Введение (стр. 3 )

Пусть М – произвольная точка плоскости и пусть эта точка имеет проективные координаты (х1, х2, х3). Проектируем точку Е на прямые А3Y¥, А3X¥ (рис.22).

На расширенной плоскости рассмотрим аффинный репер R = {А3,  }.Обозначим аффинные координаты точки М(х, у). Таким образом, репер R¥ = {X¥, Y¥, А3 E} порождает на расширенной аффинной плоскости аффинный репер  = {А3, }, где. причем проективные координаты (х1, х2, х3) называют однородными координатами точки М на расширенной плоскости, а (х, у), где , - неоднородными координатами точки М.

Задача 5.

На расширенной плоскости задан проективный R = {X¥, Y¥, A3, E} построить точку M (4, -1, 2) по её координатам в репере R.

Две вершины координатного треугольника несобственные:

X¥ Î 2, Y¥ Î 3,  È Y¥ = 3. È X¥ = 

Строим проекции Е3 и Е2 точки E на прямые 2 и 3.

E3 = (EX¥) Ç 3, E2 = (EY) Ç 2.

Проективный репер R = {X¥, A3, E} порождает аффинный репер  = {A3, }, где

Данная точка М будет относительно аффинного репера иметь координаты , .

Подставляя вместо х1, х2, х3 заданные координаты точки М, мы получим, что М имеет аффинные координаты (2, – ).

Построим точку М(2, –) в репере  = {A3, } (рис.23). М – искомая точка.

Задачи для самостоятельного решения.

1. На расширенной прямой задан проективный репер R = {A1, A2, E}. Построить точку М(–2, 1) по её координатам в этом репере.

2. На расширенной прямой задан проективный репер R = {A1, M¥, E}. Построить точку М(2, 1) по её координатам в репере R.

3. На расширенной прямой задан проективный репер R = {A1, A2, E}, где Е – середина отрезка A1A2. Найти координаты несобственной точки M¥ прямой относительно репера R.

4. На расширенной прямой заданы точки A1,A2. Построить единичную точку Е проективного репера R = {A1, A2, E}, если известно, что несобственная точка M¥ прямой имеет координаты M¥(–1, 2) в репере R.

5. На расширенной плоскости задан проективный репер R = {A1, A2, A3, E}. Построить точку М(1, 2, 1) по её координатам в репере R.

6. Точка Е – центр тяжести D A1A2A3 на плоскости . Построить точку М(1, 1, –1) по её координатам в проективном репере R = {A1, A2, A3, E} на расширенной плоскости .

7. На расширенной плоскости задан проективный репер R = {A1, A2, M¥, E}. Построить точку М(1, 1, 2) по её координатам в репере R.

§4. Уравнение прямой

Пусть на проективной плоскости выбран проективный репер R = {A1, A2, A3, E}. Прямая d задана точками А(a1, a2, a3) и В(b1, b2, b3). Найдем уравнение прямой d.

Возьмем точку М принадлежащую прямой d. Пусть точка М имеет координаты (х1, х2, х3)относительно проективного репера R. Рассмотрим векторы , , , порождающие точки А, В и М соответственно. Так как точки А, В и М коллинеарны, то есть лежат на одной прямой, то векторы , , линейно зависимы, то есть один из них является линейной комбинацией других:  = l + l, где (a1, a2, a3) и (b1, b2, b3). Последнее векторное равенство запишем в координатной форме:

,

, (1)

.

Уравнения (1) называют параметрическими уравнениями прямой d, l и m любые действительные числа, не равные нулю одновременно, называются параметрами.

Так как векторы , , линейно независимы, то

=0 (2)

(2) – уравнение прямой, проходящей через две точки.

Разложим определитель третьего порядка (левой части уравнения (2)) по элементам первой строки, получим:

u1x1 + u2x2 + u3x3 = 0, (3)

u1 = , u2 = , u3 = .

Так как rg=2 то миноры второго порядка не равны нулю одновременно .

(u1, u2, u3) называют координатами прямой.

Координаты прямой определяются с точностью до постоянного множителя.

Задача 1.

На проективной плоскости задан репер

R = {A1, A2, A3, E}. Еa – проекция точки Е из центра Аa на прямую (АbАg) (a, b, g = ). Найти уравнения координатных прямых (АaАb) и (АaЕa) относительно R.

Решение.

Так как точки A1, A2 имеют кооординаты A1(1, 0, 0), A2(0, 1, 0), то уравнение прямой (A1A2) имеет вид:

или х3 = 0.

Аналогично получаем уравнения двух других координатных прямых:

(А2А3): х1 = 0;

(А3А1): х2 = 0.

Составим уравнение прямой (А1Е1):

u1x1 +u2x2 + u3x3 = 0.

Если точка А1 Î (А1Е1), то координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой:

u1 + u20 + u30 = 0 или u1 = 0.

Е Î (А1Е1), Е(0, 1, 1).

u10 + u21 + u31 = 0 или u2 = –u3.

Уравнение прямой примет вид:

u2x2 – u2x3 = 0, u2 ¹ 0;

(А1Е1): х2 – х3 = 0.

Аналогично уравнения прямых:

(А2Е2): х1 – х3 = 0, (А3Е3): х1 – х2 = 0.

Задача 2.

Доказать, что точки А(а1, а2, а3), В(b1, b2, b3), С(с1, с2, с3) с координатами в проективном репере R = {A1, A2, A3, E} лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда

Решение.

Если точки А, В, С лежат на одной прямой, то векторы, их порождающие: , , линейно независимы, то есть

И обратно, пусть условие (1) выполнено, тогда векторы , , линейно зависимы. Значит, точки p() = А, p() = В, p() = С принадлежат одной прямой.

Задача 3.

Найдите координаты точки пересечения прямых 2х1 + х2 + х3 = 0 и 3х1 + 3х2 +  2х3 = 0.

Решение.

Точка пересечения заданных прямых удовлетворяет системе линейных уравнений:

Из курса алгебры известно, что общее решение этой системы находится по формулам:

x1 = l, x2 = l, x3 = l.

Поэтому для указанной системы x1 = –l, x2 = –l, x3 = 3l. Значит, точка пересечения имеет координаты
(–1, –1, 3).

Задача 4.

Какова особенность расположения прямой (AB) относительно репера R = {A1, A2, A3, E} на проективной плоскости, если первые пары координат точек A(a1, a2, a3), B(b1, b2, b3) пропорциональны.

Решение.

По условию a1 = lb1, a2 = lb2,

Запишем уравнение прямой (AB):

Разложив по элементам первой строки определитель, получим:

(AB): u1x1 + u2x2 = 0, где u1 = , u1 = .

Уравнению прямой (AB) удовлетворяют координаты A3 (0, 0, 1) вершины репера R. Следовательно, прямая AB проходит через координатную точку A3 проективного репера R.

Задача 5.

Построить прямую x1 + 2x2 – 2x3 = 0 по её координатам относительно проективного репера R на расширенной плоскости.

Решение.

Для построения прямой нужно знать две её точки. Найдём их, положим x1 = 0, x2 = 1. Тогда точка M имеет координаты (0, 1, 1). Аналогично, найдём вторую точку прямой N(2, 0, 1).

Построим точки М и N по их координатам относительно репера R на расширенной плоскости. Видим, что М = Е1 – проекция точки Е из А1. Точка N лежит на прямой А1А3, то есть N = N2. Строим проекцию N2 точки N из центра А2. Точка N2 имеет координаты (2, 1) относительно R2 = {A1, A3, E2}. Искомая прямая проходит через точки Е1 и N2.

Задача 6.

Пусть на проективной плоскости заданы две различные прямые а: аaхa = 0 и b: baхa = 0 (a = ) своими уравнениями относительно репера R. Доказать, что уравнение:
(*) lаaхa + mbaхa = 0, где l и m принимают вещественные значения, не равные нулю одновременно, определяет пучок прямых на проективной плоскости.

Решение.

1. Покажем, что любая прямая пучка, заданного парой пересекающихся прямых а и в, имеет уравнение (*).

2. Уравнение (*) есть уравнение прямой, принадлежащей пучку.

Возьмём любую прямую l пучка на проективной плоскости, заданную уравнением : u1x1 + u2x2 + u3x3 = 0. Так как прямые проходят через одну точку, то:

 = 0, то есть

u1 = la1 + mb1,

u2 = la2 + mb2,

u3 = la3 + mb3.

Уравнение прямой l запишется в виде:

(la1 + mb1) х1 + (la2 + mb2) х2 + (la3 + mb3) х3 = 0 или

l(а1х1 + а2х2 + а3х3) + m (b1х1 + b2i2 + b3х3) = 0.

Имеем уравнение (*). Покажем, что это уравнение определяет прямую, принадлежащую пучку, определяемому прямыми а и b.

Допустим противное, то есть

la1 + mb1 = la2 + mb2 = la3 + mb3 = 0.

А это означает, что координаты прямых а и b пропорциональны. Получили, что прямые а и b совпадают, что противоречит условию задачи.

Значит, уравнение (*) определяет на Р2 прямую l.

Покажем, что точка С =а Ç b принадлежит прямой l, определяемой уравнением (*):

так как	С Î а, то а1с1 + а2с2 + а3с3 = 0	(**)
	С Î b, то b1с1 + b2с2 + b3с3 = 0.

Подставим координаты точки С в уравнение (*):

l(а1с1 + а2с2 + а3с3) + b(b1с1 + b2с2 + b3с3) = 0.

То есть, уравнение (*) есть уравнение прямой, проходящей через точку С = а Ç b.

Задачи для самостоятельной работы.

1. Найти уравнение прямой на P2 относительно репера R = {A1, A2, A3, E} если она проходит через точки A(2, 3, 2), B(4, –1, 0).

2. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точки A(1, 1, 2), B(2, 3, 1), имеющие координаты относительно репера R.

3. Найти точку пересечения прямых 2x1 – 3x2 + 5x3 = 0 и x1 + x2 + 3x3 = 0, имеющие данные уравнения относительно репера R.

4. Доказать, что на P2 прямая a(a1, a2, a3) с координатами относительно репера R = {A1, A2, A3, E} проходит через вершину Aa тогда и только тогда, когда aa = 0.

5. Какова особенность расположения точки M пересечения прямых a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3) относительно репера R если первые пары координат этих прямых пропорциональны?

6. Какова особенность прямой l(1, 1, 1) относительно проективного репера R = {A1, A2, A3, E} на расширенной плоскости, если единичная точка репера является точкой пересечения медиан координатного треугольника.

7. Доказать, что прямые a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3), c(c1, c2, c3) с координатами относительно репера R имеют общую точку тогда и только тогда, когда:

 = 0.

8. Единичная точка E репера R = {A1, A2, A3, E} на расширенной плоскости является точкой пересечения медиан DA1A2A3. Найти координаты несобственных точек сторон DA1A2A3 и координаты несобственных точек его медиан относительно репера R.

9. Построить прямую a(1, 2, –2) по её координатам относительно заданного на расширенной плоскости проективного репера R = {A1, A2, A3, E}.

10. В пучке прямых на P2, заданном парой прямых
2x1 – 3x2 + 5x3 = 0 и x1 + x2 + 3x3 = 0 относительно репера R = {A1, A2, A3, E}, найти прямую проходящую через точку A(1, 1, 3).

§5. Преобразование проективных координат на проективной прямой и на проективной плоскости

1. Пусть на проективной плоскости R2 задан проективный репер R = {A1, A2, A3, E}. Наряду с проективным репером R возьмем еще один проективный репер R¢ = {A1¢, A2¢, A3¢, E¢}. Причем известно положение нового репера относительно старого, то есть известны координаты новых координатных точек A1¢, A2¢, A3¢ и единичной точки E¢ относительно репера R:

A1¢ = (),

A2¢ = (),

A3¢ = (), (1)

E¢ = ().

Пусть точки A1, A2, A3, E порождаются векторами , , . Причем будем считать, что система векторов {, , , } согласована с репером R, то есть вектор порождает точку A1, вектор – точку А2, вектор – точку А3, а их сумма  +  +  порождает точку Е. В обозначениях, ранее введенных, это выглядит так:p() = A1, p() = A2, p() = A3, p() = Е,  =  +  + .

Обозначим ¢, ¢, ¢, ¢ векторы, порождающие соответственно точки A1¢, A2¢, A3¢, E¢. Их можно разложить по векторам , , следующим образом (см. §3):

,

, (2)

,

.

Пусть М – произвольная точка проективной плоскости и пусть она имеет координаты (х1, х2, х3) в репере R, а в репере R¢ – М(у1, у2, у3). Найдем связь между координатами точки М относительно реперов R, R¢, то есть получим формулы, выражающие старые координаты точки М через её новые координаты.

Возможны 2 случая:

1. Система векторов ¢, ¢, ¢, ¢ согласована относительно репера R¢, то есть вектор ¢, порождающий точку E¢ равен сумме векторов, порождающих точки A1¢, A2¢, A3¢:

¢ = ¢ + ¢ + ¢ (3)

Из (2) и (3) следует, что в этом случае выполняется совокупность равенств (4):

,

, (4)

.

Из того, что точка М имеет координаты (х1, х2, х3) в репере R, следует, что вектор , порождающий точку М (p() = М), имеет координаты { х1, х2, х3} относительно базиса {, , }. Из того, что М(у1, у2, у3)R¢ следует, что вектор , имеющий координаты {у1, у2, у3} относительно базиса {¢, ¢, ¢} также порождает точку М. Тогда по первой аксиоме проективного простраенства  = l, l ¹ 0. В последнем равенстве разложим векторы и по векторам соответствующих базисов:

у1¢ + у2¢ + у3¢ = l(х1 + х2 + х3).

Вместо ¢, ¢, ¢ подставим их разложения из формул (2)

у1 + у2 + 
+ у3 = l(х1 + х2 + х3). (5)

Так как векторы , , линейно независимы, то, приравнивая коэффициенты при соответствующих векторах в левой и правой частях формулы (5), получим искомые формулы преобразования координат:

lх1 = у1 + у2 + у3,

lх2 = у1 + у2 + у3, (6)