграл Фурье для чётных и нечётных функций. Интеграл Фурье в комплексной форме. Преобразование Фурье, его свойства. Обращение преобразования Фурье.	10
15	УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. Задачи, приводящие к уравнениям с частными производными. Классификация линейных уравнений с частными производными 2-го порядка. Основные уравнения математической физики: уравнение малых поперечных колебаний струны, уравнение теплопроводности, уравнение Пуассона. Постановка задач математической физики, начальные и граничные условия. Задача Штурма-Лиувилля. Метод Фурье решения задачи о колебании ограниченной струны и задачи о распространении тепла в ограниченном стержне. Метод Фурье решения краевых задач для уравнения Лапласа в прямоугольнике и в круговых областях. Применение интеграла и преобразования Фурье к решению задачи о колебании бесконечной струны и о распространении тепла в бесконечном стержне.	14
16	ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. Примеры задач. Функционал и его вариация. Экстремум функционала, необходимое условие экстремума. Первая вариация. Уравнение Эйлера. Частные случаи интегрируемости уравнения Эйлера. Функционалы с производными высшего порядка. Функционалы от функций нескольких переменных их экстремумы. Геодезические кривые. Задача с подвижными границами. Условие трансверсальности. Поле экстремалей. Некоторые приложения вариационного исчисления.	10
	Итого за 4 семестр	34
	ИТОГО	187

2.3 Практические занятия, их содержание и объем в часах.