Обработка результатов измерений и определение погрешностей измерений (стр. 4 )

1.  Определим размах точечных значений результата измерений по формуле:

R = Xmax - Xmin,

где: R – размах точечных значений результата измерений, мм; Xmax – наибольшее значение измеренной физической величины, мм; Xmin – наименьшее значение измеренной физической величины, мм.

R = 7,978мм – 7,963мм = 0,015мм.

2.  Затем определим число интервалов по формуле:

К = 5 lg n,

где: К – число интервалов; n – количество измерений физической величины.

К = 5 lg 50 = 8,49485.

Принимаем количество интервалов равным 8.

3.  Определим ширину интервалов:

, 0,001648. мм.

Так как результаты измерений записаны с точностью до 0,001 мм, то ширину интервала принимаем равной 0,002 мм.

4. Для расчета границ интервалов гистограммы применим формулу:

L = Xmin + d × m,

где: Xmin – наименьшее значение измеренной физической величины; d – ширина интервала; m – номер интервала.

L1 = 7,963 мм – 7,965 мм; (Xmin + d × m = 7,963 + 0,002 × 1 = 7,965);

L2 = 7,965 мм – 7,967 мм; (Xmin + d × m = 7,963 + 0,002 × 2 = 7,967);

L3 = 7,967 мм – 7,969 мм; (Xmin + d × m = 7,963 + 0,002 × 3 = 7,969);

L4 = 7,969 мм – 7,971 мм; (Xmin + d × m = 7,963 + 0,002 × 4 = 7,971);

L5 = 7,971 мм – 7,973 мм; (Xmin + d × m = 7,963 + 0,002 × 5 = 7,973);

L6 = 7,973 мм – 7,975 мм; (Xmin + d × m = 7,963 + 0,002 × 6 = 7,975);

L7 = 7,975 мм – 7,977 мм; (Xmin + d × m = 7,963 + 0,002 × 7 = 7,977);

L8 = 7,977 мм – 7,979 мм; (Xmin + d × m = 7,963 + 0,002 × 8 = 7,979).

Однако, максимальный результат измерения равен 7,978 мм, следовательно и ширина 8-го интервала будет равной 7,977 мм - 7,978 мм. Это произошло из-за того, что ширину интервалов мы округлили до 0,002 мм.

5. Определим среднее арифметическое значение физической величины, являющееся оценкой математического ожидания, по формуле:

,

где: – среднее арифметическое значение физической величины; Xi – результат i- го измерения физической величины; – сумма значений измеряемой физической величины:

мм.

6. Определим статистическое среднее квадратическое отклонение (найденное на основе полученных измерений) по формуле:

.

Предварительно определим сумму квадратов отклонений от действительного значения физической величины и расчетные данные сведем в табл. 10:

.

Таблица 10

0,	0,	0,	0,	0,
0,	0,	0,	0,	0,
0,	0,	0,	0,	0,
0,	0,	0,	0,	0,
0,	0,	0,	0,	0,
0,	0,	0,	0,	0,
0,	0,	0,	0,	0,
0,	0,	0,	0,	0,
0,	0,	0,	0,	0,
0,	0,	0,	0,	0,

Определяем среднее квадратическое отклонение:

.

Определяем статистическое среднее квадратическое отклонение физической величины:

.

7. Теперь выполним оценку погрешности измерений.

Для этого выбираем по таблице доверительных вероятностей g = 0,95 и соответствующее ей значение квантиля закона распределения случайной величины ta = 1,960.

Затем определим величину абсолютной погрешности измерения по следующей формуле:

,

где: e – величина погрешности измерения физической величины; sх – теоретическое среднее квадратическое отклонение; ta – квантиль закона распределения.

.

Величина погрешности равна ± 0,00111.

И, наконец, выполним оценку доверительного интервала, в котором с данной доверительной вероятностью неизвестное истинное значение измеряемой величины совместимо с величиной ;

за действительное значение физической величины принимаем среднее арифметическое значение выборки :

где: – среднее арифметическое значение физической величины; ta – квантиль закона распределения; n – количество измерений физической величины.

При определении условий существования полученного доверительного интервала мы предположили, что дисперсия нормального закона распределения, а, следовательно, и среднее квадратическое отклонение sх известны. На практике мы можем воспользоваться лишь статистически найденным значением оценки среднего квадратического отклонения, то есть значением Sx:

;

8. Построим гистограмму и полигон частот (допускается с помощью программы «Excel» рис. 14, 15).

Рис. 14

Рис. 15

9. Нанести на гистограмму и полигон частот данные (истинное значение физической величины, действительное значение физической величины, среднее арифметическое и границы доверительного интервала), затем сформулировать выводы. В пределах границ каждого интервала подсчитать количество измерений попадающих в каждый интервал и значения проставить на гистограмме и полигоне частот.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

1

Коэффициент доверия (Стьюдента)

Число измерений N	Надежность
1	0,5	0,9	0,95	0,98	0,99	0,999
2	1	6,3	12,7	31,8	63,7	636,6
3	0,82	2,9	4,3	7,0	9,9	31,6
4	0,77	2,4	3,2	4,5	5,8	12,9
5	0,74	2,1	2,8	3,7	4,6	8,6
6	0,73	2,0	2,6	3,4	4,0	6,9
7	0,72	1,9	2,4	3,1	3,7	6,0
8	0,71	1,9	2,4	3,0	3,5	5,4
9	0,71	1,9	2,3	2,9	3,4	5,0
10	0,70	1,8	2,3	2,8	3,2	4,8
20	0,69	1,7	2,1	2,5	2,8	3,8
> 20	0,67	1,6	2,0	2,5	2,8	3,3

Приложение 2

2

Формулы погрешностей косвенных измерений

Функциональная связь	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность
и = х + у	∆и = ∆х + ∆у	δи = (∆х + ∆у) / (х + у)
и = х - у	∆и = ∆х + ∆у	δи = (∆х + ∆у) / (х - у)
и = х × у	∆и = у∆х + х∆у	δи = х + δу
и = х / у	∆и = и × δ × и	δи = х + δу
и = хn	∆и = и × δ × и	δи = nδх
	∆и = и × δ × и	δи = δх / n
и = ех	∆и = и∆х	Δи = ∆х
и = ln(х)	∆и = δ × х	δи = δх / и
и = sin(х)	∆и = cos(x) × ∆х	δи = ctg(х) × ∆х
и = cos(x)	∆и = sin(x) × ∆х	δи = tg(х) × ∆х
и = tg(х)	∆и = ∆х / cos2(x)	Δи = 2∆х / sin(2x)
и = ctg(х)	∆и = ∆х / sin2(x)	Δи = 2∆х / sin(2x)

Приложение 3