Введение (стр. 5 )

8. Доказать, что центр симметрии параллелограмма ABCD совпадает с центром симметрии параллелограмма A¢B¢C¢D¢, если на евклидовой плоскости вершины параллелограмма ABCD лежат на сторонах параллелогремма A¢B¢C¢D¢, так что A Î (A¢B¢), B Î (B¢C¢), C Î (C¢D¢), D Î (D¢A¢).

§6. Сложное отношение четырех точек прямой

На проективной плоскости P2 возьмем прямую d. На прямой d возьмем проективный репер R={A1, A2, E} и четыре различные точки А(а1,а2), В(b1,b2), С(с1,с2), D(d1,d2).

Определение. Сложным отношением четырех точек прямой называется число, которое выражается следующей формулой:

(1)

Кроче, , где (XY) – определитель из координат точек X и Y. Если на прямой d возьмем проективный репер R = {A, В, С}, то нетрудно доказать, что сложное отношение (АВ, CD) будет выражаться так:

, где D(d1,d2){A, В, С}.

Свойства сложного отношения четырех точек прямой.

1.  Сложное отношение четырех точек прямой не зависит от выбора проективного репера на прямой.

2.  (АВ, СD) = (СD, АВ).

3.  (АВ, СD) = (ВА, СD)-1.

4.  (АВ, СD) = (ВА, DС).

Следствия.

1.  А, В, С различные точки прямой. Из формулы (1) следует, что D ¹ А.

2.  Если (АВ, СD) = (АВ, СN), то D = N.

3.  Если (АВ, СD) = 0, то В = D.

4.  (АВ, СD) = 1 Û D = С.

Если (АВ, СD) < 0, то говорят, что пара точек АВ разделяет пару точек СD или наоборот.

Четверка точек А, В, С, D, лежащих на одной прямой, называется гармонической, если их сложное отношение (АВ, СD) = –1.

Замечание.

Пусть на проективной плоскости дана прямая а и проективный репер R = {A1, A2, A3, E}.Точки А, В, С, D заданы своими координатами относительно проективного репера R: А(а1, а2, а3), В(в1, в2, в3), С(с1, с2, с3), D(d1, d2, d3).

Спроектируем точки А, В, С, D из вершины А3 координатного трехвершинника на прямую А1А2.

(АВ, СD)=(А¢В¢, С¢D¢).

На прямой А1А2. берем репер R* {A1, А2, Е3}. Относительно репера R* точки А¢В¢, С¢D¢ имеют соответственно координаты (а1, а2), (b1, b2), (с1, с2), (d1, d2).

Найдем сложное отношение четырех точек (А¢В¢, С¢D¢) прямой А1А2 по формуле (1). А так как при перспективном отображении прямой а на прямую (А1А2) сложное отношение сохраняется, то (AB, CD)=(A¢B¢, C¢D¢) и получим формулу для нахождения сложного отношения четырех точек относительно репера, заданного на плоскости, совпадающую с формулой (1).

.

Сложное отношение четырех прямых пучка.

Пусть на проективной плоскости дан пучок прямых с центром в точке О. Возьмем четыре прямые пучка а, b, с, d и пересечем их прямой l. Обозначим точку пересечения прямых а и l через А, В – точка пересечения прямых b и l, С = с Ç l, D = d1 Ç l.

Сложным отношением четырех прямых пучка называют сложное отношение четырех точек (АВ, СD) прямой l.

(аb, сd) = (АВ, СD).

Пересечем пучок прямых прямой m.

А¢ = а Ç m, В¢ = b Ç m, С¢ = с Ç m, D¢ = d Ç m.

(АВ, СD) = (А¢В¢,С¢D¢), следовательно, (аb, сd) = (А¢В¢, С¢D¢).

Сложное отношение четырех прямых не зависит от выбора, пересекающей их прямой.

Задача 1.

Доказать, что в упорядоченной четверке точек прямой перестановка средних или крайних элементов одинаково изменяет сложное отношение этих точек.

Решение.

Пусть А, В, С, D – упорядоченная четверка точек. R = {A1, А2, Е} – репер на прямой. И точки А, В, С, D имеют относительно репера R координаты: А(а1, а2), В((b1,  b2), С(с1, с2), D(d1, d2).

Найдем сложные отношения четырех точек прямой (АВ, СD), (АС, ВD), (DВ, СА).

(АВ, СD) = 

(АС, ВD) = 

(DВ, СА) = .

Получили, что (АС, ВD) = (DВ, СА).

Задача 2.

Доказать, что для пяти различных точек A, B, M, U, V, проективной прямой имеет место:

(AB, MV) = (AB, MU) (AB, UV).

Решение. На прямой возьмем репер R = {A, B, M}, А(1, 0), В(0, 1), М(1, 1). Пусть точки U и V имеют координаты (u1, u2), (v1, v2) относительно репера R.

Найдем сложные отношения (АВ, MV), (АВ, МU), (АВ, UV).

(АВ, MV) = , (АВ, МU) = ,

(АВ, UV)=

(АВ, МU) (АВ, UV) = 

Задача 3.

На прямой даны три различные точки А, В, С. Построить на этой прямой точку D, такую, что (АВ, СD) = 2.

Решение

Возьмем на прямой репер R = {A, B, С}. Пусть точка D имеет координаты (d1, d2) относительно репера R. Тогда  = 2. Отсюда d1 = 2d2. Относительно репера R точка D имеет координаты (2, 1). Построим точку D(2, 1) на расширенной прямой.

Векторное пространство, порождающее прямую АВ можно представить в виде множества направленных отрезков с началом в некоторой точке О не принадлежащей прямой АВ.

p(V2) = (АВ). Находим векторный базис , , определяющий репер p( ) = А, p( ) = В, p(  +  ) = С. Берем вектор  = +, порождающий точку С и находим векторы и , такие что p( ) = А, p( ) = В и строим вектор = 2  + , p( ) = D.

Задача 4.

Доказать, что середина С отрезка АВ и несобственная точка D¥ расширенной прямой АВ гармонически разделяют концы отрезка АВ.

Решение

На прямой (АВ) рассмотрим репер R = {A, B, С} (рис. 38). Векторное пространство, порождающее прямую АВ можно представить в виде множества направленных отрезков с началом в некоторой точке О не принадлежащей прямой АВ.

p(V2) = (АВ). Находим векторный базис , , определяющий репер R = {A, B, С}.

p( ) = А, p( ) = В, p( +  ) = С.

 = ОА,  = ОВ. Репер R = {A, B, С} определяется базисом ОА, ОВ.

p( ) = D¥.  = АВ = ОВ – ОА. Следовательно точка D¥ имеет относительно репера R координаты (-1, 1) и сложное отношение четырех точек прямой (АВ, СD) = –1.

Задача 5.

Прямые а и b пересекаются в точке С, прямые с и d содержат биссектрисы углов, образованных прямыми а и b. Доказать, что (АВ, СD) = –1.

Решение.

Так как прямые с и d содержат биссектрисы углов, то эти прямые перпендикулярны.

Проведем прямую l, которая параллельна прямой d. Значит прямая l перпендикулярна прямой с.

А = l Ç а, В = l Ç b, С = l Ç с, D¥ = l Ç d. Так как l ^ с, ас – биссектриса угла (аb), то С – середина отрезка АВ. Следовательно (АВ, СD) = –1 и (аb, сd) = –1.

Задачи для самостоятельного решения

1.  Доказать, что в упорядоченной четверке точек прямой перестановка первого и третьего элементов или второго и четвертого одинаково меняет сложное отношение этих точек.

2.  Сложное отношение четырех различных точек А, В, С, D равно t. Найти значение сложных отношений всех четверок точек, которые можно составить из точек А, В, С, D.

3.  Доказать, что точка D является четвертой гармонической к тройке точек А, В, С одной прямой тогда и только тогда, когда координаты (u1, u2) точки D в репере R = {A, B, С} удовлетворяет условию u1 = –u2

4.  Доказать, что прямая а(1, 1, 1) пересекает стороны координатного треугольника проективного репере R = {A1, А2, А3, Е} в точках Мg, таких, что (Аa, Аb, Еg, Мg) = –1, (a, b, g = 1, 2, 3).

5.  Даны точки A(1,2,4), B(5,0,4), C(3,1,4), D(2,-1,0). В репере R{A1, A2, A3, E}. Доказать их коллинеарность и найти сложный отношения (AB, CD) и (DB, CA).

6.  Каковы проективные координаты середины С отрезка АВ в репере R = {A, B, D¥} на расширенной прямой АВ?

7.  Доказать, что прямая СМ, содержащая медиану СМ треугольника АВС и прямая СХ, параллельная стороне АВ гармонически разделяют прямые СА и СВ, содержащие две другие стороны треугольника АВС.

8.  Доказать, что прямые, содержащие биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника АВС, пересекают прямую АВ в точках, гармонически разделяющих вершины А и В.

9.  Даны две параллельные прямые. Пользуясь только линейкой, построить середину отрезка, заданного на одной из данных прямых.

10.  Доказать, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

§ 7. Проективные преобразования плоскости и прямой. Инвариантные точки и прямые.

1. Возьмем на проективной плоскости R2 два проективных репера R = {A1, A2, A3, E} и R¢ = {A1¢, A2¢, A3¢, E¢}.

Определение. Преобразование плоскости R2, которое каждой точке М(х1, х2, х3)R, ставит в соответствие точку М¢, имеющую такие же координаты (х1, х2, х3) или (lх1, lх2, lх3) l ¹ 0 относительно репера R¢ называется проективным преобразованием плоскости.

Приведем без доказательства следующие свойства.

1.  Всякое проективное преобразование плоскости прямую переводит в прямую.

Из свойства 1 следует, что всякое проективное преобразование плоскости сохраняет коллинеарность точек. Поэтому проективное преобразование плоскости называют еще коллинеацией.

2.  Существует и единственное преобразование, которое любую упорядоченную четверку точек общего положения A, В, С, D переводит в любую наперед заданную упорядоченную четверку точек A¢, В¢, С¢, D¢.

3.  Всякое проективное преобразование плоскости сохраняет сложное отношение четырех точек прямой.

Аналитическое выражение проективного преобразования плоскости

Пусть дано проективное преобразование f, заданное парой реперов R = {A1, A2, A3, E} и R¢ = {A1¢, A2¢, A3¢, E¢}.

Возьмем произвольную точку М проективной плоскости. Если М(х1, х2, х3)R, то М¢ = f(М), М¢(lх1, lх2, lх3)R¢ (по определению проективного преобразования).

Пусть l = 1, тогда М¢(х1, х2, х3)R¢. Обозначим координаты точки М¢ относительно репера R¢(у1, у2, у3). Найдем связь координат точки М¢ в двух проективных реперах: для этого воспользуемся формулами перехода от репера R к реперу R¢ (формулы (6), §5), причем у1, у2, у3 – старые координаты точки М¢, а х1, х2, х3 – новые координаты этой точки. Получим:

,

,

,

Это и есть формулы проективного преобразования плоскости.

Обозначим А – матрицу из коэффициентов в формулах проективных преобразований.

A = 

Определитель матрицы А отличен от нуля, так как точки A1¢, A2¢, A3¢ не лежат на одной прямой.

На расширенной аффинной (или евклидовой плоскости) можно ввести неоднородные координаты.

, ; ,

Тогда формулы проективных преобразований плоскости в неоднородных координатах примут следующий вид:

, . (2)

2.Пусть j-проективное отображение прямой а на прямую а¢. R = {A1, A2, E} – проективный репер на прямой а и R¢={A1¢, A2¢, E¢} – проективный репер на прямой а¢.

Определение. Отображение j прямой а на прямой а¢, которое каждой точке М прямой а, имеющей в репере R координаты (х, у), ставит в соответствие точку М¢ = j(М), принадлежащую прямой а¢ с теми же координатами (lх, lу) в репере R¢, называется проективным.

Если а º а¢, то j – проективное преобразование, то есть проективное отображение прямой на себя называется проективным преобразованием прямой.

По аналогии с нахождением формул проективных преобразований плоскости можно получить формулы проективных преобразований прямой. Они будут следующими:

,. (3)

Определитель матрицы, составленной из коэффициентов правых частей формул (3) проективных преобразований на прямой, отличен от нуля.

На расширенной аффинной (или евклидовой прямой) можно ввести неоднородные координаты.

, , поделив почленно первое равенство из формул (3) на второе, получим выражение проективного преобразования прямой в неоднородных координатах:

. (4)

Определение. Проективное преобразование прямой называется инволюцией, если оно совпадает со своим обратным преобразованием.

Свойства инволюций:

1.  Если проективное преобразование прямой какую-нибудь точку А прямой переводит в точку В, а точку В переводит в точку А, то оно является инволюцией.

2.  Инволюция может иметь либо две инвариантные точки, либо ни одной.

Если инволюция имеет две инвариантные точки, то она называется гиперболической.

Если инволюция не имеет инвариантных точек, то она называется эллиптической.

3. Если А и В – инвариантные точки гиперболической инволюции, то они гармонически разделяют любую пару соответствующих при инволюции точек этой прямой.