Учебно-методический комплекс по дисциплине «Физика фононов» (стр. 7 )

Расчет динамических свойств с помощью программы Gamess US

В гармоническом приближении получены частоты колебаний и вектора поляризации. Для каждой структуры найдено по двенадцать частот. С помощью программы Molekel были построены вектора смещения для структур.

(a)	(b)	(c)
Симметрия	Частота, см-1	Симметрия	Частота, см-1	Симметрия	Частота, см-1
Eu	198	B1u	217	B3u	44
E2u	263	Au	78
B1u	258	B2u	186
A2u	334	E2g	727	Ag	214
A1g	606	B2g	380
Eg	853	B1g	880	B3g	383
A1g	997	B1u	490
Eu	924	B2u	1156	Ag	599
E1u	1156	B3u	1139
B1g	1047	B2g	1240
B2g	1136	E2g	1341	B1u	1491
A1g	1193	Ag	1592

Колебания с частотами 198, 853 и 924 см-1 являются двукратно вырожденными. Эти колебания имеют симметрию Eg и Eu. Частоты 606 и 1193 см-1 соответствуют полносимметричным колебаниям.

Все колебания в плоских структурах можно разделить на плоские, которые происходят в плоскости структуры, и неплоские. Из всех возможных девять колебаний являются плоскими, а три — неплоскими.

Для структуры (b) неплоским колебаниям соответствуют частоты 263 и 880 см-1, причем частота 263 см-1 двукратно вырождена. Также двукратно вырожденными являются частоты 727, 1156 и 1341 см-1. Полносимметричное колебание имеет частоту 997 см-1. Всего двенадцати возможным видам смещений соответствует два колебания E2g, по одному колебанию A1g, B1g, B1u, B2u и E2u.

Все частоты для структуры (с) невырождены. Неплоскими колебаниями являются колебания с частотами 78, 186 и 383 см-1. Они принадлежат к типам симметрии Au, Ag, Bu. Всем видам смещений соответствует три колебания Ag, по два колебания B1u, B2g и B3u, по одному колебанию Au, B2u и B3g. Полносимметричные колебания имеют частоты 214, 599 и 1592 см-1.

Элементы феноменологической

теории упругости.

§ I. Тензор деформации

Механика твердых тел, рассматриваемых как сплошные среды, составляет содержание так называемой теории упругости.

Под влиянием приложенных сил твердые тела в той или иной степени деформируются, т. е. меняют свою форму и объем. Для ма­тематического описания деформации тела поступают следующим об­разом. Положение каждой точки тела определяется её радиус-век­тором (с компонентами x1= x, x2=y, x3=z) в некоторой системе координат. При деформации тела все его точки, вообще говоря, смещаются. Рассмотрим какую-нибудь определенную точку тела. Если ее радиус-вектор до деформации был , то в дефор­мированном теле он будет иметь некоторое другое значение . Смещение точки тела при деформировании изобразится тогда век­тором , который мы обозначим посредством :

(1.1)

Вектор называется вектором деформации (или вектором смеще­ния). Координаты смещённой точки являются, конечно, функ­циями той же точки до ее смещения. Поэтому и вектор дефор­мации является функцией координат . Задание вектора как функции от полностью определяет деформацию тела.

При деформировании тела меняются расстояния между его точками. Рассмотрим какие-нибудь две бесконечно близкие точки. Если радиус-вектор между ними до деформирования был , то в деформированном теле радиус-вектор между теми же двумя точками будет . Расстояние между точками было до деформирования

и после деформирования .

	( D4h )a
Симметрия	Частота, см-1
1	Eu	198
2
3	B1u	258
4	A2u	334
5	A1g	606
6	Eg	853
7
8	Eu	924
9
10	B1g	1047
11	B2g	1136
12	A1g	1193
	( D4h )a
Симметрия	Частота, см-1
1	Eu	198
2
3	B1u	258
4	A2u	334
5	A1g	606
6	Eg	853
7
8	Eu	924
9
10	B1g	1047
11	B2g	1136
12	A1g	1193

Для квадратов длин имеем соотношения:

, .

Подставляя , перепишем :

Поскольку во втором члене справа производится суммирование по обоим индексам i и k, то можно написать

В третьем члене поменяем местами индексы i и с, тогда для окончательно получим

, (1.2)

где тензор определяется посредством

(1.3)

Этими выражениями определяется изменение элемента длины при деформировании тела.

Тензор называется тензором деформации. Из его определения видно, что он симметричен, т. е. (1.4)

Как и всякий симметричный тензор, можно привести тензор в каждой данной точке к главным осям. Это значит, в каждой дан­ной точке можно выбрать такую систему координат (главные оси тензора), в которой из всех компонент отличны от нуля толь­ко диагональные компоненты , , . Эти компоненты - главные значения тензора деформации обозначаются посредством , , . Надо, конечно, полагать, что если тензор приведен к главным осям в некоторой точке тела, то он, вообще говоря, недиагонален во всех других точках.

Мы в дальнейшем будем рассматривать малые деформации объем­ных тел; в этом случае в выражении для тензора деформации мож­но пренебречь третьим слагаемым как бесконечно малым второго порядка и записать

(3.1.5)

§ 2. Тензор напряжения

В не деформированном теле расположение молекул соответствует состоянию его теплового равновесия. При этом все его части на­ходится друг с другом и в механическом равновесии. Это значит, что если выделить внутри тела какой-нибудь объем, то равнодействующая всех сил, действующих на этот объем со стороны других частой, равна нулю.

При деформации расположение молекул меняется, и тело выводится из состояния равновесия, в котором оно находилось первоначально. В результате в нем возникают силы, стремящиеся вернуть тело в состояние равновесия. Эти возникающие при деформации силы называются внутренними напряжениями. Если тело не деформировано, то внутренние напряжения в нем отсутствуют.

Внутренние напряжения обусловливаются молекулярными силами, т. е. силами взаимодействия молекул тела друг с другом. Весьма существенным для теории упругости является то обстоятельство, что молекулярные силы обладают очень незначительным "радиусом действия". Их влияние простирается вокруг создающей их частицы лишь на расстояния порядка межмолекулярных. Но в теории упру­гости, как в макроскопической теории, рассматриваются только расстояния большие по сравнению с межмолекулярными. Поэтому "радиус действия" молекулярных сил в теории упругости должен считаться равным нулю. Можно сказать, что силы, обусловливаю­щие внутренние напряжения, являются в теории упругости силами "близкодействующими", передающимися от каждой точки только к ближайшей. Отсюда следует, что силы, оказываемые на какую-ли­бо часть тела со стороны окружающих её частей, действуют толь­ко непосредственно через поверхность этих частей.

Необходимо, однако, сделать следующую оговорку - сделанное утверждение несправедливо в тех случаях, когда деформирование тела сопровождается появлением в нем макроскопических электри­ческих полей (пьезоэлектрики, сегнетоэлектрики). Здесь мы не будем рассматривать свойства таких тел.

Выделим в теле какой-нибудь объем и рассмотрим действующую на него суммарную силу. С одной стороны, эта суммарная сила равна сумме всех сил, действующих на каждый из элементов рассматриваемого объема, т. е. может быть представлена в виде объ­емного интеграла , где есть сила, действующая на единицу объема тела, так что на элемент объема действует сила . С другой стороны, силы, с которыми действуют друг на друга различные части самого рассматриваемого объема, не могут привести к появлению отличной от нуля суммарной равнодействующей силы, поскольку они в силу закона равенства действия и противодействия в сумме уничтожают друг друга. Поэтому искомую полную силу можно рассматривать как сумму только тех сил, которые действуют на данный объем со стороны окружающих его частей тела. Но согласно сказанному выше силы действуют на рас­сматриваемый объем через его поверхность, и поэтому результиру­ющая сила может быть представлена в виде суммы сил, действую­щих на каждый элемент объема, т. е. в виде некоторого интеграла по этой поверхности.