Оглавление по темам | 22.1 Геометрические преобразования плоскости | Оглавление по классам |
Осевой симметрией называется преобразование плоскости, при котором образом точки А плоскости будет точка А’, лежащая на перпендикуляре к оси симметрии в другой полуплоскости на таком же расстоянии от оси симметрии, что и точка А. |
| Sn(A)=A’ |
Поворотом вокруг точки О на угол |
| RO;α(A)=A’ |
Центральной симметрией относительно точки О называют преобразование плоскости, при котором точка О неподвижна, а образом любой другой точки А будет такая точка А’, что А’ лежит на прямой ОА по другую сторону от точки О и ОА=ОА’. |
| ZO(A)=A’ |
Параллельным переносом плоскости на вектор m называется такое преобразование плоскости, при котором образом точки А является такая точка А’, что |
| Tm(A)=A’ |
Переносная или скользящая симметрия – последовательное выполнение осевой симметрии и параллельного переноса на вектор, параллельный оси симметрии. |
| Wk, m=Tm○Sk |
называется такое преобразование плоскости, при котором точка О неподвижна, а образом любой другой точки А служит такая точка А’, что 
, и расстояние ОА’=ОА.
.
Движение это преобразование плоскости, сохраняющее расстояние.
Понятие конгруэнтности. Равными мы называем множества, которые совпадают. Но у заданной фигуры А и ее образа В множества точек различны.
Фигуры, которые могут быть совмещены друг с другом при помощи движения называются конгруэнтными.
Геометрические преобразования характеризуются двумя признаками: неподвижными точками и сохранением или изменением ориентации.
Преобразования первого рода сохраняют ориетацию, а второго рода – меняют.
Переносная симметрия - преобразование второго рода.
Ось переносной симметрии делит пополам любой отрезок, соединяющий точку с ее образом, если данная точка не принадлежит оси симметрии.
Вектор r определяется проекциями точки и ее образа на ось симметрии.
Оглавление по темам | 22.2 Композиции преобразований | Оглавление по классам |
Композицию движений можно заменить одним движением и наоборот, одно движение можно разложить на два или более движений.
Для того, чтобы понять какие это могут быть движения надо выяснить, меняется ли ориентация и есть ли неподвижные точки.
Композиция двух осевых симметрий с непараллельными осями представляет движение не меняющее ориентацию (четное число осевых симметрий) с неподвижной точкой О – пересечения осей. Значит, это может быть либо поворот, либо центральная симметрия (поворот на 1800). Если угол между осями α, то угол между точкой А и ее образом А” равен 2α.
|
|
; 
Итак, композиция двух осевых симметрий с непараллельными осями, угол между которыми равен α представляет собой поворот на угол 2α с центром в точке пересечения осей.
В случае, если угол между осями α=900 получаем центральную симметрию.
Обратно, любой поворот можно представить как композицию осевых симметрий, причем первая ось выбирается произвольно, а вторая повернута на угол, равный половине угла поворота и проходит через центр поворота.
Композицию осевых симметрий с параллельными осями можно представить в виде параллельного переноса и любой параллельный перенос можно представить в виде композиции осевых симметрий с параллельными осями.
Композиция центральных симметрий с разными центрами О1 и О2 представляет собой параллельный перенос на вектор 2О1О2, что следует из того, что О1О2 – средняя линия ΔAA’A”, и обратно, любой параллельный перенос на вектор m можно представить как композицию центральных симметрий, где центр О1 выбирается произвольно, а вектор О1О2 равен половине вектора m.
Композицией осевых симметрий представимо любое движение плоскости.
Это используют для определения вида преобразования.
Композиция поворота на угол α и параллельного переноса 
есть поворот вокруг некоторой точки на угол α.
| Разложим поворот и параллельный перенос на композиции осевых симметрий.
причем где
Разложим перенос на композицию осевых симметрий |
,
,
;
;
, где
=
=
,
