Введение (стр. 1 )

Введение

Обычная геометрия, изучаемая в средней школе, имеющая дело с окружностями, углами, параллельными прямыми, подобными треугольниками и так далее, называется евклидовой геометрией, потому что впервые она была систематически изложена греческим геометром Евклидом, который жил приблизительно за триста лет до нашей эры. Его сочинение «Начала» – одна из наиболее известных книг в митре: вероятно, только библия является единственной соперницей «Начал» Евклида по количеству появившихся на свет экземпляров и числу языков, на которые они были переведены. «Начала» с весьма незначительными изменениями до сих пор годятся для обучения юношества.

В девятнадцатом веке наблюдалась тенденция выделять из евклидовой геометрии некоторые положения особо простого содержания, в особенности положения, не включающие в себя понятия об измерении расстояний и углов, и использовать их для построения более общих систем, известных под названиями аффинная геометрия и проективная геометрия. Что означают эти термины, выяснится после того, как мы рассмотрим некоторые виды проектирования. Для этой цели нам потребуются некоторые интуитивные понятия пространственной геометрии.

Эти новые системы могут быть признаны более общими, так как они не только позволяют с новой точки зрения рассмотреть саму евклидову геометрию, но и сами допускают развитие в других направлениях путем введения нового способа измерения. Аффинная геометрия может быть развита в геометрию Минковского пространственно-временного континуума, рассматриваемую в специальной теории относительности, а проективная геометрия может быть развита в различные виды «неевклидовой» геометрии, которые имеют отношение к более современным идеям релятивистской космологии.

§ 1. Возникновение проективной геометрии.
Центральное проектирование. Предмет проективной геометрии

Истоки проективной геометрии относятся к ХV веку. Расцвет живописи в эпоху возрождения вызвал появление теоретических исследований правил перспективы. Однако от первых шагов создания теории до того времени, когда эта теория оформилась в специальную науку – начертательную геометрию прошло триста лет. Почему? Художники эпохи Возрождения не могли даже и догадаться насколько общи и значительны идеи и закономерности, заложенные в учении о перспективе, а требования техники в XVI веке были ограниченными, нужды в точном техническом черчении не было, тем более в его теоретическом обосновании.

Первый шаг был сделан в 1639 г. французским архитектором Ж. Дезаргом и Б. Паскалем в 1640 году. Они изучали свойства фигур на евклидовой плоскости и в евклидовом пространстве, сохраняющиеся при центральных проектированиях.

Посмотрим, как осуществляется центральное проектировние. На рисунке 1 вы видите две плоскости p и s и точку O, не лежащую в этих плоскостях.

Возьмем любую точку М, лежащую на плоскости p. Проведем прямую ОМ и найдем , М´- проекция М (из центра О). Точке М поставим в соответствие ее проекцию из центра О. Между плоскостями p и s устанавливается соответствие, которое называется центральным проектированием.

Если на плоскости p будет задана фигура F, то множество проекций всех точек фигуры F на плоскости s называется проекцией фигуры F.

Принимая за центр проектирования различные точки и меняя положение плоскости p, мы будем получать различные проекции фигуры F. Например, проекцией отрезка АВ может быть отрезок А´В´ (рис. 2), луч А´В´ (рис. 3), два луча А´В´ и А´С´ (рис. 4). Значит, понятие отрезка не сохраняется при центральных проектированиях.

Понятие лежать «между», простое отношение трех точек не сохраняется при центральных проектированиях (рис. 4).

Проектируя окружность можно получить эллипс, параболу и даже гиперболу (рис. 5, 6, 7).

Проектируя правильный треугольник, можно получить треугольник произвольной формы. Таким образом, многие свойства фигуры не переносятся на ее проекцию. Точно также многие величины, связанные с фигурами, будут при проектировании, вообще говоря, меняться (длина отрезка, величина угла, простое отношение трех точек прямой и т. д.).

С другой стороны, фигуры обладают свойствами, которые сохраняются при любом центральном проектировании и с фигурами можно связать величины, сохраняющиеся при любом проектировании.

Такие свойства и величины называют инвариантами проектирования. Именно эти свойства фигур, инвариантные при любом центральном проектировании, французский геометр Ж. Понселе (1788–1867) назвал проективными свойствами и рассматривал их как объекты исследования в проективной геометрии.

Например, прямая при центральном проектировании переходит в прямую (рис.8).

Итак, «прямая» – объект изучения проективной геометрии. Есть и величины, сохраняющиеся при центральном проектировании. Такую величину нашел еще Дезарг:

– сложное отношение четырёх точек прямой.

Задача изучения проективных свойств фигур привлекала к себе внимание многих геометров, среди которых после Ж. Понселе следует назвать М. Шаля – французского геометра и швейцарского геометра – Я. Штейнера. Однако, у Я. Штейнера и М. Шаля как и у Ж. Понселе проективная геометрия выглядела как часть евклидовой геометрии. Превращение проективной геометрии в самостоятельную дисциплину было делом второй половины 19 века.

Важной предпосылкой для этого превращения было введение так называемых несобственных (или бесконечно удаленных) геометрических элементов.

С чем это связано?

Применение метода центрального проектирования в евклидовом пространстве встречает существенные затруднения.

Рассмотрим сначала простейший случай. Возьмем в пространстве две пересекающиеся прямые а и а¢ и точку О, которая принадлежит плоскости, определяемой прямыми а и а´, но не принадлежит этим прямым (рис. 9).

Будем проектировать точки прямой а на прямую а¢ из точки О. Берем , строим , которая в пересечении с прямой а, дает точку , называемую проекцией точки и т. д. Нетрудно видеть, что отображение не является взаимно однозначным. Действительно, на прямой а есть точка А, которая не имеет образа на а¢, и на прямой а¢ есть точка А¢, которая не имеет прообраза на прямой а, т. е. на прямой а мы не сможем указать точку, проекцией которой является точка А¢, т. к. эта точка должна быть точкой пересечения прямых а и (ОА¢), а эти прямые на евклидовой плоскости не пересекаются. То есть на евклидовой плоскости мы не можем говорить о взаимно однозначном отображении прямой а на прямую а¢ при центральном проектировании, а значит, мы не можем найти проекцию прямой а, так как не можем найти проекцию ее одной точки – точки А, прямую а¢ мы не можем назвать проекцией прямой а¢, т. к. точка А¢Î а¢ не служит проекцией никакой точки прямой а. Как устранить этот дефект центрального проектирования? Добавлением к каждой прямой несобственной точки. Добавим к прямой а¢ точку , которую будем считать проекцией точки А, а к точкам прямой а добавим несобственную точку , которая будет прообразом точки А¢ .Обозначим . Центральное проектирование прямой на ¢ стало взаимно однозначным отображением. Прямая называется еще расширенной прямой. Расширенную прямую назвали проективной прямой. Таким образом, к каждой прямой евклидовой плоскости добавляется несобственная точка. Причем параллельные прямые дополняются одной и той же несобственной точкой.

Множество всех несобственных точек евклидовой плоскости назовем несобственной прямой . Евклидова плоскость П, дополненная несобственной прямой называется расширенной плоскостью: .

Расширенную евклидову плоскость назвали проективной плоскостью.

Таким образом, в евклидовом пространстве к каждой плоскости добавлена несобственная прямая. Множество всех несобственных точек пространства называется несобственной плоскостью . Евклидово пространство, дополненное несобственной плоскостью называется расширенным евклидовым пространством. Его и назвали проективным пространством.

Легко видеть, что на расширенной плоскости любые две прямые пересекаются (в собственной или несобственной точке). Аналогично рассмотренному можно ввести понятие расширенной аффинной прямой, расширенной аффинной плоскости и расширенного трехмерного аффинного пространства.

Заметим, что при центральном проектировании несобственные (бесконечно удаленные) точки могут переходить в обычные (собственные) точки плоскости, то есть в проективной геометрии нет различия между бесконечно удаленными и обычными точками. Но пока проективная геометрия оставалась частью евклидовой, это равноправие было неестественным, так как методы евклидовой геометрии опираются на измерение, а метрика обязательно приводит к различию между конечными (собственными) и бесконечно удаленными (несобственными) точками плоскости.

Задача освобождения проективной геометрии от использования измерений была решена в конце 19 столетия. Существенную роль при этом сыграли работы немецкого математика К. Штаудта (1798–1867гг.).

Проективная геометрия, освобожденная от метрики, превратилась в самостоятельную дисциплину, имеющую свою собственную аксиоматику и собственную совокупность объектов. В начале XX века появляются различные системы аксиом проективного пространства. Мы познакомимся с одной из них. Она носит алгебраический характер и основана на понятии векторного пространства. Это позволяет использовать в изложении аппарат векторной алгебры, а, значит, упростить его.

§2. Аксиоматическое определение проективного пространства. Модели проективной прямой и проективной плоскости

1. Аксиоматическое определение
проективного пространства

Пусть дано непустое множество P = {А, В, С,…} и векторное пространство V размерности n+1, над полем вещественных чисел R. Элементы А, В, С,... множества P – произвольной природы. Обозначим V* - векторное пространство V без нулевого вектора : V*=V\{0}. Элементы множества V обозначим Пусть задано также отображение π: V*→P, которое каждому не нулевому вектору векторного пространства V ставит в соответствие элемент Х из множества P, будем обозначать π() = X Î P, " Î V.

Определение. Непустое множество называется проективным пространством n измерений (порожденным векторным пространством V), если задано отображение π: V*→P, удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам проективного пространства):

1.  Отображение π – сюрьективно, т. е. для любого элемента AÎP существует вектор , такой, что при отображении π вектор переходит в наперед заданный элемент AÎP. Другими словами, каждый элемент из P имеет прообраз.

2.  Образы двух векторов совпадают тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарные: π() = π() Û  = l, l ¹ 0

Элементы множества P называют точками проективного пространства. Если π() = Х, то говорят, что вектор порождает точку Х или точка Х порождается вектором . Из аксиомы 2 следует, что если вектор порождает точку Х, то вектор  = l (l ¹ 0, "lÎR) порождает ту же точку Х, т. е. одномерное подпространство {l} без нулевого вектора порождает точку Х проективного пространства. Так как неколлинеарные векторы порождают различные точки, то проективное пространство содержит вообще говоря бесконечное множество точек. Вместо поля R можно взять любое другое поле К. Можно показать, что если поле К – конечно, то n-мерное проективное пространство будет состоять из конечного множества точек.

Мы будем изучать, в основном, свойства проективного пространства двух измерений. Двумерное проективное пространство P2 будем называть проективной плоскостью. Проективная плоскость порождается трехмерным векторным пространством. Подпространство W2 Ì V3 без нулевого вектора порождает множество точек, которые называются проективной прямой. Проективная прямая является одномерным проективным пространством P1.

Можно показать также, что плоскость в трехмерном проективном пространстве является двумерным проективным пространством и называется проективной плоскостью.

Замечание. Почему нулевой вектор исключается при определении проективного пространства?

Предположим противное, то есть: π: V→P. Пусть π() = A. Возьмем "  ¹ ,  Î V. По аксиоме 2: π() = π(l). Пусть l = 0, тогда π() = π(0) = π() = A. Все векторы перейдут в один элемент А, что противоречит первой аксиоме.

2. Модели проективной прямой и
проективной плоскости.

Определение. Будем новорить, что множество P является моделью проективного пространства, если элементы этого множества имеют конкретную природу и задано отображение p некоторого векторного пространства с элементами конкретной природы на множество P, которое обладает свойствами 1 и 2 определения проективного пространства.

Рассмотрим модели проективной прямой.

I.  Пусть на аффинной или евклидовой плоскости задан пучок прямых с центром в точке O. Обозначим пучок прямых – П(O). П(O) = {a, b, c,…}. В роли множества P возьмем пучок прямых P = П(O). В роли векторного пространства возьмем множество направленных отрезков плоскости с началом в точке O: V = {, , , …}. Из курса аналитической геометрии известно, что множество направленных отрезков плоскости с общим началом является двумерным векторным пространством. Базис его состоит из двух неколлинеарных векторов. Зададим отображение π: V*→P по следующему закону: любому ненулевому вектору из V поставим в соответствие прямую пучка, на которой лежит этот вектор: π() = a, π() = b, …

Проверим выполнимость аксиом проективного пространства.

1.  Отображение π является сюрьекцией, так как для любой прямой пучка найдется вектор из векторного пространства, который при отображении перейдет в эту прямую.

2.  Покажем теперь, что образы двух векторов совпадают тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.

Необходимость. Пусть π() = π(), но π() = a, π() = b, тогда направленные отрезки и лежат на одной прямой, например, на прямой a, следовательно, они коллинеарны:  = l, l ¹ 0.

Достаточность. Если  = l, l ¹ 0, значит, направленные отрезки и лежат на одной прямой и при отображении эти векторы порождают одну и ту же прямую, следовательно, π() = π().

Обе аксиомы проективного пространства выполняются, таким образом, пучок прямых аффинной или евклидовой плоскости является одномерным проективным пространством, то есть проективной прямой. Точками проективной прямой в этой модели являются прямые пучка.

II. Построим другую модель проективной прямой, основанную на понятии расширенной аффинной или евклидовой прямой.

Возьмем на аффинной или евклидовой плоскости прямую d и рассмотрим пучок прямых П(O) с центром в точке O Ï d.

d

Построим отображение j прямых пучка на прямую d по следующему правилу: каждой прямой пучка поставим в соответствии точку, в которой эта прямая пересекает прямую d.

j: П(O) ® d, a Î П(O), j(a) = A, A = a Ç d.

Отображение j – инъективное, но не сюрьективное, так как не для каждой прямой пучка мы найдем точку прямой d, для которой она является образом. Например, для прямой пучка d0, параллельной прямой d, не найдется точки на прямой d, в которую при отображении переходит прямая d0. Значит, отображение j – не взаимооднозначное. Чтобы исправить это, добавим к прямой d несобственную точку D¥. Будем считать, что эта точка является образом прямой d0. Обозначим  = d È {D¥}

Теперь отображение j: П(O) ®  будет взаимно однозначным.

Мы показали, что пучок прямых является моделью проективной прямой. А так как между прямыми пучка и точками расширенной прямой существует взаимно однозначное соответствие, то и расширенная прямая является моделью проективной прямой.

II.  Возьмем на евклидовой плоскости окружность с центром в точке O. Отождествим диаметрально противоположные точки, то есть две диаметрально противоположные точки примем за одну.

P = {(A, A¢), (B, B¢), (C, C¢), …}

В роли векторного пространства возьмем множество направленных отрезков евклидовой плоскости с началом в центре окружности V = {, , , …}. Построим отображение π: V*→P по закону: π() = {(A, A¢)}, где A, A¢ – диаметрально противоположные точки окружности, а вектор лежит на прямой AA¢. Аксиомы 1 и 2 определения проективного пространства проверяются аналогично первой модели.

Таким образом, окружность евклидовой плоскости с отождествленными диаметрально противоположными точками является моделью проективной прямой. Проективная прямая замкнута, поэтому две точки на проективной прямой не будут определять отрезок.

Рассмотрим теперь модели проективной плоскости.

I.  Возьмем связку прямых аффинного или евклидового пространства.

Связка прямых – это совокупность прямых, проходящих через одну точку. Обозначим связку прямых С(O) и покажем, что это множество допускает структуру проективной плоскости, то есть связка прямых является моделью проективной плоскости. Проективными прямыми в этой модели будут являться прямые связки.

В роли векторного пространства рассмотрим множество направленных отрезков аффинного пространства с центром в точке O. Построим отображение π: V*→P по закону: каждому ненулевому вектору ставим в соответствие прямую a , которая содержит этот вектор: π() = a, a Î С(O).

Построенное таким образом отображение π обладает свойствами 1, 2 определения проективной плоскости. (Убедитесь самостоятельно.)

Пучки прямых связки С(О)– это проективные прямые в рассматриваемой модели. В этой интерпретации очевидным является утверждение, что любые две прямые на проективной плоскости пересекаются.

II.  Возьмем в аффинном или евклидовом пространстве плоскость и добавим к этой плоскости несобственную прямую. Мы получим расширенную плоскость  = П È d¥.

Возьмем произвольную точку O не принадлежащую плоскости и рассмотрим связку прямых с центром в точке O. Построим отображение j: С(O) ®  по правилу: любой прямой связки поставим в соответствие точку плоскости , которая является точкой пересечения прямой связки с этой плоскостью. Отображение j является взаимно однозначным образом прямой связки d0, параллельной плоскости П, то есть лежащей в плоскости П0, параллельной П, является несобственная точка прямой d¢. Прямая d¢ параллельна прямой d0 и принадлежит плоскости .

Так как связка прямых аффинного пространства является моделью проективной плоскости, то и расширенная плоскость также является моделью проективной плоскости.

III.  Рассмотрим сферу в евклидовом пространстве и связку прямых с центром в точке O. Каждая прямая связки пересекает сферу в двух точках. Чтобы установить взаимно однозначное соответствие между прямыми связки и точками сферы, отождествим диаметрально противоположные точки сферы. Построенный таким образом новый объект обозначим – сфера с отождествленными диаметрально противоположными точками. является моделью проективной плоскости. Это следует из того, что между прямыми связки С(O) и точками имеем взаимно однозначное соответствие. А так как связка прямых евклидовой плоскости является моделью проективной плоскости, то и сфера с отождествленными диаметрально противоположными точками – модель проективной плоскости.

IV.  Возьмем теперь полусферу в евклидовом пространстве. Диаметрально противоположные точки, лежащие на большой окружности (экваторе) отождествим. Получим модель проективной плоскости: полусферу с отождествленными диаметрально противоположными точками, лежащими на экваторе.

Существует множество моделей проективной прямой и проективной плоскости. Приведенные модели - наиболее распространенные.

Задача 1.

– двумерное векторное пространство над полем F2 вычетов по модулю 2. Доказать, что проективная прямая P() содержит три точки.

Решение.

Поле F2 вычетов по модулю 2 состоит из элементов 0, 1.  = F2 ´ F2 = {{0, 0}, {0, 1}, {1, 0}, {1, 1}}. – векторное пространство. Действительно, операции и сложения векторов и умножение вектора на элемент из поля F2 сводятся к сложению чисел и умножению чисел. Операции j1, j2 подчиняются всем аксиомам двумерного векторного пространства, базис которого {, },  = {0, 1},  = {1, 0}. Построим \{} =  = {{1, 0}, {0, 1}, {1, 1}}.

Векторы – попарно неколлинеарные. Через P обозначим множество проективных точек.

P = {(0, 1), (1, 0), (1, 1)} = {A, B, C}

π – есть отображение множества векторов V* на множество P, по правилу или π{0,1}=(0,1), π{1,0}=(1,0), π{1,1}=(1,1). Это отображение удовлетворяет аксиомам проективного пространства. А так как векторы {0, 1}, {1, 0}, {1, 1} попарно неколлинеарные, то точки A, B, C различны.

Задача 2.

Доказать, что проективная плоскость P(V) содержит по крайней мере, 7 точек.

Решение.

V3 – векторное пространство, порождающее проективную плоскость. B = {, , } – базис векторного пространства.

Рассмотрим систему векторов , , ,  + ,  + ,  + ,  +  + .