Материалы для папки по внеклассной работе (стр. 2 )

Ответ: 504.

Члены школьной редколлегии решили, что для оформления стенной газеты (рамка, фон, заголовок) необходимо из палитры цветов выбрать три. Сколькими способами это можно сделать, если у ребят в наличии имеется 12 цветов?

Решение: A123 = 12•11•10 = 1320.

Ответ: 1320.

Домашнее задание

На сколько увеличится количество способов в задаче 68, если на другой день, когда пришли ребята, на ярмарке появились ещё и саженцы осины?

( A103 = 10•9•8 = 720, 720 – 504 = 216).

Пусть словом считается любая последовательность из четырех букв. Сколько слов тогда можно составить из букв, составляющих слово КАЛЬКУЛЯТОР (если все буквы считать различными)?

( A114 = 11•10•9•8 = 7920 слов).

В предыдущей задаче часть слов будет отличаться расположением одинаковых букв «К». Во сколько раз уменьшится число слов в языке, если считать эти слова одинаковыми?

( В два раза, так как в слове есть две одинаковые буквы «К»).

Занятие 7. ( 2 декабря, 2005 года )

Сочетания из n элементов по k.

В некоторых задачах порядок расположения элементов последовательности не имеет значения, важно лишь то, какие именно элементы составляют эту последовательность.

Рассмотрим пример

("16") В одном классе сложилась традиция, по которой каждое утро мальчики каждый с каждым обмениваются рукопожатием. Сколько всего рукопожатий происходит каждое утро, если в данном классе 12 мальчиков?

Решение. Каждый из 12 мальчиков обменивается рукопожатием с 11 товарищами. Получается 12•11 = 132 рукопожатия. Однако каждое рукопожатие при таком подсчете учитывается дважды, т. е на самом деле рукопожатий в два раза меньше: 132 : 2 = 66.

Ответ: 66.

В данной задаче необходимо вычислить сочетания из n элементов по k:

Вообще, сочетанием из n элементов по r называется неупорядоченное подмножество из п элементов множества, имеющего k элементов.

Сочетание из n элементов по k отличается от подобного ему размещения тем, что порядок элементов в нем несуществен, т. е два сочетания, отличающиеся друг от друга только порядком элементов, считаются одинаковыми.

Такого рода задачи довольно распространены. Рассмотрим некоторые из них.

Решение упражнений

Школьное расписание содержит шесть уроков. Сколько всего можно составить таких расписаний при выборе из 12 учебных дисциплин (без учета порядка предметов)?

Решение:

=

=

=

924.

Ответ: 924

Из класса необходимо выбрать команду из двух человек для участия в районных соревнованиях. Преподаватель сказал, что это можно сделать 190 способами. Сколько человек в классе?

Решение. Число способов, которыми можно выбрать из нескольких человек группу по два человека разными способами, равно Сn2 и составляет 190 способов.

Ответ: 20.

Домашнее задание

("17") Даны две параллельные прямые. На одной выбрали шесть точек, а на второй восемь. Сколько существует различных треугольников с вершинами в этих точках?

(Подсчитаем отдельно число треугольников, у которых две вершины лежат на первой прямой и одна на второй, и число треугольников, у которых две вершины лежат на второй прямой и одна на первой: C61•C81 = 15•8 = 120 и C61•C82 = 15•8 = 168.

Итого имеем: 120 + 168 = 288 треугольников ).

Для оформления зала к празднику купили воздушные шарики различных цветов: белые, красные, зеленые, синие, розовые, голубые, фиолетовые, желтые. Сколькими способами можно составить связки по три шарика разного цвета?

Занятие 8. ( 16 декабря, 2005 года )

Треугольник Паскаля. Подведение итогов работы кружка.

Определить закономерность, по которой составлена данная последовательность чисел:

1

… … … … … …

Согласно найденной закономерности составить еще одну, седьмую, строку.

Решение: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.

Эта фигура, составленная указанным называется Треугольником Паскаля.

2. Вычислить: C43 ; C52; C61; C62; C63.

Решение: C43 = 6; C52 = 10; C61 = 6; C62 = 15; C63 = 20.

Пронумеруем строки треугольника Паскаля, и числа, стоящие на соответствующих местах, кроме первого и последнего. Что вы заметили? Например, числа C61; C62; C63 равны числам, стоящим соответственно на 1-м, 2-м и 3-м местах в шестой строке.

("18") Решение упражнений

С помощью треугольника Паскаля сделайте проверку к домашним задачам.

Подведение итогов работы кружка:

Обобщение изученного материала, оценка его сложности и роли в применении на практике.

Факультативные занятия по математике.

Как новая форма внеклассной работы факультативные занятия были введены в старших классах Постановлением Правительства от 01.01.2001г.

Главная цель: углубление и расширение программных знаний учащихся, развитие интереса школьника к предмету, их ознакомление с некоторыми общими идеями современной математики, воспитание и развитие их инициативы и творчества.

Тематическое планирование факультативных занятий

на I, II четверти.(1 занятие в неделю). Алгебра, 9 класс.

Метод математической индукции. (5 сентября, 2005) Последовательности. (12 сентября, 2005 ) Создание первых таблиц. (19 сентября, 2005) Номограммы с параллельными логарифмическими шкалами.(26 сентября, 2005) Логарифмическая линейка. Выпрямление криволинейных графиков.(3 октября, 2005) Правильные многоугольники. (10 октября, 2005) Инверсия. Построение образов точек и фигур при инверсии. (17 октября, 2005) Решение задач методом инверсии. Основные свойства инверсии (24 октября, 2005) Длина окружности и площадь круга. (31 октября)

10.–11. Сечение куба плоскостью. (14 ноября, 21 ноября, 2005)

Из истории тригонометрии. (28 ноября, 2005) ("19") Практическое применение тригонометрии. (5 декабря, 2005) Практические задачи на материале программы 9 класса. (19 декабря, 2005)

Занятие 7. ( 24 октября, 2005 года )

Инверсия. Построение образов точек и фигур при инверсии.

В школьном курсе геометрии изучаются такие преобразования плоскости, как движение, подобие, гомотетия и другие. Все эти преобразования представляют интерес для геометрии и имеют достаточно широкое применение при решении задач (особенно, преобразование подобия). Но все эти преобразования переводят прямую в прямую. Однако существует и другое преобразование, которое прямую может перевести в какую-либо другую фигуру. В частности, в окружность. Оно называется инверсией. Таким образом, инверсия позволяет при решении многих задач и доказательстве теорем переходить от сложных фигур(например, окружности) к более простым. Это важное свойство инверсии эффективно используется при решении многих геометрических задач. В частности, при решении задач на построение, связанных с касанием различных фигур.

Инверсией называется преобразование, которое каждой точке А ставит в соответствие точку А таким образом, чтобы А' Î ОА и ОА·ОА' = r2.

Построение образов точек при инверсии.

Рассмотрим алгоритм построения образов точек при инверсии.

Образы точек при инверсии будем обозначать А' = Á s (A).

Пусть нам дана окружность S с центром O и радиусом r.

Условимся обозначать:

[OA) – луч; (OA) – прямая; [OA] – отрезок; p – перпендикуляр;

Пусть точка А – внутренняя точка

окружности S.

[OA); p : [МA] ^ [OA]; (МA) – касательная к окружности S в точке М; ("20") А' : (МA')∩ [OA);

А' – образ точки A при инверсии относительно окружности S.

Пусть теперь точка А лежит

вне окружности S.

(OA); (МA) – касательная к окружности S , проходящая через точку А, М – точка касания; p : [МA'] ^ [OA]; A' : p ∩ (OA);

А' – образ точки A при инверсии относительно окружности S.

Инверсия ещё интересна и тем, что является более общим случаем симметрии. То есть, знакомая нам симметрия относительно прямой – частный случай инверсии, если прямую рассматривать как окружность бесконечного радиуса. Таким образом, преобразование инверсии представляет особый интерес для геометрии, так как обладает рядом удивительных и, в то же время, полезных свойств. Очень интересно наблюдать, как преображаются при инверсии привычные для нас фигуры в красивые сочетания других фигур. Ведь не просто же так inversio – обращение, преображение.

Решение задач.

Построить образ квадрата, если окружность инверсии:

а) вписана в него:

б) описана около него.

Решение.

a)

Пусть АВ = ВС = CD = AD = a.

Будем рассматривать ℑs а/2.

Точки K, L,M, N ÎS => они инвариантны. ℑs а/2(А) = А', K – инвариантная. Так как по 3 свойству инверсии образом прямой AD будет окружность, проходящая через центр инверсии, то точка О – третья точка, необходимая для построения образа. По трём точкам А', K, О строим окружность S1. ("21") Аналогично строим образы для остальных трёх прямых. Получаем искомую фигуру – образ квадрата АВCD.

б) Аналогично п. а) будем находить образы трёх точек каждой из сторон квадрата. Только в отличии от п. а), инвариантными точками будут вершины квадрата.

построить образ правильного шестиугольника при инверсии относительно окружности, если окружность инверсии описана около него.

Решение. пусть нам дан правильный шестиугольник ABCDEF и окружность инверсии S с центром в точке O, описанная около него.

Для того, чтобы найти образ всего шестиугольника, надо найти образы его сторон.

Найдем образ AB. Так как ВÎS, АÎS => они инвариантны. Третьей точкой, определяющей окружность (образ AB) будет точка O. Образом AB будет ⌣АmВ. Аналогично можно построить образы остальных сторон шестиугольника. Получаем искомую фигуру.

Игровые формы занятий по математике.

Математический бой.

"Математический бой – искусство коллективного разума и творческая работа каждого".

Математические бои зародились в Ленинграде примерно в 1965 году.

Идея матбоя проса: команды решают одни и те же задачи, потом по очереди рассказывают решения, а соперники их проверяют.

Матбой – соревнование двух команд по решению стандартных задач, в умении рассказывать решения у доски и оппонировать ответ соперника. Команды получают одинаковый набор задач и решают их в разных помещениях в течение заданного времени.

МатБой = Решение Задач + Бой.

Чтобы определить, в каком порядке команды будут рассказывать решение задач, команды делают "вызовы": одна называет номер задачи, а другая сообщает, принят ли вызов. Если вызванная команда хочет отвечать, то она выставляет докладчика, а другая команда – оппонента для проверки решения.

Командам могут даваться минутные перерывы для помощи докладчику или оппоненту. Если вызванная команда отказалась отвечать, то первая команда должна сама рассказать решение задачи. При этом, если оппонент докажет, что у докладчика нет решения, то вызов считается некорректным. Тогда вызванная команда должна повторить вызов. команда может отказаться делать очередной вызов(если у неё не осталось решённых задач и она не хочет делать некорректный вызов). тогда другая команда получает право рассказать решение любых неразобранных задач.

После каждого выступления жюри даёт командам очки как за доклад, так и за оппонирование.

Порядок проведения матбоя.

("22") Бой лучше проводить во время учёбы (во время уроков) по согласованности с администрацией школы.

Устанавливается точное время на решение задач, примерное время на бой, количество участников в командах фиксировано.

Перед началом решения задач жюри напоминают основные правила и согласовывают договорные условия.

Правила математического боя

Договорные условия.

предельное число выходов к доске одного человека – 2(неважно, в какой роли). число одноминутных перерывов – максимум 3. примерное время на доклад – 15 минут, по его истечении жюри решает, добавить время докладчику или передать его оппоненту. оппоненту дополнять докладчика, если он не нашел пробелов в решении, нельзя. разницу очков в конце боя считать ничейной, если она не больше 3. во время решения задач обычно разрешается пользоваться литературой и калькулятором, сотовым телефоном(в роли калькулятора), ноутбуком. выходить к доске с заранее записанным решением нельзя.

Проведение боя.

Бой начинается с конкурса капитанов, которым предлагается нетрудная задача на сообразительность. Конкурс заканчивается, когда один из капитанов дает правильный ответ. Команда, капитан которой дал верный ответ, получает право на первый вызов. Капитан этой команды называет номер задачи, решение которой хочет услышать. Вторая команда отвечает: " вызов принят, проверка корректности". Если вызов принят, то вторая команда вызывает докладчика, первая – оппонента.
если вызов корректен, то вызывавшая команда должна сама предъявить решение (выставить докладчика).

Докладчик – оппонент

В идеале докладчик говорит решение, потом отвечает на вопросы оппонента и жюри. В процессе доклада докладчика не прерывают. Время на обдумывание 1 минута. Команды могут помогать докладчику и оппоненту только во время минутного перерыва. Во время этого перерыва, команда может заменить докладчика или оппонента, при этом учитывается количество выходов к доске. Если оппонент согласен с решением докладчика и его команда не взяла минутный перерыв, то команда больше не участвуют в решении задачи. Докладчик и оппонент обращаются друг к другу на "Вы". За нарушение этого правила жюри может снять балл.

Докладчик завершает свой доклад словами "Доклад закончен".

Оппонент: "С решением согласен", "Частично согласен"(дополняет), "Не согласен"(почему, свой вариант).

Если вызов не принят, то вызывавшая команда предъявляет решение. Возможны два случая:

вызывавшая команда не стала отвечать
- вызов некорректен ("23") вызывавшая команда выставила докладчика
- проверка корректности

Проварка корректности.

Если оппонент показал, что у докладчика нет решения или жюри не приняло решения докладчика – вызов некорректен.

Ограничения на общение участников.

Капитан

Команда

Докладчик

Жюри

Задания для команд.

№1. Вычислить предел : ( ) .

№2. Докажите, что уравнения ax2 + bx + c = 0 (a¹0) и bx2 + cx + a = 0 имеют общий корень, то уравнение cx2 + ax + b = 0 имеет тот же корень.

№3. Первая корова съедает стог сена за один день, вторая – за два дня, третья – за три, . . . , десятая – за десять. Кто быстрее съест этот стог: первые две вместе, или остальные восемь вместе?

№4.

№5. Решите уравнение: .

№6. Докажите, что в произведении 1!*2!*3!*...*100! можно вычеркнуть один из множителей так, чтобы произведение оставшихся множителей оказалось квадратом целого числа.

№7.В остроугольном треугольнике ABC, ÐB=60°, AM, CN – высоты треугольника, Q – середина AC. Доказать, что треугольник MNQ равносторонний.

№8. Найти геометрическое место точек, из которых парабола

была бы видна под прямым углом.

("24") Протокол математического боя.

№ вызова	№ задачи	Команда №1	Кто кого вызывал	Команда №2	Жюри
Фамилия	Баллы	Фамилия	Баллы	Баллы

Олимпиады по математике.

ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЫ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 5-Х КЛАССОВ

(лицейский тур)

Задача 1.

Расшифруйте ребус: А + ВВ + А = ССС. Одинаковым буквам соответствуют, одинаковые цифры, разным – разные.

Решение:

Букве А соответствует цифра 6, букве В соответствует цифра 9, букве С соответствует цифра 1.

А+ВВ+А = ССС

6 + 99 + 6 = 111 - верное равенство.

Задача 2. Разрежьте квадрат на пять треугольников так, чтобы площадь одного из них равнялась сумме оставшихся.

("25") Решение:

S1 = S2 + S3 + S4 + S5

Задача 3. Один из пяти братьев испек маме торт. Никита сказал: «Это Глеб или Игорь». Глеб сказал: «Это сделал не я и не Дима». Игорь сказал: «Вы оба шутите». Андрей сказал: «Нет, один из них сказал правду, а другой обманул». Дима сказал: « Нет, Андрей, ты не прав». Мама знает, что трое из ее сыновей всегда говорят правду. Кто испек пирог?

Решение:

Рассмотрим отдельно три возможных случая.

1) Никита и Глеб оба лгут. Это значит, что Игорь говорит правду, Андрей лжет, Дима говорит правду.

2) Один из ребят (Никита или Глеб) говорит правду, а второй лжет. В этом случае Игорь лжет, Андрей говорит правду, Дима лжет.

3) Никита и Глеб оба говорят правду. Тогда Игорь и Андрей лгут, Дима говорит правду.

Лишь в третьем случае правду говорят трое из братьев. Значит, только этот случай мог иметь место. Поскольку Никита говорит правду, то пирог испек либо Глеб, либо Игорь. Однако Глеб (а он, как мы выяснили, тоже говорит правду) отрицает, что он это сделал. Значит, пирог испек Игорь. При этом Никита, Глеб и Дима сказали правду.

Задача 4. Напишите вместо пропуска число (буквами, а не цифрами!), чтобы получилось истинное предложение:

В ЭТОМ ПРЕДЛОЖЕНИИ... БУКВ

(к последнему слову, возможно, придется добавить окончание, чтобы фраза правильно звучала по-русски; считаются все буквы в предложении, в том числе, повторяющиеся).

Решение:

Предложение будет истинным, если вместо пропуска поставить слово «две»:

«В этом предложении тридцать две буквы».

Задача 5. В Простоквашинской начальной школе учится 20 детей. У любых двух из них есть дед. Докажите, что у одного из дедов в этой школе учится не менее 14 внуков (любой ребенок не может иметь более двух дедушек).

Решение:

Докажем сначала, что у учеников Простоквашинской начальной школы либо есть не более трех различных дедов, либо один дед является общим для всех детей. Представим ситуацию графически. Обозначим дедов точками на плоскости, соединив две точки отрезками, если соответствующие деды имеют общих внуков (хотя бы одного). Тогда по условию задачи, любые два нарисованных отрезка имеют общий конец. Рассмотрим два таких отрезка (если двух различных отрезков не существует, то все дети являются общими внуками двух дедов). Пусть это будут отрезки AB и AC. Тогда любой другой отрезок должен иметь либо конец в вершине A, либо два конца в вершинах B и C. При этом, если отрезок BC проведен, то никаких других отрезков, кроме AB, AC и BC быть не может.

Итак, граф имеет один из двух видов, приведенных на рис. 46. Первый из них соответствует случаю, когда все дети имеют общего деда, тем самым, у этого деда имеется 20 внуков среди учеников школы. Рассмотрим второй случай. Предположим, что дедов зовут Иван, Петр и Степан. Тогда все дети являются общими внуками, либо Ивана и Петра, либо Ивана и Степана, либо Петра и Степана. По крайней мере, у одной из этих пар (скажем, Степана и Петра) количество общих внуков не превосходит 6. Действительно, если бы у всех трех пар количество общих внуков было не меньше 7, то всего детей было бы не меньше 21, что противоречит условию (приведенное рассуждение фактически следует принципу Дирихле, хотя и в слегка модернизированном виде). Но тогда все остальные дети (а их не меньше 20 – 6 = 14) являются внуками Ивана.

Математический вечер.

("26") Геометрия вокруг нас

Цели. Знакомство с некоторыми основными геометрическими понятиями; учить детей ориентироваться в простейших геометрических ситуациях и обнаруживать геометрические фигуры в окружающей обстановке.

Оборудование. Развешены шары, на доске слова "Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии"; выставка книг, портретов;

плакаты "Геометрия путешествий".

Ход праздника

I. Вступительная часть

Ученик 1.

Почему торжественность вокруг.

Слышите, как быстро смолкла речь?

Это о царице всех наук

Начинаем мы сегодня вечер.

Ученик 2.

Не случайно ей такой почет,

Это ей дано давать ответы,

Как хороший выполнить расчет

Для постройки здания, ракеты.

Ученик 3.

Есть о математике молва,

Что она в порядок ум приводит.

Потому хорошие слова

("27") Часто говорят о ней в народе.

Ученик 4.

Ты нам, математика, даешь

Для победы трудностей закалку.

Учится с тобою молодежь

Развивать и волю, и смекалку.

И за то, что в творческом труде

Выручаешь в трудные моменты,

Мы сегодня искренне тебе

Посылаем гром аплодисментов.

II. Слово учителя

Учитель. Сегодня мы собрались на математический вечер, посвященный геометрии.

Что это такое - геометрия? В переводе с греческого это слово означает

"землемерие" ("гео" - земля, "метрио" - мерить). Такое название объясняется тем,

что зарождение геометрии было связано с различными измерительными работами,

которые приходилось выполнять при разметке земельных участков, проведении дорог,

строительстве зданий и других сооружений. В результате этой деятельности

появились и постепенно накапливались различные правила, связанные с

геометрическими измерениями. Таким образом, геометрия возникла на основе

практической деятельности людей и в начале своего развития служила

("28") преимущественно практическим целям.

В дальнейшем геометрия сформировалась как самостоятельная наука, в которой

изучаются геометрические фигуры и их свойства.

Сейчас вас приглашают заглянуть на геометрический съезд, где заседают

геометрические фигуры. Слушайте внимательно +выступления каждой фигуры и запомните их свойства.

III. Геометрический съезд (инсценировка)

Шар.

Я открываю заседанье

И должен высказать, что очень рад

Приветствовать почетное собранье.

Определим гостей подряд и выясним их званье.

Конус.

Здесь перед вами их анкеты,

Где точно все изложены ответы.

Шар.

Нет, пусть они рассказывают сами,

Какие свойства их, как их зовут.

Ты их рассказ проверишь чертежами...

Пусть младшие начнут.

Перед Шаром становится Точка.

("29") Шар. Кто тут? Я ничего не вижу!

Цилиндр. Будь добр и подойди поближе.

Точка.

Я невидимка. В этом суть моя,

Коль веришь ты, что существую я,

Одна лишь бытию пылинки мера:

В ее существование вера.

Меня всегда изображают

Прикосновением пера иль мела

И буквою одной обозначают.

Но я пред всеми заявляю смело,

Что без меня и линий нет:

Они - движенья точки след.

Хотя меня нельзя измерить,

Настолько я ничтожна и мала,

Но все собрание могу уверить,

Что в геометрии я пользу принесла:

Двух линий я пересеченье,

Служу всегда вершиною угла.

Шар.

("30") Хоть ты действительно мала,

Но и полезна, в этом нет сомненья.

(Обращается к Секретарю.)

Чья дальше очередь?

Конус. Не знаю.

По списку, впрочем, линия Прямая.

Перед Шаром становится Прямая линия.

Прямая.

Я здесь. Сейчас я вертикальна,

Могу, однако же, принять любой наклон,

Могу и лечь горизонтально.

Шар. Фигурам служите вы в качестве сторон?

Прямая.

Не в этом только наше назначенье:

Я между точек двух короче линий всех,

Притом одно имею измеренье.

Шар.

Что ты худа, считать нельзя за грех,

А рядом кто с тобой?

Прямая. Моя сестра родная.

("31") Кривая.

Зовусь я линия Кривая.

В двух точках встретившись с прямой,

Всегда тянусь за ней дугой.

Подкатывает Окружность.

Окружность. А я - Окружность, вам я, Шар, родня.