Введение (стр. 4 )

lх3 = у1 + у2 + у3.

C =  – матрица перехода от нового проективного репера к старому. Определитель матрицы С отличен от нуля, так как точки A1¢, A2¢, A3¢ неколлинеарные, то есть не лежат на одной прямой, векторы их порождающие ¢, ¢, ¢ линейно независимы.

2. Система векторов ¢, ¢, ¢, ¢ не согласована относительно репера R¢, то есть вектор ¢, порождающий точку E¢, не равен сумме векторов, порождающих точки A1¢, A2¢, A3¢: ¢ ¹ ¢ + ¢ + ¢.

Нам нужно получить согласованную систему векторов относительно R¢. Для этого вместо векторов ¢, ¢, ¢ возьмем векторы  = k1¢,  = k2¢,  = k3¢, согласованные относительно репера R¢ и порождающие точки A1¢, A2¢, A3¢ соответственно. Тогда будем иметь:

¢ = k1¢ + k2¢ + k3¢ (7)

Равенство (7) запишем в координатной форме:

k1 + k2 + k3 = ,

k1 + k2 + k3 = , (8)

k1 + k2 + k3 = .

На (8) смотрим как на систему с неизвестными k1, k2, k3. Система (8) неоднородная, и так как определитель этой системы отличен от нуля, то k1, k2, k3 из этой системы определяются однозначно, причем k1, k2, k3 не равны нулю одновременно. Матрица

C1 =  является матрицей перехода от репера R к реперу R¢для второго случая.

Замечание. Используя формулы (6) легко записать формулы преобразования проективных координат на проективной прямой. Они имеют следующий вид:

lх1 = у1 + у2,

lх2 = у1 + у2, (9)

Задача 1.

Составить формулы преобразования проективных координат при переходе от репера R = {A1, A2, A3, E} к реперу R¢ = {A1¢, A2¢, A3¢, E¢}, если в репере R: A1¢(1, 0, –1), A2¢(2, 1, 0), А3¢(0, 0, 1); а) E¢(3, 1, 0), б) E¢(1, 1, 2).

Решение

а) Пусть , , система векторов, согласованная относительно репера R.

Пусть далее ¢, ¢, ¢ – векторный базис репера R¢.

p(¢) = A1¢, ¢{1, 0, –1}; p(¢) = A2¢, ¢{2, 1, 0}; p(¢) = A3¢, ¢{0, 0, 1}. Найдем сумму векторов:

¢ + ¢ + ¢ = {3, 1, 0}. Видим, что сумма ¢ + ¢ + ¢ есть вектор, порождающий точку Е¢: p(¢ + ¢ + ¢) = Е¢. Значит, в случае а) система векторов {¢, ¢, ¢} согласована относительно репера R¢ и мы воспрользуемся формулами перехода (6).

Подставив в правые части формул (6) координаты точек A1¢, A2¢, A3¢, мы получим искомые формулы преобразования проективных координат:

lх1 = у1 + 2у2,

lх2 = у2,

lх3 = –у1 + у3.

б) В этом случае сумма векторов ¢ + ¢ + ¢ = {3, 1, 0} не порождает точку Е¢, то есть система векторов {¢, ¢, ¢} не согласована относительно репера R¢. Значит, нужно найти базис, определяющий репер R¢.

Обозначим – вектор, порождающий точку Е¢, p() = Е¢ и найдем векторы

 = k1¢,  = k2¢,  = k3¢, такие, что

k1¢ + k2¢ + k3¢ = ¢ (10)

Подставим в равенство (10) разложения векторов ¢, ¢, ¢, ¢ по векторам базиса {, , }, где {, , } – векторный базис проективного репера R:

¢ =  – , ¢ = 2 + , ¢ = , ¢ =  +  + 2.

Подставляем ¢, ¢, ¢, ¢ в (10), получим:

 +  + 2 = k1( – ) + k2(2 + ) + k3.

(k1 + 2k2) + k2 + (k3 – k1) =  +  + 2.

Отсюда:

То есть,  = –¢,  = ¢,  = ¢. Матрица перехода в формулах (5) имеет вид:

.

Значит, искомые формулы преобразования координат будут следущими:

lх1 = –у1 + у3,

lх2 = у2,

lх3 = у1 + у3.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Написать формулы преобразования координат при переходе от системы R = {A1, A2, A3, E} к системе R¢ = {A1¢, A2¢, A3¢, E¢}, если:

а) A1¢ = A2, A2¢ = A3, A3¢ = A1, E¢ = E;

б) A1¢ = A2, A2¢ = A2, A3¢ = A3, E¢ = E;

в) A1¢ = A1, A2¢ = A2, A3¢ = Е, E¢ = A3.

2. Написать формулы преобразования координат при переходе от системы координат R = {A1, A2, A3, E} к системе R¢ = {A1, A2, A3, E¢}, если E¢ в исходной системе координат имеет координаты
(–1, 2, 3).

3. Написать формулы преобразования координат, если точки A1¢, A2¢, A3¢, E¢, определяющие репер R¢, имеют относительно старой системы координат R = {A1, A2, A3, E} следующие координаты: A1¢(1, 1, 0), A2¢(0, –1, 2), A3¢(1, 1, 1), E¢(2, 3, –5).

4. На плоскости даны 2 системы координат: R = {A1, A2, A3, E} и R¢ = {A1¢, A2¢, A3¢, E¢}, точки A1¢, A2¢, A3¢, E¢ имеют в координатной системе R следующие координаты:

A1¢(1, –1, 1), A2¢(1, 0, 1), A3¢(2, 1, –3), E¢(5, –4, 0).

а) Найти координаты точки М в системе R¢, если известны ее координаты в системе R: М(1, 1, 1).

б) Найти уравнение прямой в репере R¢, если известно ее уравнение с репере R: х1 + 2х2 = 0.

в) Найти уравнение прямой в системе R, если известно ее уравнение с системе R¢: у1 + 2у2 = 0.

5. Вершины координатного треугольника и единичная точка проективного репера R¢ имеют на расширенной плоскости следующие аффинные координаты: А1¢(0, 3), А2¢(4, 0), А3¢(4, 3), E¢(3, 2)

Найти:

а) проективные координаты точки М, если ее аффинные кординаты М(1, 1);

б) аффинные координаты точки Р, если ее проективные координаты Р(4, 3, –6).

в) проективные координаты несобственной точки оси абсцисс;

г) проективные координаты несобственной точки оси ординат;

д) проективные координаты несобственной точки прямой х – 2у + 1 = 0;

е) однородные координаты точки К, если ее проективные координаты K(5, 5, –7).

6. Единичная точка Е проективного репера R = {A1, A2, A3, E} на расширенной плоскости является точкой пересечения медиан координатного треугольника A1A2A3. Найти координаты несобственных точек сторон координатного треугольника и координаты несобственных точек его медиан относительно репера R.

7. В прямоугольных декартовых координатах дано уравнение кривой х2 – 2ху + у2 + 4х + 4у – 8 = 0.

Найти:

а) уравнение данной кривой в однородных координатах;

б) несобственные точки кривой, доказав при этом, что данная кривая является параболой;

в) направляющий вектор оси параболы;

г) координаты вершины и уравнение оси параболы в неоднородных координатах.

§5. Принцип двойственности. Теорема Дезарга.

На проективной плоскости и в пространстве справедлив принцип двойственности. Сформулируем принцип двойственности для проективной плоскости.

Если на проективной плоскости справедливо некоторое предложение А, в котором идет речь о точках прямых и их взаимной принадлежности, то будет справедливо предложение А¢, которое получается из утверждения А путем замены слова «точка» на слово «прямая»: «прямая» – «точка»; «лежит на» – «проходит через», «проходит через» – «лежит на».

Например:

Предложение А: Через любые две точки проективной плоскости проходит единственная прямая.

Двойственное ему предложение А¢: Любые две прямые пересекаются в одной точке.

Рассмотрим далее теорему Дезарга и проиллюстрируем на ней применение принципа двойственности. Возьмём на проективной плоскости три различные точки A, B, C, не лежащие на одной прямой (рис. 27).

Фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх прямых, соединяющих попарно эти точки, называется трёхвершинником.

Точки A, B, C называются вершинами, а прямые AB, BC, AC – сторонами трёхвершинника.

Трёхвершинник с вершинами A, B, C обозначается так: ABC.

Пусть даны два трёхвершинника ABC и A¢B¢C¢, такие, что ни одна из вершин или сторон одного трёхвершинника не совпадает с соответствующим элементом другого (рис 28). Тогда имеет место теорема Дезарга:

Теорема. Если три прямые (AA¢), (BB¢), (CC¢), проходят через одну точку, то точки пересечения прямых а Ç a¢, b Ç b¢, c Ç c¢ лежат на одной прямой.

Доказательство теоремы Дезарга мы не приводим. Сформулируем теорему обратную теореме Дезарга:

Даны два трехвершинника и никакие их вершины и стороны не совпадают. Тогда, если точки пересечения соответственных сторон а Ç a¢, b Ç b¢, c Ç c¢ этих трехвершинников лежат на одной прямой, то прямые (AA¢), (BB¢), (CC¢), проходящие через соответственные вершины трёхвершинников, пересекаются в одной точке.

Дополняя евклидову плоскость несобственными точками, мы получим расширенную плоскость, которая является моделью проективной плоскости. Значит, для решения задач евклидовой геометрии можем использовать факты проективной геометрии, в частности, теорему Дезарга.

Задача 1.

На чертеже ограниченных размеров заданы две пары прямых: р и q, пересекающиеся в недоступной точке А, и u и v, пересекающиеся в недоступной точке В. Построить доступную часть прямой АВ.

Решение.

Точку пересечения двух прямых будем называть недоступной, если прямые пересекаются за пределами чертежа.

Рис.41

Задача сводится к построению двух доступных точек прямой (АВ), где А = р Ç q, В = u Ç v. Используя теорему Дезарга, доступную точку С прямой АВ можем построить как точку пересечения соответственных сторон двух трёхвершинников, у которых двумя парами соответственных сторон служат прямые р и q, u и v, а прямые, проходящие через соответственные вершины, пересекаются в некоторой точке S. M = u Ç p и M¢ = v Ç q – соответствующие вершины.

Возьмём любую точку S Î (MM¢), не лежащую на данных прямых. Через точку S проведём две прямые m и n, пересекающие данные прямые в доступной части чертежа. N = n Ç u, N¢ = n Ç v; K = m Ç p, K¢ = m Ç q.

Рассмотрим два трёхвершинника: MNK и M¢N¢K¢. Прямые ММ¢, NN¢, KK¢ проходят через одну точку S. Значит, по теореме Дезарга, точки пересечения прямых (NM) Ç (N¢M¢) = А, (KM) Ç (K¢M¢) = B, (NK) Ç (N¢K¢) = C лежат на одной прямой. То есть, доступная точка С Î АВ.

Для построения ещё одной доступной точки D прямой АВ построим конфигурацию Дезарга так, чтобы прямые р и q составляли одну пару соответственных сторон, другая пара сторон пересекалась в точке С, а третья – в доступной точке D. А прямые, проходящие через соответственные вершины, пересекались в произвольной точке S¢, не принадлежащей прямым р и q.

Через точку S¢ проведём произвольные прямые a и b. b Ç р = R, b Ç q = R¢, a Ç р = T, a Ç q = T¢. Построим прямые (RС) и (R¢С¢). Возьмём точку Z Î RC и построим Z¢ = S¢Z Ç R¢C.

Рассмотрим два трёхвершинника TRZ и T¢R¢Z¢.

Так как (ТТ¢) Ç (RR¢) Ç (ZZ¢) = S¢, то точки А = р Ç q, C, D = (ZT) Ç (Z¢T¢) лежат на одной прямой. Итак, А, В, С, D Π(AB). Точки С и D доступные точки прямой АВ. Строим (СD) – доступную часть прямой АВ.

Задача 2.

На евклидовой плоскости даны параллелограмм NKLМ, прямая n и точка А, не принадлежащая ни прямой n, ни сторонам параллелограмма. Пользуясь одной линейкой, проведите прямую через данную точку параллельно прямой n.

Решение.

Построим сначала произвольную прямую, параллельную прямой n. Для этого строим два трёхвершинника XYN и X¢Y¢L, где Х = n Ç NK, Y = n Ç NМ.

Прямые (ХХ¢), (YY¢), (NL) пересекаются в одной точке. Следовательно, трёхвершинники XYN и X¢Y¢L удовлетворяют теореме Дезарга и прямые XN и X¢L , YN и Y¢L, XY и X¢Y¢ пересекаются на одной прямой. Но стороны трёхвершинников XN и X¢L, YN и Y¢L параллельны. Следовательно, XY || X¢Y¢, т. е. n || X¢Y¢.Обозначим прямую, параллельную прямой n через l. Имеем теперь две параллельные прямые n, l и точку А. Для построения прямой, параллельной данной, найдём точку В. Для этого, построим конфигурацию Дезарга так, что одну пару соответственных сторон составили прямые l и n, другая – пересекались в точке А, а третья – в искомой точке.

Произвольно выбираем S¢ Ï n, S¢ Ï l и проводим две произвольные прямые a и b: n Ç a = R, l Ç a = R¢, n Ç b = Q, l Ç b = Q¢.

Возьмем на отрезке RА произвольную точку Р и построим точку Р¢ = S¢Р Ç АR¢.

Два трёхвершинника RQР и R¢Q¢Р¢ удовлетворяют теореме Дезарга, прямые RQ и R¢Q¢, RP и R¢P¢, QR и Q¢R¢ пересекаются на одной прямой, т. е. A, B, D¥ = n Ç l принадлежат одной прямой. D¥ Î (AB), следовательно прямая AB || n.

Задача 3.

На евклидовой плоскости трапеция вписана в четырёхугольник так, что её параллельные стороны параллельны одной из его диагоналей. Докажите, что непараллельные стороны трапеции пересекаются на другой диагонали.

Решение.

S

Трапеция EFQM вписана в четырёхугольник ABCD так, что FQ || EМ, FQ || AC. Следовательно, трёхвершинники AFE и СQМ удовлетворяют теореме Дезарга.

Следовательно, точки B = AF Ç CQ, D = AE Ç CM и точка О пересечения непараллельных сторон трапеции и FE и QM лежат на одной прямой, то есть точка О лежит на прямой BD.

Задача 4.

Два треугольника АВС и DВС пересечены тремя параллельными прямыми p, q, r, r = (АD), p Ç (АВ) = М, p Ç (DВ) = Р, q Ç (АС) = N, q Ç (DC) = Q. Доказать, что прямые (МN), (РQ), (ВС) принадлежат одному пучку.

Решение:

Рассмотрим два трехвершинника МАN и РDQ (см. рис. 29). По теореме Дезарга, (МN) Ç (РQ) = О, ОВС, следовательно, (МN) Ç (РQ) Ç (ВС) = О. То есть (МN), (РQ), (ВС) принадлежат одному пучку.

Задачи для самостоятельного решения

1. На чертеже ограниченных размеров заданы точка А и пара прямых p и q, пересекающихся за пределами чертежа (в недоступной точке В). Построить доступную часть прямой (АВ).

2. С помощью одной линейки через данную точку А провести прямую параллельную двум заданным параллельным прямым p и q.

3. На евклидовой плоскости даны параллелограмм ABCD, точка М, принадлежащая одной из сторон параллелограмма и прямая n. Пользуясь одной линейкой, провести прямую через точку М параллельно прямой n.

4. Даны прямая n и не лежащие на ней точки M и N. Пользуясь одной линейкой, построить точку пересечения прямой n с MN, не строя прямой MN.

5. Доказать, что: а) если прямые (AA¢), (BB¢), (CC¢), соединяющие вершины треугольников ABC и A¢B¢C¢, параллельны и точки (AB) Ç (A¢B¢), (BC) Ç (B¢C¢), (AC) Ç (A¢C¢) существуют, то эти точки лежат на одной прямой; б) если (AB) || (A¢B¢), (BC) Ç (B¢C¢) = M, (AC) Ç (A¢C¢) = N, то (MN) || AB; в) если (AB) || (A¢B¢), (BC) || (B¢C¢), то (AC) || (A¢C¢).

6. Трапеция ABCD пересечена прямыми p и q, параллельными основанию AB, p Ç (AD) = M, p Ç (AC) = P, q Ç (BD) = N, q Ç (BC) = Q. Доказать, что точка (MN) Ç (PQ) лежит на (AB).

7. Используя теорему Дезарга, доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.