Материалы для папки по внеклассной работе (стр. 1 )

Нижегородский Государственный

Педагогический Университет

Материалы для папки по

внеклассной работе

Выполнила:

331группа

Нижний Новгород

2005

Содержание

Высказывания, стихи, афоризмы, цитаты о математике…………………………3 Очерки о математиках………………………………………………………………7 Кружковые занятия по математике……………………………………………….12 Факультативные занятия по математике…………………………………………21 Математический бой………………………………………………………………25 Олимпиады по математике………………………………………………………..31 Математический вечер…………………………………………………………….33 Неделя математики в школе………………………………………………………42 "Занимательная страничка"……………………………………………………….48 Список литературы………………………………………………………………..51

("1") Высказывания, стихи, афоризмы, цитаты о математике.

Математика – царица наук, а арифметика – царица математики.

К. Гаусс

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то заполните свою голову математикой, пока есть к тому возможность.

Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит. .

Великая книга природы написана математическими символами.

Галилео Галилей.

В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии. .

Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательным. Б. Паскаль

В математических вопросах нельзя пренебрегать даже с самыми мелкими ошибками. И. Ньютон

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть - и далее подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели. Г. Лейбниц

Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, - это быть точным, второе - быть ясным и, насколько можно, простым. Л. Карно

Математике должно учить в школе еще с той целью, чтобы познания, здесь приобретаемые, были достаточными для обыкновенных потребностей в жизни.

Много из математики не остается в памяти, но когда поймешь ее, тогда легко при случае вспомнить забытое.

Задача заключается не в том, чтобы учить математике, а в том, чтобы при посредстве математике дисциплинировать ум. В. Шрадер

Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах. Г. Цейтен

...Математика - это цепь понятий: выпадет одно звенышко - и не понятно будет дальнейшее.

Лучший способ изучить что-либо - это открыть самому. Д. Пойа

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их! Д. Пойа

("2") Трудность решения в какой-то мере входит в само понятие задачи: там, где нет трудности, нет и задачи. Д. Пойа

Умственный труд на уроках математики - пробный камень мышления.

Математика уступает свои крепости лишь сильным и смелым.

Доказательство - это рассуждение, которое убеждает.

Как и другие науки, математика возникла из практических нужд людей: из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и их механики. Ф. Энгельс

Великая книга природы написана математическими символами. Галилео Галилей

Особенно нравится математика вероятностью и очевидностью своих рассуждений. Р Декарт

Высшее назначение математики... состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает. Н. Венер

Я не верю, что человек может быть не способен к математике.

Изучайте математику! Если будете знать математику, будете знать все.

А. Крылов

Математика принадлежит к числу тех наук, которые ясны сами по себе. К. Якоби

МАТЕМАТИКИ - своего рода французы. Когда говоришь с ними, они переводят твои слова на свой язык, и вот сразу получается нечто совершенно иное.

Особенно нравится математика вероятностью и очевидностью своих рассуждений. Р. Декарт

Многие линии простираются до таких пределов, о которых мы понятия не имеем, и иметь не хотим.

Не стоит лишний раз умножать числа - их и так уже достаточное количество.

В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики. И. Кант

В математике нет символов для неясных мыслей. Анри Пуанкаре

Ключевой вопрос математики: не все ли равно? В. Шендерович

("3") Он стал поэтом - для математика у него не хватало фантазии. Давид Гильберт.

Стих о математике.

В этом мире, где все переменчиво,

Где понятий идет акробатика,

Есть опора, незыблемость, прочность…

И название ей – математика!

Даже в физике близкой по духу

Есть фотон – то волна, то частица.

А квадрат остается квадратом.

С ним ничто никогда не случится.

И в эпоху больших революций,

Среди бед и лишений напрасных,

Дважды два остается четыре

И при белых и даже при красных.

А с грибами в родной биологии

Разве можно определиться?

Не животные, и не растения…

Но к чему ж им тогда относиться?

Да и в «русском» все важные правила

Не обходятся без исключения.

("4") Но везде, сколько б ты не пытался,

А на ноль невозможно деление!

Словом, если для важных свершений

Вам надежную нужно опору.

На царицу наук опирайтесь.

С ней любую свернете вы гору!

Теореме Пифагора

И. Дырченко

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим —

И таким простым путем

К результату мы придем.

О теореме Пифагора

А. фон Шамиссо
( Хованского)

Уделом истины не может быть забвенье,

Как только мир ее увидит взор;

("5") И теорема та, что дал нам Пифагор,

Верна теперь, как в день ее рожденья.

За светлый луч с небес вознес благодаренье

Мудрец богам не так, как было до тех пор.

Ведь целых сто быков послал он под топор,

Чтоб их сожгли как жертвоприношенье.

Быки с тех пор, как только весть услышат,

Что новой истины уже следы видны,

Отчаянно мычат и ужаса полны:

Им Пифагор навек внушил тревогу.

Не в силах преградить той истине дорогу

Они, закрыв глаза, дрожат и еле дышат.

Теорема Виета

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни — и дробь уж готова:

В числителе с, в знаменателе а,

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь эта, что за беда —

("6") В числителе с, в знаменателе а.

Очерки о математиках.

АРХИМЕД (ок. 287—212 гг. до н. э.)

Об Архимеде — великом математике и механике — известно больше, чем о других ученых древности. Прежде всего достоверен год его смерти — год падения Сиракуз, когда ученый погиб от руки римского солдата. Впрочем, историки древности Полибий. Ливий, Плутарх мало рассказывали о его математических заслугах, от них до наших времен дошли сведения о чудесных изобретениях ученого, сделанных во время службы у царя Гиерона II. Известна история о золотом венце царя, чистоту состава которого Архимед проверил при помощи найденного им закона выталкивающей силы, и его возгласе «Эврика!», т. е. «Нашел!». Другая легенда рассказывает, что Архимед соорудил систему блоков, с помощью которой один человек смог спустить на воду огромный корабль «Сиракосия», Крылатыми стали произнесенные тогда слова Архимеда: «Дайте мне точку опоры, и я поверну Землю».

Инженерный гений Архимеда с особой силой проявился при осаде Сиракуз, богатого торгового города на острове Сицилия.

Воины римского консула Марцелла были надолго задержаны у стен города невиданными машинами: мощные катапульты прицельно стреляли каменными глыбами, в бойницах были установлены метательные машины, выбрасывающие грады ядер, береговые краны поворачивались за пределы стен и забрасывали корабли противника каменными и свинцовыми глыбами, крючья подхватывали корабли и бросали их вниз с большой высоты, системы вогнутых зеркал (в некоторых рассказах — щитов) поджигали корабли. В "Истории Maрцелла" Плутарх описывает ужас, царивший в рядах римских воинов: "Как только они замечали, что из-за крепостной стены показывается веревка или бревно, они обращались в бегство с криком, что этот Архимед ещё выдумал новую машину на их погибель".

Огромен вклад Архимеда и в развитие математики. Спираль Архимеда (см. Спирали), описываемая точкой, двигающейся по вращающемуся кругу, стояла особняком среди многочисленных кривых, известных его современникам. Следующая кинематически определенная кривая — циклоида— появилась только в XVII в. Архимед научился находить касательную к своей спирали (а его предшественники умели проводить касательные только к коническим сечениям), нашел площадь ее витка, а также площадь эллипса, поверхности конуса и шара, объемы шара и сферического сегмента. Особенно он гордился открытым им соотношением объема шара и описанного вокруг него цилиндра, которое равно 2:3 (см. Вписанные и описанные фигуры)-

Архимед много занимался и проблемой квадратуры круга (см. Знаменитые задачи древности). Ученый вычислил отношение длины окружности к диаметру (число π) и

нашел, что оно заключено между и. Созданный им метод вычисления

длины окружности и площади фигуры был существенным шагом к созданию дифференциального и интегрального исчислений, появившихся лишь 2000 лет спустя.

Архимед нашел также сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 1/4. В математике это был первый пример бесконечного ряда.

Большую роль в развитии математики сыграло его сочинение «Псаммит» –

«О числе песчинок», в котором он показывает, как с помощью существовавшей системы счисления можно выражать сколь угодно большие числа. В качестве повода для своих рассуждений он использует задачу о подсчете количества песчинок внутри видимой Вселенной. Тем самым было опровергнуто существовавшее тогда мнение о наличии таинственных "самых больших чисел".

КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС (1777—1855)

Математические вычисления заменили Гауссу обычные детские игры. Он делил единицу на все простые числа p из первой тысячи подряд, подмечая, что десятичные знаки рано или поздно начинают повторяться. Рассмотрев большое количество примеров, Гаусс доказал, что число цифр в периоде не превосходит p-1 и всегда является делителем p-1. Он интересовался случаями, когда период в точности равен p-1, и это постепенно привело его к первому открытию.

Ученый доказал, что правильный n-угольник, где n — число простое, может быть построен циркулем и линейкой в том, и только в том случае, когда n имеет вид 22 +1. Например, если k=0, 1, 2, 3, то правильные трех-, пяти-, семнадцати - и 257-угольники можно построить циркулем и линейкой, а семиугольник — нельзя. Еще древние математики (в их числе Архимед) умели строить циркулем и линейкой правильные n-угольники при n=3, 4, 5, 6 и вообще при n=2"; 2k *3; 2k *5; 2k *15, и только такие. Ученые безуспешно пытались построить правильный семиугольник, девятиугольник. А Гаусс дал полное решение проблемы, над которой трудились ученые в течение 2 тыс. лет.

С этого момента девятнадцатилетний Гаусс окончательно решил заниматься математикой (до этого он yе мог сделать выбор между математикой и филологией). И всего через 9 дней в его дневнике появляется запись о втором открытии. Гаусс доказал так называемый квадратичный закон взаимности — один из основных в теории чисел. Этот закон открыл еще Л. Эйлер, но доказать его не смог.

С именем Гаусса связаны многие замечательные страницы в истории математики. Он дал доказательство основной теоремы алгебры (всякое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет корень). Гаусс создал теорию поверхностей. До него были изучены геометрии только на двух поверхностях: на плоскости (планиметрия Евклида) и на сфере (сферическая геометрия). Гаусс нашел способ построения геометрии на любой поверхности, определил, какие линии играют на поверхности роль прямых, как мерить расстояния между точками на поверхности и т. д. Теория Гаусса получила название внутренней геометрии. Он не опубликовал своих работ по неевклидовой геометрии и теории эллиптических функций.

Гаусс занимался также астрономией, электромагнетизмом. Ему удалось вычислить орбиту малой планеты (астероида) Цереры. Решение этой сложной задачи принесло ученому известность, и он был приглашен заведовать кафедрой математики и астрономии, с которой была связана должность директора Геттингенской обсерватории. Этот пост Гаусс не покидал до конца жизни. Результаты своих исследований по астрономии Гаусс объединил в фундаментальном труде «Теория движения небесных тел».

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707—1783)

("7") Эйлер, крупнейший математик XVIII в., родился в Швейцарии. В 1727 г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. В Петербурге Эйлер попал в круг выдающихся ученых: математиков, физиков, астрономов, получил большие возможности для создания и издания своих трудов. Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира.

Научное наследие Эйлера поражает своим объемом и разносторонностью. В списке его трудов более 800 названий. Полное собрание сочинений ученого занимает 72 тома. Среди его работ — первые учебники по дифференциальному и интегральному исчислениям.

В теории чисел Эйлер продолжил деятельность французского математика П. Ферма и доказал ряд утверждений: малую теорему Ферма, великую теорему Ферма для показателей 3 и 4 (см. Ферма великая теорема). Он сформулировал проблемы, которые определили горизонты теории чисел на десятилетия.

Эйлер предложил применить в теории чисел средства математического анализа и сделал первые шаги по этому пути. Он понимал, что, двигаясь дальше, можно оценить число простых чисел, не превосходящих n, и наметил утверждение, которое затем докажут в XIX в. математики и Ж. Адамар.

Эйлер много работает в области математического анализа. Здесь он постоянно пользуется комплексными числами. Его имя носит формула еix = cos x + i·sin x, устанавливающая связь тригонометрических и показательной функций, возникающую при использовании комплексных чисел.

Ученый впервые разработал общее учение о логарифмической функции, согласно которому все комплексные числа, кроме нуля, имеют логарифмы, причем каждому числу соответствует бесчисленное множество значений логарифма.

В геометрии Эйлер положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в самостоятельную науку — топологию.

Имя Эйлера носит формула, связывающая число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) выпуклого многогранника: В-Р+Г=2.

Лаже основные результаты научной деятельности Эйлера трудно перечислить. Здесь и геометрия кривых и поверхностей, и первое изложение вариационного исчисления с многочисленными новыми конкретными результатами. У него были труды по гидравлике, кораблестроению, артиллерии, геометрической оптике и даже по теории музыки. Он впервые лает аналитическое изложение механики вместо геометрического изложения Ньютона, строит механику твердого тела, а не только материальной точки или твердой пластины.

Одно из самых замечательных достижений Эйлера связано с астрономией н небесной механикой. Он построил точную теорию движения Луны с учетом притяжения не только Земли, но и Солнца. Это пример решения очень трудной задачи.

Последние 17 лет жизни Эйлера были омрачены почти полной потерей зрения. Но он продолжал творить так же интенсивно, как в молодые годы. Только теперь он уже не писал сам, а диктовал ученикам, которые проводили за него наиболее громоздкие вычисления.

Для многих поколений математиков Эйлер был учителем. По его математическим руководствам, книгам по механике и физике училось несколько поколений. Основное содержание этих книг вошло и в современные учебники.

ПИФАГОР (ок. 570 — ок. 500 гг. до н. э.)

Письменных документов о Пифагоре Самосском не осталось, а по более поздним свидетельствам трудно восстановить подлинную картину его жизни и достижений. Известно, что Пифагор покинул свой родной остров Самос в Эгейском море у берегов Малой Азии в знак протеста против тирании правителя и уже в зрелом возрасте (по преданию, в 40 лет) появился в греческом городе Кротоне, на юге Италии- Пифагор и его последователи—пифагорейцы —образовали тайный союз, игравший немалую роль в жизни греческих колоний в Италии. Пифагорейцы узнавали друг друга по звездчатому пятиугольнику — пентаграмме.

На учение Пифагора большое влияние оказала философия и религия Востока. Он много путешествовал по странам Востока: был в Египте и в Вавилоне. Там Пифагор познакомился и с восточной математикой. Математика стала частью его учения, и важнейшей частью.

Пифагорейцы верили, что в числовых закономерностях спрятана тайна мира. Мир чисел жил для пифагорейца особой жизнью, числа имели свой особый жизненный смысл. Числа, равные сумме своих делителей, воспринимались как совершенные (6, 28, 496. 8128): дружественными называли пары чисел, из которых каждое равнялось сумме делителей другого (например, 220 и 284). Пифагор впервые разделил числа на четные и нечетные, простые и составные, ввел понятие фигурного числа. В его школе были подробно рассмотрены пифагоровы тройки натуральных чисел, у которых квадрат одного равнялся сумме квадратов двух других (см. Ферма великая теорема).

Пифагору приписывается высказывание: «Всё есть число». К числам (а он имел в виду лишь натуральные числа) он хотел свести весь мир. и математику в частности. По в самой школе Пифагора было сделано открытие, нарушавшее угу гармонию. Было доказано, что √2 не является рациональным числом, т. е не выражается через натуральные числа.

Естественно, что геометрия у Пифагора была подчинена арифметике, это ярко проявилось в теореме, носящей его имя и ставшей в дальнейшем основой применения численных методов в геометрии. (Позже Евклид вновь вывел на первое место геометрию, подчинив ей алгебру.) По-видимому, пифагорейцы знали правильные тела: тетраэдр, куб и додекаэдр.

Пифагору приписывают систематическое введение доказательств в геометрию, создание планиметрии прямолинейных фигур, учения о подобии.

С именем Пифагора связывают учение об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях, средних.

("8") Следует заметить, что Пифагор считал Землю шаром, движущимся вокруг Солнца Когда в XVI в. церковь начала ожесточенно преследовать учение Коперника, это учение упорно именовалось пифагорейским.

ПЬЕР ФЕРМА (1601—1665)

Работа советника в парламенте города Тулузы не мешала Ферма заниматься математикой. Постепенно он приобрел славу одного из первых математиков Франции, хотя и не писал книг (научных журналов еще не было), ограничиваясь лишь письмами к коллегам. Среди них были Р. Декарт, Ж. Дезарг, Ж. Роберваль и другие. Он соперничал с французским ученым Р. Декартом в создании аналитической геометрии, общих методов решения задач на максимум и минимум. Его приемы построения касательных к кривым, вычисления площадей криволинейных фигур, вычисления длин кривых прокладывали дорогу к созданию дифференциального и интегрального исчислений. С переписки П. Ферма и Б. Паскаля отсчитывает свою историю теория вероятностей. Имя Ферма носит основной принцип геометрической оптики, в силу которого свет в неоднородной среде выбирает путь, занимающий наименьшее время (впрочем, Ферма считал, что скорость света бесконечна, и формулировал принцип более туманно). Однако больше всего прославили Ферма работы по теории чисел.

Математики Древней Греции со времен Пифагора коллекционировали диковинные факты о конкретных натуральных числах, иногда очень больших, но теорем о числах не доказывали (за несколькими исключениями). Лишь древнегреческий математик Диофант (III в. н. э.) написал книгу «Арифметика», в которой были и отрицательные числа, и элементы символики, но, прежде всего, многочисленные факты о решении в целых числах алгебраических уравнений с несколькими неизвестными (их стали называть диофантовыми). Эта книга (не полностью) стала известна в Европе в XVI в., а в 1621 г. она была издана во Франции и стала настольной книгой Ферма.

Ученый постоянно интересовался арифметическими задачами, обменивался сложными задачами с современниками. Начал Ферма с задач про магические квадраты и кубы, но постепенно переключился на закономерности натуральных чисел — арифметические теоремы. Несомненно, влияние Диофанта на Ферми, и символично, что он записывает свои удивительные открытия на полях «Арифметики». Заметки и письма — вот и все. что осталось от занятий Ферма арифметикой. Ферма обнаружил, что число 2р-1-1 при простом р всегда делится на р (см. Ферма малая теорема), а число простое при k ≤ 4 Он решил, что эти числа простые при всех k. но Л. Эйлер впоследствии показал, что при k =5 имеется делиЭйлер также доказал гипотезу П. Ферма: простые числа вида 4k-1 представляются в виде суммы квадратов (5=4+1; 13=9+4), а вида 4k+3 — нет.

Ферма занимают «невозможные» задачи — задачи, не имеющие решений. Он обнаружил, что нельзя найти прямоугольный треугольник с целочисленными сторонами, у которого площадь — точный квадрат. Самое знаменитое утверждение о "невозможности" — великая теорема Ферма. С работ Ферма началась новая математическая наука — теория чисел.

Кружковые занятия по математике.

Математический кружок – это форма организации внеклассной работы по математике, при которой учитель и учащиеся выбирают вид, тему занятий по собственному желанию.

Выбор кружка производится в соответствии с интересами учащихся. На одном из первых занятий решаются организационные вопросы – выбирается староста, помощник и т. д. Все остальные темы могут быть не связаны между собой. Целесообразно первое занятие посвятить экскурсу в историю математики (история развития математики, каких–то понятий или биография известного учёного математика, его вклад в науку.)

Тематическое планирование занятий математического кружка

на I, II четверти.(1 занятие в 2 недели). Алгебра, 7класс.

Организационное собрание.

2. Занятие, посвященное жизни и творчеству .

3. О комбинаторных задачах.

4. Введение в комбинаторику.

5. Перестановки из n элементов.

6. Размещения из n элементов по k.

7. Сочетания из n элементов по k.

8. Треугольник Паскаля. Подведение итогов работы кружка.

</DIV>

("9") Занятие 1. ( 9 сентября, 2005 года )

Организационное собрание. Выбор старосты, обсуждение тем кружка.

Занятие 2. ( 23 сентября, 2005 года )

Занятие, посвященное жизни и творчеству

Краткая биография . Из воспоминаний современников о . Замечательные высказывания . Геометрия . Стихи, посвященные .

Занятие 3. ( 7 октября, 2005 года )

О комбинаторных задачах

Этот раздел является продолжением занятия кружка в 6-м классе по теме «Элементы теории вероятности». Объяснение нового материала рекомендуется вести на примерах задач.

Вводная беседа

На занятиях кружка в 6-м классе мы, рассматривая некоторые вопросы теории вероятностей, отметили что для вычисления вероятности того или иного события необходимо уметь подсчитывать количество способов расположения элементов, выпадения определенного условия и т. д. Этими вопросами занимается раздел математики – комбинаторика.

КОМБИНАТОРИКА – раздел математики, в котором изучаются различные вопросы, связанные с взаимным расположением частей данного множества, состоящего обычно из конечного числа элементов.

Комбинаторные задачи обладают общей особой приметой. Этой приметой является вопрос задачи, который всегда можно сформулировать так, что он будет начинаться словами: «Сколькими способами …?». Комбинаторные задачи различаются по подходам к решению. Рассмотрим некоторые основные комбинаторные идеи, лежащие в основе решения некоторых из них.

Рассмотрим первый вид задач на примере:

В магазине «Ткани» имеются ткани четырех расцветок и шесть видов отделки к ним. Сколькими способами можно купить ткань и отделку для платья?

Решение. Сначала выберем ткань, это можно сделать четырьмя способами. В комплект к ней (к каждому из четырех способов) можно подобрать шестью способами отделку, т. е. можно подобрать четыре раза по шесть комплектов: 4•6 = 24. Всего существует 24 способа.

Ответ: 24 способа.

("10") При решении такого вида задач применяется правило произведения:

Пусть нам даны k множеств по n1, n2, n3, n4,... ,nk элементов каждое, и нам нужно произвести выбор по одному в каждом из множеств, тогда число возможных способов находим так:

N = n1 ∙ n2 ∙ n3 ∙ n4 ...∙ nk.

Решение упражнений

В магазине «Сувениры» имеются подсвечники шести видов и три вида вазочек к ним. Сколькими способами можно составить подарочный комплект из подсвечника и вазочки?

Решение. Вазочку можно выбрать шестью способами и к каждой вазочке тремя способами можно подобрать подсвечник: 6•3 = 18 способов.

Ответ: 18 способов.

В магазине «Все для чая» имеются в продаже шесть видов разных чашек, пять видов блюдец и три вида ложек. Сколькими способами можно составить набор из трех предметов?

Решение. Чашку можно выбрать шестью способами, к каждой из шести чашек можно подобрать пятью способами блюдце, к каждому из 30 комплектов чашки с блюдцем можно подобрать тремя способами ложку:

6•5•3 = 90 способов.

Ответ: 90 способов.

От Гулливера в страну Лилипутов ведут три секретные дороги, а в страну Великанов – четыре. Сколькими способами Гулливеру можно попасть в страну Великанов?

Решение. 3•4 = 12 способов

Ответ 12 способов.

Сколькими способами можно поставить на шахматную доску черную и белую ладьи, чтобы они не били друг друга?

Решение. Первую ладью можно поставить на любое из 64 полей. В этом положении ладья будет бить 15 полей (включая то, на котором она стоит). Следовательно, вторую ладью можно поставить 64 – 15 = 49 способами. Всего имеем 64•49 = 3136 способов.

Ответ 3136 способов.

Домашнее задание

6. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску черного и белого ферзей, чтобы они не били друг друга?

(Аналогично задаче про королей получается несколько случаев, которые удобно записать в виде таблицы:

("11") Всего 1176 + 800 + 456 + 144 = 2576 способов.)

В магазине «Канцелярские товары» имеются в продаже шесть видов цветных карандашей, семь видов красок и пять видов цветной бумаги. Сколькими способами можно составить комплект для уроков художественного труда, состоящий из коробки цветных карандашей, красок и набора цветной бумаги?

(6•7•5 = 210 способов)

Занятие 4. ( 21 октября, 2005 года )

Введение в комбинаторику.

Вторую группу задач рассмотрим на примере:

Сколько пятизначных чисел можно составить, используя только цифры 3 и

Решение. Первую цифру можно выбрать двумя способами, вторую – также двумя способами, третью – двумя и так далее. Получаем:

N = 2•2•2•2•2 = 25.

Ответ: 25.

В данной задаче порядок расположения объектов не имеет значения, зато имеет значение, какие именно объекты выбраны из некоторого множества. Например, из 25 учеников класса выбраны 5 участников команды интеллектуального марафона и т. п.

Обобщим: на каждое из п мест может быть поставлен элемент т – элементного множества. Тогда количество способов расположения элементов можно найти по формуле m∙n.

Решение упражнений

Монету бросают трижды. Сколько различных последовательностей «орлов» и «решек» при этом можно получить?

Решение: 23 = 8 различных последовательностей.

Ответ: 8.

Рекламный агент составляет эскиз рекламного щита. Он решил сделать фон в виде квадратной таблицы 2•2, каждую клетку которой закрасить либо в зеленый, либо в желтый цвет. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. 24 = 16 различных способов.

Ответ: 16.

На сколько увеличится число способов в предыдущей задаче, если сделать таблицу 3•3?

("12") Решение: 29 = 512 способов выкрасить таблицу 3•3. Число способов увеличится на 512 – 16 = 496.

Ответ: 496.

Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из букв А, У и С. Словом является любая последовательность, состоящая из 4 букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо?

Решение: 34 = 81 слово.

Ответ: 81.

С течением времени наука в племени Мумбо-Юмбо резко шагнула вперед и словарный запас увеличился. Словом стала считаться любая последовательность, состоящая не более чем из 4 букв. Сколько слов стало в словаре племени Мумбо-Юмбо?

Решение. Получаем в языке племени Мумбо-Юмбо слова, состоящие из одной, двух, трех и четырех букв. Подсчитаем их количество отдельно:

однобуквенных слов – 3;
слов из двух букв – 32 = 9;
слов из трех букв – 33 = 27;
слов из четырех букв – 81.

Всего 3 + 9 + 27 + 81 = 120 слов.

Ответ: 120.

«Опять восьмерка!» – горестно воскликнул председатель клуба велосипедистов, взглянув на погнутое колесо своего велосипеда, и продолжим: «А все потому, что при вступлении в клуб мне выдали билет за номером 008. И теперь не проходит и месяца, чтобы то на одном, то на другом колесе не появилась восьмерка. Надо поменять номер билета». Чтобы председателя не обвинили в суеверии, он решил объявить полную перерегистрацию всех членов клуба и выдавать только билеты с номерами, не содержащими цифру 8. Сколько членов было в клубе, если известно, что использованы все трехзначные номера, не содержащие ни одной восьмерки?

Решение: 93 = 729 членов в клубе велосипедистов.

Ответ: 729.

Домашнее задание

В другом клубе велосипедисты были еще суевернее. И так как число 0 похоже на вытянутое колесо, решили отказаться и от него и обходиться только восемью цифрами. Сколько членов было в этом клубе, если номера билетов были также трехзначными?

(83 = 512 членов в клубе велосипедистов.)

Назовем «симпатичным» число, если в его записи участвуют только нечетные цифры. Сколько существует четырехзначных «симпатичных» чисел?

(54 = 625 четырехзначных «симпатичных» чисел.).

Занятие 5. ( 4 ноября, 2005 года )

Перестановки из n элементов.

("13") В сборнике занимательных задач Я. Перельмана «Живая математика» есть рассказ «Бесплатный обед». В нем описывается случай, происшедший с десятью выпускниками, которые не могут отпраздновать окончание школы, потому что никак не решат: в каком порядке им сесть.

На выручку им пришел официант, который предложил сегодня сесть, как придется, на другой день придти и сесть по-другому и так каждый день, пока не наступит такой день, когда они опять сядут так, как сидят сегодня. И тогда официант обещал угостить всех бесплатным обедом. Как вы думаете, долго ли друзьям придется дожидаться бесплатного обеда?

Решение. Первого, сидящего за столом, можно выбрать десятью способами, второго к нему можно выбрать девятью способами, третьего – восемью и т. д. Таким образом, имеем: Pn = 10•9•8•...•2•1.

В данной задаче необходимо подсчитать число перестановок из 10 элементов.

Перестановкой из n элементов называют упорядоченный набор этих элементов. Обозначают Pn.

Произведение Pn = 10•9•8•...•2•1 можно записать короче Pn = 10! = 3628800.

Выражение вида n! называется факториалом, читается «Эн факториал». Число n! с ростом n растет очень быстро. Это означает, что на самом деле официант ничем не рисковал, так как обещанное событие произойдет почти черезлет.

Решение упражнений

Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых цифры 1; 2; 3 встречаются ровно по одному разу?

Решение: Pn = 3! = 6 чисел.

Ответ: 6.

Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий, белый и зеленый шарики?

Решение: Pn = 5! = 120 способов.

Ответ: 120.

Всем известна знаменитая басня Ивана Крылова «Квартет»:

Проказница Мартышка,
Осел, Козел
Да косолапый Мишка
Затеяли квартет…

Как помнится, герои басни никак не могли усесться. Подсчитайте, сколькими способами герои квартета могут пересаживаться?

Решение. Pn = 4! = 24 способа.

Ответ: 24.

Необходимо составить школьное расписание на один учебный день для шестого класса из шести предметов. Сколькими способами это можно сделать?

("14") Решение. Pn = 6! = 720 способов.

Ответ: 720.

Домашнее задание

Перепишите выражения так, чтобы в их записи не содержался факториал: Рекламный агент составляет эскиз для фасада центрального офиса. Ему заказали оформить его полосами, используя красный, розовый, белый и малиновый цвета. Сколькими способами это можно сделать?

( Pn = 4! = 24 способа.)

Занятие 6. ( 18 ноября, 2005 года )

Размещения из n элементов по k Бывают случаи, когда нам необходимо расположить не все элементы множества, а лишь часть из них, выбранную по какому-либо признаку. Например, сколько существует вариантов составления школьного расписания из шести предметов для одного класса, если всего в классе изучается 12 учебных дисциплин и расписания отличающиеся различным порядком предметов считаются различными)?

Решение: A126 = 12•11•10•9•8•7 = 665280 вариантов.

Ответ: 665280.

В данной задаче необходимо вычислять количество размещений.

Ank = n ∙ (n – 1)∙ ( n – 2) ∙ … ∙ (n – k +1)

Вообще, размещением из n элементов по k называется упорядоченное подмножество из п элементов множества, имеющего k элементов.

Решение упражнений

Сколькими способами можно выбрать четырех участников из 15 членов сборной и расставить их для эстафеты 800 + 400 + 200 + 100.

Решение: Так как порядок размещения существен, имеем: A154 = 15•14•13•12 = 32760 способов.

Ответ: 32760.

Сколькими способами можно выбрать в команде из 10 человек, участвовающей в интеллектуальном марафоне, капитана и его заместителя?

Решение: A102 = 10•9 = 90 способами.

Ответ: 90.

("15") Пусть словом считается любая последовательность из четырех букв. Сколько слов тогда можно составить из букв, составляющих слово МАТЕМАТИКА (если все буквы считать различными)?

Решение: A104 = 10•9•8•7 = 5040.

Ответ: 5040.

Учащиеся седьмых классов решили высадить около школы три аллеи. На ярмарке были саженцы березы, липы, дуба, клена, рябины, ели, акации, тополя и каштана. Сколькими способами ребята могут закупить саженцы, если они решили в одну аллею высаживать только одинаковые деревья.

Решение: A93 = 9•8•7 = 504.