Геометрия

ГЕОМЕТРИЯ.

УРОК: «МЕТОД КООРДИНАТ»

Предмет: Геометрия

Тема: Метод координат

Класс: 9 класс
Педагог: , заместитель директора по воспитательной работе, учитель математики и информатики.

Учреждение образования: МОУ Шуринская средняя общеобразовательная школа Кемеровской области
Город: Кемеровская область

Учащиеся должны:

Знать формулы координат середины отрезка, длины вектора и расстояние между двумя точками;

Уметь применять полученный материал к решению задач по теме.

Ход урока.

I.  Организационный момент: объяснить цели урока.

II.  Повторение пройденного материала:

Тестирование:

1. Закончите предложение.

Координаты равных векторов соответственно...

(равны)

2. Установите истинность или ложность данного высказывания:

Разложение вектора {-3; 2} по его координатным векторам имеет вид

= -3 +2

(да)

3. Закончите предложение:

Вектор = -2 + 3 имеет координаты {...; ... }

-2;3

III. Объяснение нового материала:

План объяснения.

1. Вводное слово учителя:

Используя систему координат, можно изучать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств и, таким образом, использовать в геометрии методы алгебры. Такой подход к изучению геометрических фигур называется методом координат.

На этом уроке вы познакомитесь с формулами:

1) нахождение координат середины отрезка;

2) вычисление длины вектора по его координатам;

3) нахождение расстояния между двумя точками.

2. Деление отрезка в данном отношении.

На прямой АВ находится точка М, причем она не совпадает с точкой В. Отношение, в котором точка М делит направленный отрезок АВ на части, называется число k, при котором АМ = k МВ. Если точка М лежит на отрезке АВ (Рисунок 1),

то векторы , и по определению скалярного произведения k = > 0, где = ½½ и =½½.

Если же точка М находится вне отрезка АВ (Рисунок 2),

то , и по определению скалярного произведения k<0, следовательно,

3. Координаты середины отрезка.

Пусть в системе координат Оху точка А имеет координаты (х1;у1), точка В - координаты (х2;у2). Точка М - середина отрезка АВ. Выразим координаты (х; у) середины М отрезка АВ через координаты его концов. Т. К. точка М - середина отрезка АВ, то АМ=МВ. По правилу треугольника с одной стороны ОМ = ОА + АМ, а с другой стороны получим: ОМ = ОВ + ВМ. Складывая эти равенства, получим 2 = + + ( + ) = + (т. к. + =0).

Отсюда =

Координаты векторов , и равны координатам соответствующих точек М, А и В.

Так как координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат, а при произведении вектора на число его координаты умножаются на это число, то записывая равенство = в координатах, получим: ,

Итак, ; . Т. к. точка М имеет те же координаты, что и вектор , то :

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат ее концов.

4. Вычисление длины вектора по его координатам.

Докажем, что длина вектора х; у вычисляется по формуле

½½ = .

Отложим от начала координат вектор = и опустим из точки А перпендикуляры АА1 и АА2 на оси Ох и ОУ соответственно. Координаты точки А равны координатам вектора , т. е. (х;у). Поэтому ОА1 = ½ х½, АА1 = ОА2 = ½у½. (мы рассматриваем случаи, когда х ¹0 и у¹0 ; другие случаи рассмотрите самостоятельно). По теореме Пифагора ОА ==.

Но ½½= ½½ = ОА, поэтому ½½ = , что и требовалось доказать.

5. Расстояние между двумя точками.

Пусть точка М1 имеет координаты (х1; у1), а точка М2 - координаты (х2; у2). Выразим расстояние d между этими точками через их координаты.

Координаты вектора М1М2 равны { х2 - х1; у2 - у1}. Значит, модуль этого вектора можно найти по формуле | М1М2 |=

Но | М1М2 | = d. Следовательно расстояние между точками М1 (х1; у1) и М2 (х2; у2) можно выразить формулой

d =

6. Метод координат.

Применяя метод координат, можно решать задачи двух видов.

Во-первых, задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах геометрические соотношения, мы применяем алгебру к геометрии. Так мы поступали, когда выразили через координаты основную геометрическую величину - расстояние между двумя точками. Аналогичный прием будет применен при выводе уравнения окружности и прямой.

Во-вторых, пользуясь координатами, можно истолковывать уравнения и неравенства геометрически и таким образом применять геометрию к алгебре и анализу. Графическое изображение функций - первый пример такого применения метода координат. Если известны уравнения фигур, можно изучать их взаимное расположение, решая системы соответствующих уравнений.

Применения метода координат в соединении с алгеброй составляет раздел геометрии, называемый аналитической геометрией. Аналитическая геометрия была создана в первой половине XVII в. в работах знаменитых французских ученых Рене Декарта ( гг.) и Пьера Ферма ( гг.)

IV. Закрепление изученного материала:

Тестирование:

1. Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а точка В - на положительной оси Оу. Найдите координаты вершин треугольника АВО, если ОА =7, ОВ =4

а) А(0;7)

В(4;0)

С(1;0)

Б) А(7;0)

В(0;4)

О(0;0)

В) А(1;7)

В(4;1)

О(1;1)

2. Даны точки А(0;1) и В(5;3). Найдите координаты точек С и D, если точка В - середина отрезка АС, точка D - середина отрезка ВС.

А) С(-7; 10);

D(-5; -7,5)

Б) С( 10; -7);

D(7,5; -5)

В) С(7; -10);

D(-5; 7,5)

V. Подведение итогов.

VI. Задание на дом: п. 89, №№ 000, 930, 935.