Обработка результатов измерений и определение погрешностей измерений (стр. 3 )

Р = 1,4 ± 0,2 Вт, δР = 12 %.

При квадратическом суммировании погрешностей корреляция между отсчетами прямых измерений не учитывается. Это может привести к занижению погрешности косвенных измерений, что равноценно уменьшению надежности косвенных измерений. Иногда уменьшение погрешности может достигнуть такой величины, при которой доверительный интервал не будет покрывать истинное значение. В данном случае при квадратическом суммировании погрешностей измерения тока и напряжения получаем:

Р = 1,4 ± 0,18 Вт, δР = 7 %.

Таблица 7

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
I, A	0,290	0,285	0,285	0,275	0,190	0,245	0,220	0,275	0,230	0,210
U, B	5,55	5,30	5,55	5,05	4,30	6,05	5,90	6,55	8,20	6,80

В рассмотренной задаче истинное значение мощности:

Р = 1,44 Вт.

Для сравнения рассмотрим ту же измерительную задачу, но в условиях, при которых разброс отсчетов тока и напряжения обусловлен большим числом недоминирующих факторов. В этом случае погрешности отсчетов тока и напряжения статистически не связаны.

•  Для заданной доверительной вероятности a = 95 % и количества отсчетов N = 10 определяем коэффициент доверия t95;10 = 2,3. вычисляем среднее квадратическое отклонение тока и напряжения:

•  Вычисляем среднее квадратическое отклонение тока и напряжения:

SI = 0,036 A, SU = 1,08 B.

•  Вычисляем коэффициент корреляции тока и напряжения:

rIU = 0,111.

Согласно прил. 4 при данном числе измерений вероятность того, что погрешности тока и напряжения на нагрузке не связаны между собой, равна 78 %. Следовательно, экспериментальные данные свидетельствуют об отсутствии связи между погрешностями тока и напряжения.

•  Проверяем отсчеты на наличие промахов.

Аномальным отсчетом является отсчет напряжения № 9. вычисляем нормированное отклонение U9 от среднего значения z = 2,114.

Количество опытов, при котором данный результат нельзя считать промахом, равно 149 (прил. 4). Это число больше, чем N = 10. Следовательно, отсчет U9 = 8,2 В является промахом и его нужно удалить из обрабатываемого ряда. Новый ряд имеет N = 9 отсчетов и t95;9 = 2,3.

•  Вычисляем новое среднее значение и среднее квадратическое отклонение:

•  Вычисляем случайную составляющую погрешности:

•  Вычисляем полную абсолютную и относительную погрешность:

∆I = 0,03 A; ∆U = 0,4 B;

äU = 12 %; δU = 7 %.

•  Результат прямых измерений тока и напряжения:

I = 0,25 ± 0,03 A; δ = 12 %; a = 95 %;

U = 5,7 ± 0,4 B; δ = 7 %; a = 95 %.

•  Вычисляем среднее значение мощности:

•  Вычисляем относительную погрешность измерения мощности при квадратичном суммировании погрешности измерения тока и напряжения:

При отсутствии корреляции между аргументами суммирование их погрешностей по абсолютной величине приведет к завышению погрешности косвенных измерений функции и к расширению доверительного интервала, т. е. к повышению надежности измерений. Такая завышенная оценка погрешности допустима. В данном случае:

δР = δI + δU = 12 + 7 = 19 %;

Р = 1,4 ± 0,3 Вт; δР = 21 %.

6. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СВОЙСТВА СЕРИИ НАБЛЮДЕНИЙ

6.1. Определение основных понятий

Допустим, что проведено N наблюдений некоторой физической величины. Из-за случайных погрешностей отдельные отсчеты х1, х2, …хN неодинаковы. Будем считать, что интересующее нас событие произошло, если отсчет ξ попал в заданный интервал [a, b].

Вероятность Р события попадания случайной величины в некоторый интервал [a, b] называется предел, к которому стремится отношение числа m наступления этого события к числу N всех наблюдений, если число наблюдений стремится к бесконечности:

.

В теории вероятности математическая характеристика случайных величин основывается на понятии распределения вероятности F(x), которое является функцией числового аргумента х и определяет вероятность того, что значение ξ некоторой случайной величины лежит в интервале [-∞, x]:

F(x) = P(-∞ ≤ ξ < x);

F(-∞) = 0; F(∞) = 1; F(a) ≤ F(b; a ≤ b.

Распределение вероятностей позволяет найти вероятность того, что ξ Ì [а, b):

P(a ≤ ξ < b) = F(b) – F(a).

В частности, вероятность того, что значение ξ непрерывной случайной величины принадлежит бесконечно малому интервалу [x, х + dx) можно выразить как:

P(a ≤ ξ < х +dx) = f(x)dx.

Функция – называется плотностью вероятности.

Основное свойство плотности вероятности состоит в том, что:

Серию из N отсчетов измерений величины можно наглядно представить, построив гистограмму – диаграмму, которая показывает, как часто встречаются те или иные отсчеты. Гистограмму строят следующим образом. Весь диапазон наблюдаемых значений разбивают на K равных интервалов (интервалов классификации) длиной ∆х и подсчитывают, сколько отсчетов попало в каждый интервал. По оси абсцисс откладывают границы интервалов, а по оси ординат – относительную частоту попадания отсчетов в интервал, деленную на его длину, т. е. величину , где mk – число отсчетов попавших в k–интервал. На интервалах, как на основаниях строят прямоугольники высотой Hk (рис. 8). При N ® ∞ площадь каждого прямоугольника будет стремиться к вероятности попадания отсчета в соответствующий интервал классификации. Если одновременно устремить длину интервала к нулю (∆х ® 0), но так, что в любой бесконечно малый интервал попадает бесконечно много отсчетов, то гистограмма превратится в график плотности вероятности.

Плотность вероятности характеризуется набором параметров – моментов распределения, два из которых в теории погрешностей имеют главное значение.

Математическое ожидание m – это число, в окрестности которого концентрируются значения случайной величины:

Рис. 8. Гистограмма

Дисперсия s2 – это число, которое характеризует степень рассеяния значений случайной величины вокруг ее математического ожидания:

Величина s называется средним (стандартным) квадратическим отклонением.

6.2. Нормальное распределение

В основе теории погрешностей лежат три предположения, подтвержденные опытом:

1.  Отклонения наблюдаемых значений от истинного значения принимают непрерывный ряд.

2.  Погрешности, имеющие одинаковые абсолютные значения, но разные знаки, встречаются одинаково часто.

3.  Чем больше значение погрешности, тем реже оно встречается.

Из этих предположений следует, что распределение вероятности отсчетов измеряемой величины подчиняется, так называемому, нормальному распределению (закону распределения Гаусса), плотность вероятности которого:

; m = cons;, s = const.

Можно показать, что m – это математическое ожидание, а s2 – дисперсия. Вид плотности распределения для различных значений дисперсии показан на рис. 9.

Рис. 9. Плотность вероятности нормального распределения

Приведем без доказательства важные свойства нормального распределения.

Если ξ имеет нормальное распределение f(x½m, s) (математическое ожидание m и дисперсию s2), то h = аξ + b, (a и b детерминированные величины) имеет нормальное распределение (рис. 10):

f(x½аm + b, as).

Если ξ1 и ξ2 нормально распределены с плотностями вероятности:

f(x½m, s1); f(x½m2,s2),

то h = ξ1 + ξ2 имеет нормальное распределение с плотностью (рис. 11):

.

Рис. 10. Изменение плотности вероятности при линейном преобразовании

нормально распределенной случайной величины

Рис. 11. Изменение плотности вероятности при сложении нормально

распределенных случайных величин

Связь плотности распределения и распределения вероятности показана на рис. 12., а его вид – на рис. 13.

Рис. 12. Связь распределения с его плотностью

Рис. 13. Нормальное распределение

7. Краткие теоретические сведения

по определению абсолютной, относительной и приведенной погрешностей измерения

Результат практически каждого измерения отягощен погрешностью, вследствие погрешностей присущих средствам измерений, выбранному методу измерения, отличий внешних условий, в которых выполняется измерение, а также других неизвестных причин. Эта погрешность вычисляется или оценивается и приписывается полученному результату измерения.

Погрешность результата измерений – есть отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой физической величины:

, (14)

где – погрешность измерения истинного значения физической величины; – измеренное значение физической величины; – истинное значение физической величины.

Истинное значение величины применяют только при решении теоретических задач метрологии.

На практике же пользуются действительным значением величины, которое заменяет истинное значение.

Поэтому погрешность измерения действительного значения физической величины в этом случае находят по формуле:

, (15)

где – погрешность измерения действительного значения физической величины;

– значение физической величины, принятое за действительное.

По форме представления погрешности разделяются на абсолютные, относительные и приведенные.

Абсолютная погрешность измерения – Δ представляет собой разность между измеряемым и истинным (действительным) значениями измеряемой физической величины:

. (16)

Примечание: если абсолютная погрешность определяется для истинного значения физической величины, то она обозначается как , если же для действительного значения, то как . (См. формулы 14 и 15).

Абсолютная погрешность для меры и измерительного прибора имеет разный смысл. Абсолютная погрешность меры – это разность между номинальным значением меры и истинным (действительным) значением воспроизводимой ею физической величины. Абсолютная погрешность измерительного прибора представляется разностью между показанием прибора и истинным (действительным) значением измеряемой физической величины. Показание прибора – это значение измеряемой физической величины, определяемое по отсчетному устройству.

Относительная погрешность измерения – d представляет собой отношение абсолютной погрешности к истинному или действительному значению измеряемой физической величины:

, (17)

. (18)

Обычно относительная погрешность выражается в процентах.

Примечание: допускается в формуле (18) использовать вместо Хд, показание измерительного прибора.

Приведенная погрешность измерения – b представляет собой отношение абсолютной погрешности к нормирующему значению Хн:

. (19)

Нормирующее значение в зависимости от типа измерительного прибора принимается равным диапазону измерений измерительного прибора для двусторонней шкалы и верхнему пределу измерений в случае, если нижний предел – есть нулевое значение односторонней шкалы прибора.

Например, если шкала имеет нижний предел измерения – 20° С, а верхний предел измерений + 20° С, то нормирующее значение будет равным 40° С. Если же мы измеряем массу на весах торговых с верхним пределом измерений + 10 кг, то нормирующее значение будет равным 10 кг.

Однократные измерения физических величин допустимы только в порядке исключения, так как они по существу не позволяют судить о достоверности измерительной информации. На практике часто приходится иметь дело со случайными погрешностями, поэтому применяются многократные измерения с целью обеспечить более высокую точность оценки погрешности измерений. Обычно количество измерений берут в пределах от 25–30 до 100–200, результаты этих измерений образуют генеральную совокупность. Из генеральной совокупности случайным образом отбирают результаты измерений признака конкретного объекта, такую совокупность называют выборочной совокупностью или выборкой. Вычисление и оценивание погрешности измерений проводят на основе данных выборочных совокупностей.

По результатам измерений физической величины чаще всего рассчитывают среднее арифметическое значение физической величины (которое является оценкой математического ожидания величины) и статистическое среднее квадратическое отклонение физической величины Sx (которое является оценкой теоретического среднего квадратического отклонения dx).

Среднее арифметическое значение физической величины рассчитывают по формуле:

, (20)

где: – среднее арифметическое значение физической величины; Xi – результат i-го измерения физической величины; – сумма значений измеряемой физической величины.

Теоретическое среднее квадратическое отклонение определяем по формуле:

. (21)

Статистическое (найденное на основе полученных измерений) среднее квадратическое отклонение (то есть оценку теоретического среднего квадратического отклонения) определим по формуле:

, (22)

где: Sx – статистическое среднее квадратическое отклонение значения физической величины;

– сумма квадратов отклонений от истинного или действительного значения физической величины.

Кроме вычисления среднего арифметического значения физической величины и статистического среднего квадратического отклонения физической величины Sx , следует определить также точность и надежность оценок погрешности измерений. Мы должны знать, насколько точно выполнены измерения и надежны ли оценки этих измерений, так как при выборках малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, а, следовательно, и приводить к грубым ошибкам.

Выполним оценку погрешности измерений.

Для этого по табл. 8 выбираем значение доверительной вероятности (которая характеризует надежность) оценки измерений g, соответствующее ей значение квантиля закона распределения случайной величины ta.

Затем определим величину абсолютной погрешности измерения (определяющей половину длины доверительного интервала) по следующей формуле:

, (23)

где: e – величина погрешности измерения физической величины; s – теоретическое среднее квадратическое отклонение; ta – квантиль закона распределения.

И, наконец, выполним оценку доверительного интервала, который с данной доверительной вероятностью накрывает неизвестное истинное значение измеряемой величины:

, (24)

где: – среднее арифметическое значение физической величины; ta – квантиль закона распределения; n – количество измерений физической величины.

При определении условий существования полученного доверительного интервала мы предположили, что дисперсия нормального закона распределения, а, следовательно, и среднее квадратическое отклонение s известны. На практике мы можем воспользоваться лишь статистически найденным значением оценки среднего квадратического отклонения, то есть значением Sx и неравенство (21) приобретет вид:

. (25)

Таблица 8

Таблица доверительных вероятностей

Доверительная вероятность (надежность) g	0,80	0,90	0,95	0,99	0,999
Значение квантиля закона распределения ta	1.282	1.645	1.960	2.576	3.290

Примечание: обычно надежность оценки задается предварительно, причем в качестве g берут число, близкое к единице.

Для достижения наглядности результатов измерений строят различные графики статистического распределения, из которых чаще всего используют гистограмму и полигон частот.

Полигон и гистограмма являются графическими изображениями статистического ряда. Графическими представителями теоретических законов распределения являются многоугольник распределения, кривая распределения, графики функции распределения.

Полигон частот служит чаще всего для изображения дискретного статистического ряда, в то время как гистограмма строится только для интервальных рядов. Случайные же величины, для которых получены те или иные статистические ряды, могут быть при этом как дискретными, так и непрерывными.

Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат отрезки, изображающие интервалы вариационного ряда, а высота прямоугольника равна количеству измерений данной величины в этом интервале.

Для построения гистограммы следует:

1. Определить размах точечных значений результата измерений:

R = Xmax - Xmin, (26)

где: R – размах точечных значений результата измерений; Xmax – наибольшее значение измеренной физической величины; Xmin – наименьшее значение измеренной физической величины.

2. Определить число интервалов:

К = 5 lg n, (27)

где: К – число интервалов; n – количество измерений физической величины.

3. Определяем ширину интервалов:

. (28)

4. Для расчета границ интервалов гистограммы применяем формулу:

L = Xmin + d × m, (29)

где: Xmin – наименьшее значение измеренной физической величины; d – ширина интервала; m – номер интервала.

8. Пример выполнения задания № 1

Измерение напряжения выполнено с помощью вольтметра, прошедшего калибровку.

Температура в помещении 20 ° С, влажность воздуха 65 %.

Абсолютную погрешность вольтметра определим по формуле:

= .

Относительную погрешность определим по формуле:

=.

Приведенную погрешность определим по формуле:

= .

Выводы: Вольтметр позволяет выполнить измерения с погрешностью измерения: абсолютной 0,6 В; относительной 0,5 %, приведенной 0,4 %. Если для конкретной измерительной задачи такая погрешность является допустимой, то средство измерения, в данном случае вольтметр, может применяться для выполнения измерений.

Уточнение результатов измерений можно выполнить применением поправки, которая равна абсолютной погрешности измерения и противоположна по знаку. В данном случае поправка могла бы быть равной + 0,6 В в диапазоне измерений 0–20 В. Однако, устанавливать поправку на основании однократного измерения не предоставляется возможным, для этого необходимо выполнить ряд измерений. Поэтому в данном случае поправку ввести нельзя.

9. Пример выполнения задания № 2

Выполнено 150 измерений диаметра аттестованного образца микрометром нулевого класса, это количество измерений образует генеральную совокупность. Случайным образом было отобрано 50 результатов измерений из генеральной совокупности, таким образом получили выборочную совокупность, которую обычно называют выборкой.

Результаты измерений, образующих выборочную совокупность, сведены в табл. 9.

Таблица 9

Результаты измерений, мм
1	2	3	4	5
7,971	7,965	7,969	7,967	7,976
7,974	7,969	7,971	7,975	7,969
7,973	7,973	7,968	7,972	7,974
7,965	7,970	7,963	7,964	7,969
7,966	7,971	7,967	7,978	7,972
7,973	7,973	7,966	7,971	7,975
7,968	7,977	7,970	7,974	7,971
7,967	7,974	7,968	7,970	7,972
7,977	7,975	7,971	7,971	7,973
7,964	7,971	7,972	7,968	7,973

Для построения гистограммы выполним следующее: