Введение (стр. 2 )

Никакие два из них не будут линейно зависимые. Покажем, что векторы  + , и  +  +  линейно независимы. Предположим противное, то есть. эти векторы линейно зависимы, а следовательно, выполняется векторное равенство: a( + ) + b( +  + ) = , a2 + b2 ¹ 0. Перепишем это равенство в виде:

(a + b) + (a + b) + b = 

Так как векторы базиса , , – линейно независимы, то выше приведенное равенство выполняется, только при a и b равных нулю одновременно. Получили противоречие с предположением. Значит, векторы  + , и  +  +  линейно независимы.

Аналогично можно доказать линейную независимость остальных пар векторов.

Векторы этой системы порождают точки:

E1 = π(), E2 = π(), E3 = π(), E4 = π( + ), E5 = π( + ), E6 = π( + ), E7 = π( +  + )

Точки E1 – E7, порождённые неколлинеарными векторами, различны.

Задача 3.

Доказать, что на проективной плоскости P(V) существуют четыре точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой.

Решение.

Так как dim(P(V)) = 2, то векторное пространство, порождающее проективную плоскость P(V) имеет размерность 3. B = {, , } – базис векторного пространства V. Векторы базиса , , линейно независимы, значит точки E1, E2, E3, порождённые этими векторами, не лежат на одной прямой. Рассмотрим E1 = π(), E2 = π(), E3 = π(), E = π( +  + ).

Возьмем точки E1, E2, E и покажем, что они не лежат на одной прямой.

Нам достаточно показать, что векторы , , , порождающие эти точки линейно независимые.

Предположим, что , , – линейно зависимые. По определению линейной зависимости имеем:

l1 + l2 + l3 = 

 +  +  ¹ 0

l1 + l2 + l3( +  + ) = 

(l1 + l3) + (l2 + l3) + l3 = 

Так как векторы , , по условию являются линейно независимыми, то это векторное равенство выполняется только при l1, l2, l3 равных нулю одновременно. Наше предположение не верно. Значит векторы , , линейно независимые, а точки E1, E2, E не лежат на одной прямой.

Аналогично доказывается, что тройки точек E1, E3, E и E2, E3, E не лежат на одной прямой.

Задачи для самостоятельного решения.

1.  – трёхмерное векторное пространство над полем F3 вычетов по модулю 3. Сколько точек содержит произвольная прямая проективной плоскости P()?

2.  Сколько прямых содержит плоскость P()?

3.  Доказать, что проективная прямая содержит по крайней мере три точки.

4.  Доказать, что на проективной плоскости существуют три точки, не лежащие на одной прямой.

5.  Доказать, что любые две прямые проективной плоскости пересекаются.

6.  Доказать, что через две различные точки проективной плоскости можно провести прямую.

7.  Каково наименьшее число точек проективного пространства P3(K) над полем K.

8.  Доказать, что в n-мерном проективном пространстве (n + 2) точки общего положения.

9.  Сколько точек содержит произвольная прямая n-мерного проективного пространства P()?

10.  – (n + 1)- мерное векторное пространство над полем Fp вычетов по модулю p, где p – простое число. Доказать, что n-мерное проективное пространство P() состоит из точек.

§ 3. Проективные координаты на проективной прямой и проективной плоскости

1. Определение. Проективным репером на проективной прямой называют упорядоченную совокупность трех различных точек A1, A2, E прямой.

Точки A1, A2, называют координатными точками, а E – единичной точкой репера.

Возьмем любую точку M проективной прямой P1. Возьмем в векторном пространстве V2, порождающем проективную прямую P1, базис, согласованный с репером R B = {, }, то есть π() = A1, π() = A2, π( + ) = E. Пусть  Î V2,  ¹ . π() = М, разложим его по базисным векторам:  = х1 + х2,  = (х1, х2)R.

Проективными координатами точки на проективной прямой относительно проективного репера R будем называть координаты вектора, порождающего данную точку относительно базиса векторного пространства, согласованного с репером R.

Обозначим М = (х1, х2)R. Возьмем  = l, l ¹ 0, также порождает точку М: π() = М,  = lх1 + lх2.

Из определения проективных координат точки заключаем, что точка М имеет координаты (lх1, lх2) относительно репера R.

Таким образом, проективные координаты точки на проективной прямой определяются с точностью до постоянного множителя.

Задача 1

На расширенной прямой задан проективный репер R = {A1, A2, E} построить точку M(2, 3) по её координатам в этом репере.

Решение.

Пусть V2 – векторное пространство порождающее прямую : p(V2\{}) = .

В роли V2 возьмём множество направленных отрезков с началом в точке O Î . Обозначим B = {, } базис векторного пространства V2, согласованный с репером R или векторный базис проективного репера [2]. Решение задачи проводим по следующей схеме:

1.  Восстановим векторный базис проективного репера R = {A1, A2, E}. Для этого возьмём любой вектор , порождающий точку E и строим векторы и , сумма которых даёт вектор . B = {, } – векторный базис проективного репера. Векторы и порождают соответственно точки A1 и A2 (см. рис. 17).

2.  Строим вектор  = 2 + 3.

3.  Строим точку M, порожденную вектором , как пересечение прямой и m, для которой вектор служит направляющим.

Задача 2.

На расширенной прямой задан проективный репер R = {A1, A2, Eµ}. Построить точку M(–1, 2) относительно репера R.

Решение.

1.  Найдём векторный базис проективного репера R = {A1, A2, Eµ}. Так как. Eµ – несобственная точка прямой , то вектор, её порождающий, является направляющим вектором прямой d0, параллельной прямой d. Возьмем точку O Î d0, и векторный базис B = {, }, репер R: π() = A1, π() = A2, π() = Eµ. (см. рис. 18).

2.  Строим вектор  =  – + 2.

3.  М = m Ç .

2. Перейдем теперь к определению проективных координат на проективной плоскости.

2  Определение. Проективным репером на проективной плоскости называется упорядоченная совокупность четырех точек общего положения R = {A1, A2, A3, E}.

Базис В = {, , } векторного пространства, порождающего проективную плоскость, будем называть согласованным с репером R, если векторы , , порождают соответственно точки A1, A2, A3, а их сумма порождает точку Е, Рис 19. В символической записи это выглядит так:

π() = A1, π() = A2, π() = A3,  +  +  = , π() = E.

Возьмем произвольную точку М проективной плоскости P2. Пусть – вектор, порождающий точку М, то есть π() = М. Система векторов , , , линейно зависима.

Тогда  = x1 + x2 + x3.

Определение. Проективными координатами точки М на проективной плоскости относительно проективного репера R называют координаты вектора, порождающего данную точку относительно базиса векторного пространства, согласованного с репером R.

То есть точка М имеет координаты (x1, x2, x3) относительно проективного репера R. Так как вектор  = l, l ¹ 0 порождает ту же точку М, а {lx1, lx2, lx3},то точка М относительно репера R будет иметь также координаты (lx1, lx2, lx3).

Таким образом, проективные координаты точки определяются с точностью до постоянного множителя.

Как построить точку по ее координатам?

Пусть на проективной плоскости задан R = {A1, A2, A3, E}.

Совокупность трех точек A1, A2, A3 проективной плоскости и трех прямых (A1A2), (A1A3), (A2A3) называют координатным трехвершинником (треугольником).

Пусть точка М задана координатами x1, x2, x3.

Рассмотрим отображение множества P2 \ A3 на координатную прямую A1A2, то есть проектируем это множество на прямую A1A2 с центром A3.

Точке М Î P2 \ A3 ставим в соответствие точку M3 = (A3M) Ç (A1A2), E3 = (A3E) Ç (A1A2). На прямой (A1A2) рассмотрим проективный репер R3 = {A1, A2, E3}. Оказывается, что M3 будет иметь координаты (x1, x2) относительно проективного репера R3.

Спроектируем теперь множество P2 \ A1 на прямую A2A3.Точке М Î P2 \ A1 поставим в соответствие точку M1 = (A1M) Ç (A2A3). На проективной прямой A2A3 возникает проективный репер R1 = {A2, A3, E1}, E1 = (A1E) Ç (A2A3). Точка М1 относительно репера R1 на прямой A2A3 будет иметь координаты (x2, x3). Аналогично, точка М2 будет иметь координаты (x1, x3) в репере R2 = {A1, A3, E2} на прямой A1A3. Тогда M = (A1M1) Ç (A2M2) Ç(A3M3).

Задача 3.

На расширенной плоскости задан проективный репер R = {A1, A2, A3, E}. Построить точку M(1, 1, 2) относительно репера R.

Решение.

Обозначим через E3 проекцию единичной точки репера R из центра A3 на прямую A1A2. Упорядоченная тройка точек A1, A2, Е3 образует на прямой A1A2 проективный репер R3 = {A1, A2, E3}. Относительно репера R3 проекция M3 точки M из центра A3 на прямую A1A2 имеет координаты (1, 1), то есть точка M3 совпадает с точкой E3. Аналогично можно ввести реперы R2 = {A1, A3, E}, R1 = {A2, A3, E} и построить ещё одну проекцию точки М. Построим, например, точку M2 относительно репера R2 (построение в задаче 1).

Тогда точка M находится как пересечение прямых A3M3 и A2M2 (см. рис. 20).

Задача 4.

На расширенной плоскости задан проективный репер R = {A1, A2, A3, Eµ}, где точки A1, A2, A3 – собственные, а точка Eµ – несобственная. Построить точку М(1, 1, 2) по её координатам в репере R.

Решение.

Считаем, что точка Eµ является несобственной точкой прямой . Строим точку E1, которая является проекцией точки Eµ на прямую A2A3 из точки A1. (Для этого на через точку A1 проводим прямую паралельную прямой , которая в пересечении с прямой A2A3 даст точку E1). E1 = М1.

Строим E2 = (А2Eµ) Ç (А1А3) и точку М2(1, 2) по её координатам в репере R2 = {A1, A3, E2}.

Тогда точку М несложно построить: М = (A1M1) Ç (A2M2) (см. рис. 21).

Задача 5.

На расширенной плоскости задан проективный репер R = {Xµ, Yµ, A3, E}. Построить точку M(4, –1, 2) по её координатам в репере R.

Решение.

Две вершины координатного треугольника несобственные: Xµ, Î , Yµ Î , d1 È Xµ = , d2 È Yµ = .

1.  Строим проекции точки Е на прямые и : Е1 = (ЕХ¥) Ç , Е2 = (Е Yµ) Ç .

2.  Строим проекции точки М:

1.  М1(–1, 2) относительно проективного репера R1 = {Yµ, A3, E1} прямой ;

2.  М2(4, 2) или М2(2, 1) относительно проективного репера R2 = {Xµ, A3, E} прямой .

3.  Строим точку М = (М1Xµ) Ç (М2Yµ).

Однородные и неоднородные координаты на расширенной прямой и расширенной плоскости

Возьмем на расширенной плоскости расширенную прямую и рассмотрим проективный репер R¥ = {A¥, А2, E}. Возьмем точку О, не принадлежащую прямой , и построим тройку векторов , , , Пусть произвольная точка М относительно проективного репера R¥ имеет координаты М(х1, х2). На прямой рассмотрим аффинный репер {А2, }, порожденный проективным репером R¥ = {A¥, А2, E}. Пусть х – координата точки М в аффинном репере , то есть

Следовательно, точка М имеет координаты (х, 1) относительно репера R¥.

Учитывая, введенные выше обозначения для проективных координат точки М, получим х = lх1, 1 = lх2.

Отсюда l =  и .

Таким образом, аффинные координаты собственной точки М равны отношению проективных координат этой точки в репере R¥: .

Следовательно, мы установили связь между аффинными координатами и проективными координатами собственных точек прямой . (х1, х2) называют однородными координатами точки М. (х) называют неоднородными координатами точки М.

Рассмотрим неоднородные координаты на расширенной плоскости.

На расширенной аффинной плоскости возьмем проективный репер R¥ = {X¥, Y¥, А3, E}.