Расчет полей в областях с простой геометрией

13.2.6. Расчет полей в областях с простой геометрией

13.2.6.1. Применение теоремы Гаусса в интегральной форме

Использование соотношения (13.3б) целесообразно в тех случаях, когда легко вычисляется входящий в эту формулу интеграл. Для этого следует выбрать такую поверхность интегрирования, чтобы вектор напряженности поля был либо нормален к одной ее части, либо был направлен по касательной к другой части. Такой подход, в частности, использовался при анализе поля плоского конденсатора (пример 1.1 раздела 1 [6]). Приведем еще один важный пример.

Пример 13.1. Поле уединенного точечного заряда (рис. 13.2,а).

Это поле в среде с абсолютной диэлектрической проницаемостью обладает сферической симметрией (частный случай плоскомеридианного поля). И напряженность, и потенциал зависят лишь от радиальной координаты сферической системы. Поэтому при использовании теоремы Гаусса в интегральной форме (13.3б) легко можно взять интеграл. Действительно, если окружить точечный заряд q сферической поверхностью радиуса R, то поток вектора напряженности сквозь эту поверхность  равен

Из определения градиента потенциала и формулы (13.12) следует Тогда .

Постоянная интегрирования А определяется из условия . Обычно для уединенных тел полагают равным нулю потенциал бесконечно удаленных точек. При получим и затем

Пример 13.2. Поле проводящей сферы и проводящего шара.

Пусть одно из этих проводящих тел (например, шар) имеет радиус  и заряд q, который, разумеется, равномерно распределен по поверхности тела. Очевидно, повторив рассуждения предыдущего примера, легко убедиться, что поле во всех точках, удаленных от центра шара на расстояние будет описываться формулами (13.22) и (13.23). Потенциал же самого шара окажется равным Таким образом, расчет поля заряженного проводящего шара можно заменить расчетом поля точечного заряда соответствующей величины, помещенного в центре этого шара. Собственно, об этом сказано в следствии 2 из теоремы единственности.

В случае проводящей сферы как рассуждения, так и результаты расчета поля вне сферы аналогичны вышеприведенным (поле внутри, естественно, отсутствует). Картина поля показана на рис. 13.2,б. Между радиальными линиями напряженности одинаковые углы, а значит, и одинаковые потоки в трубках поля. Линии равного потенциала проведены так, чтобы выполнялось условие При этом, очевидно, должна быть постоянной разность:

Пример 13.3. Поле бесконечно длинной заряженной оси.

Это идеализация поля длинного тонкого заряженного проводника круглого сечения. Хотя заряд фактически распределен по поверхности, поле вне провода не изменится, если считать, что заряд равномерно распределен по его оси, что опять же следует из теоремы единственности. В этом случае вводится понятие линейной плотности заряда [Кл/м]:

Если эта величина постоянна то в силу симметрии поля и потенциал, и напряженность поля зависят лишь от радиальной координаты цилиндрической системы. Поверхности равного потенциала представляют собой коаксиальные цилиндры, а линии напряженности – радиальные прямые.

Окружим отрезок оси длиной l соосным цилиндром радиуса r (в сечении, перпендикулярном оси, это выглядит также, как показано на рис. 13.2,а) и воспользуемся теоремой Гаусса (13.3б). Поток вектора напряженности сквозь поверхности оснований равны нулю, поскольку вектор касается этих поверхностей. Поэтому остается лишь поток сквозь боковую поверхность цилиндра :

Из формулы (13.12) следует тогда

Следует иметь в виду, что в данном случае нельзя принять равным нулю потенциал бесконечно удаленных точек. Должно быть дополнительное условие в задаче (например, соответствующее А = 0).

13.2.6.2. Применение принципа наложения

Пример 13.4. Поле двух параллельных бесконечно длинных осей.

Пусть оси (рис. 13.3) находятся на расстоянии 2b друг от друга и имеют одинаковые по величине, но противоположные по знаку заряды, равномерно распределенные по длине . Для того, чтобы определить потенциал любой точки поля, воспользуемся принципом наложения и формулой (13.10), полагая в ней Получим:

Здесь и – расстояния от заряженных осей до рассматриваемой точки. Уравнение линии равного потенциала

В частности, плоскость равноудалена от обеих осей

Из курса математики известно, что геометрическое место точек, удовлетворяющих условию (13.27), это окружность, центр которой лежит на прямой, проходящей через оси. Расстояние от центра до плоскости нулевого потенциала s и радиус окружности R определяются значением параметра семейства эквипотенциальных линий k. Можно показать [2], что между собой эти величины связаны простым соотношением:

При заданной величине параметра k отсюда можно найти R и s. И наоборот, зная геометрические размеры, легко можно подсчитать значение k, а затем и потенциал.

Окружности, соответствующие расположены слева от плоскости, где поэтому А при окружности окажутся справа от плоскости нулевого потенциала .

В свою очередь линии напряженности представляют собой дуги окружностей, которые проходят через оси. Их центры лежат в плоскости нулевого потенциала. Две такие линии, вместе составляющие окружность, также показаны на рис. 13.3.

Пример 13.4. Поле двухпроводной однородной линии.

Пусть известны радиусы проводов , расстояние между их осями d и заряды проводов на единицу длины ±t. Первое следствие из теоремы единственности позволяет утверждать, что поле такой линии аналогично полю двух разноименно заряженных осей. Нужно только определить положение этих электрических осей относительно плоскости нулевого потенциала. А то, что они лежат на линии, проходящей через геометрические оси проводов, не подлежит сомнению.

Если перейти к обозначениям предыдущего примера, то заданы радиусы двух симметрично расположенных эквипотенциалей и расстояния от их центров до плоскости Тогда из (13.13) следует:

Чтобы определить потенциалы проводов, нужно вычислить значения параметров семейства эквипотенциальных линий, соответствующих поверхностям проводов. Тогда из (13.2б) с учетом (13.28) получим:

Знак «плюс» в этой формуле относится к положительно заряженному проводу, «минус» – к отрицательному. Напряжение между проводами

Картина поля двухпроводной линии показана на рис. 13.4. Чтобы поток вектора напряженности электрического поля был одинаков в каждой трубке поля, соседние линии напряженности (мысленно продолженные внутрь проводов) должны вблизи электрических осей образовывать равные углы. Чтобы обеспечить выполнение условия нужно обеспечить постоянство отношения

Заметим в заключение, что уже упоминавшееся следствие из теоремы единственности позволяет перенести решение примера 13.3 на задачи об электростатическом поле двух параллельных несоосных цилиндров разных диаметров.

13.2.6.3. Непосредственное интегрирование уравнения Лапласа

Оно может быть легко выполнено, если, как и в примерах 13.1 и 13.3, потенциал зависит лишь от одной координаты и заданы граничные условия.

Пример 13.5. Поле коаксиального кабеля.

Известны радиус  внутреннего цилиндрического проводника (жилы кабеля) и внутренний радиус  наружного проводника (оболочки кабеля), потенциалы этих проводников соответственно U и 0, а также абсолютная диэлектрическая проницаемость изоляции (рис. 13.5).

Определить потенциал и напряженность электростатического поля в диэлектрике, а также заряд единицы длины жилы кабеля.

Решение

В силу симметрии потенциал зависит лишь от радиальной координаты цилиндрической системы. В этом случае в уравнении Лапласа остается только одно слагаемое: Дважды проинтегрируем это выражение. Сначала получим затем

Используем граничные условия:

Отсюда так что Тогда

На поверхности жилы граничное условие позволяет подсчитать заряд единицы длины кабеля Поэтому

Тот же результат можно было получить, используя теорему Гаусса (как в примере 13.3) и первое следствие теоремы единственности, что легко проверить.