Учебно-методический комплекс по дисциплине «Физика фононов» (стр. 9 )

IV. Тетрагональная система.

Рассмотрим класс . Выбираем координаты с осью z по оси , а оси x, y - перпендикулярными к двум из вертикальных плоскостей симметрии. Отражения в этих двух плоскостях означают соответственно преобразования

, , , в силу этого исчезают все компоненты с нечетным числом индексов (одинаковых). Далее, порот на угол вокруг оси представляет собой преобразование ,, . Отсюда вытекают соотношения:

, , .

Остальные преобразования, входящие в класс , ничего не добавляют к этим условиям. Таким образом, имеется всего 6 независимых модулей упругостей и матрица записывается:

С11	C12	С13	0	0	0
С21	С11	С13	0	0	0
С31	С31	С33	0	0	0
0	0	0	C44	0	0
0	0	0	0	С44	0
0	0	0	0	0	C66

V. Ромбоэдрическая система (класс ).

VI. Гексагональная система (класс ).

В случае ромбоэдрической системы среди операций симметрии имеется ось третьего порядка, в случае гексагональной системы ось шестого порядка. Для получения соотношений между компонентами тензора модулей упругости при наличии этих операций симметрии необходимо ввести координаты, отличные от декартовых: не вдаваясь в подробности соответствующих выкладок (которые могут быть найдены в любой книге по упругим свойствам кристаллов), сообщим, что имеется 6 независимых модулей упругости в случае гексагональной - 5.

VII. Кубическая система.

Направим оси x, y, z по трем осям четвертого порядка кубической системы. Уже наличие тетрагональной симметрии (с осью 4-го порядка вдоль оси z) ограничивало число различ ных компонент тензора С следующими шестью: ; ; ; ; ; . Повороты на 90° вокруг осей x и y дают соответственно преобразования , , и , , . В силу их из написанных шести компонент делаются равными первая со второй, третья с четвертой и пятая с шестой. Таким образом, остается всего три различных модуля упругости и тензор упругих констант можно записать:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

С11	C12	С12	0	0	0
С21	С11	С12	0	0	0
С21	С21	С11	0	0	0
0	0	0	C44	0	0
0	0	0	0	С44	0
0	0	0	0	0	C44

VIII. Изотропный кристалл.

Кроме соотношений для кубических кристаллов, выраженными таблицей, выполняется ещё условие

. (5.4)

Таким образом, упругие свойства изотропного материала полностью определяются с помощью только двух постоянных и :

(5.5)

Отметим также, что запись тензора упругих постоянных изотропного материала в виде (5.5) справедлива в любой (декартовой) системе координат, поскольку для таких материалов все направления эквивалентны. Выпишем ещё раз число модулей упругости кристаллов различных систем:

триклинная	- 18
моноклинная	- 12
ромбическая	- 9
тетрагональная	- 6
ромбоэдрическая	- 6
гексагональная	- 5
кубическая	- 3
изотропные тела	- 2

§ 6. Упругие волны

Если в деформированном теле происходит движение, то температура тела, вообще говоря, не постоянна, а меняется как со временем, так и от точки к точке тела. Это обстоятельство сильно усложняет точные уравнения движения в общем случае произвольных движений. Обычно, однако, положение упрощается благодаря тому, что передача тепла из одного участка тела в другой (посредством простой теплопроводности) происходит очень медленно. Если теплообмен практически не происходит в течение промежутков времени порядка периода колебательных движений в теле, то можно рассматривать каждый участок тела как теплоизолированный, т. е. движение будет адиабатическим. Но при адиабатических деформациях выражается через по формулам обычного вида с той лишь разницей, что вместо обычных (изотермических) значений тензора деформаций необходимо брать их адиабатические значения. Ниже мы будем считать это условие выполнимым и соответственно этому подразумевать под их адиабатические значения.

Для того чтобы получить уравнения движения упругой среды, надо приравнять силу внутренних напряжений произведению ускорения на массу единицы объема тела, т. е. на его плотность :

(6.1)

Воспользуемся для общим выражением (4.3), где в соответствии со сказанным выше, под подразумеваются адиабатические значения модулей упругости. Подставляя в уравнения движения, получим

Поскольку тензор симметричен по индексам l и m, то меняя во втором члене обозначение индексов суммирования l и m на обратное, находим, что первый и второй члены тождественны. Таким образом, мы получим уравнения движения в виде

(6.2)

Простейшими решениями уравнений теории упругости (6.2) для бесконечного кристалла являются упругие плоские волны вида

(6.3)

где - волновой вектор, - длина волны и - скорость звука. Подставляя (6.3) в уравнение движения (6.2), получим систему уравнений для определения частоты и векторов поляризации звуковых волн:

(6.4)

Система уравнений (6.4) имеет нетривиальные решения при условии

дисперсионное уравнение (6.5) имеет три решения для каждого значения волнового вектора; из системы линейных однородных уравнений (6.4) определяются три вектора поляризации . Упругие движения общего вида описываются суперпозицией этих решений с различными волновыми векторами.

Простые решения уравнений (6.4) и (6.5) получаются для кубических кристаллов, в случае направления распространения волн вдоль ребер элементарного куба, и для изотропных материалов.

Вычислим матрицу для случая кубического кристалла. Диагональные элементы матрицы .

Очевидно, что при , , следовательно, имеем

(6.6)

Недиагональные элементы ,

(6.7)

Объединяя формулы (6.6) и (6.7), получим выражение для .

(6.8)

Подставляя в (6.4), получим

(6.9)

Решение системы уравнений (6.9) рассмотрим отдельно для кубических и изотропных материалов.

а) Кубические кристаллы. Пусть , тогда система
уравнений запишется

или, подробнее

(6.10)

Система уравнений (6.10) легко решается, имеем

, ,

, , (6.11)

Таким образом, в направлении оси х распространяются одна продольная и две поперечных волны. Скорость продольных волн и поперечных , очевидно, равны

, (6.12)

б) Изотропные материалы. Учитывая соотношение (5.4) систему уравнений (6.9) запишем

или

(6.13)

Из уравнений (6.13) непосредственно видно, что имеется одна продольная волна с (6.14)

и две независимые поперечные волны

Скорости продольных и поперечных волн при этом находятся из соотношений (6.11) и частоты - из соотношений (6.11). В отличие от кубических кристаллов формулы для частот и скорости имеют один и тот же вид для любого направления распространения волн - результат физически очевидный для изотропного случая.

Решения в виде продольных и поперечных волн получаются только для изотропного случая, а также для выделенных направлений в кристаллах (кубических). Однако, в общем случае, тройка ортогональных друг другу векторов поляризации ориентирована произвольно относительно направления распространения.

Плотность спектрального распределения частот можно найти так же, как и в случае колебаний решетки. Примем в качестве основной периодической области куб с ребром L и объемом , из условий периодичности смещений (6.3) на границах объема выделим векторы со следующими проекциями:

, mi=0,±1,±2,… (6.16)

здесь область значений , в противоположность теории решетки не ограничена. В изотропном случае легко вычислить плотность частот. Число возможных значений - в шаровом слое согласно (6.16) равно . Для продольных волн , поэтому число продольных колебаний в интервале равно

Число поперечных колебаний соответственно равно

Множитель 2 появляется из-за того, что каждому соответствуют два независимых поперечных колебания. В целом получается следующая функция плотности частот

Пропорциональность упругого спектра сохраняется также и для анизотропной среды, однако коэффициент пропорциональности может быть найден только численно.

ВЫБОРОЧНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕСТОВЫХ МАТЕРИАЛОВ

1. Задание {{ 28 }} Н. Г.

Отметить правильный ответ

1.Матрицы силовых постоянных для решетки ОЦК в приближении первых соседей имеют вид:

2. Задание {{ 29 }} Н. Г.

Отметьте правильный ответ

2.Свойство симметрии для силовых констант, следующее из однородности пространства имеет вид:

3. Задание {{ 30 }} Н. Г.

Ответ ввести цифрами

Число первых соседей в гранецентрированной кубической решетке равно

Правильные варианты ответа: 12;

4. Задание {{ 31 }} Н. Г.

Ввести название

Матрица носит название ………….. матрицы.

Правильные варианты ответа: динамическая; динамической; Динамическая; Динамической;

5. Задание {{ 32 }} Н. Г.

Выберите правильный ответ

Число акустических ветвей в кристалле, содержащем s атомов в элементарной ячейке, равно:

R 3

£ 3(s-1)

£ s

£ 3s

£ в зависимости от кристаллов

6. Задание {{ 33 }} Н. Г.

Выберите правильный ответ

При акустические ветви

R Всегда обращаются в нуль

£ Никогда не обращаются в нул

£ Иногда обращаются в нуль

7. Задание {{ 34 }} Н. Г.

Введите нужное

В длинноволновом приближении, для анизотропного кубического кристалла, содержащего два разноименных заряда в элементарной ячейке, вся макроскопическая теория содержится в следующей паре уравнений:

Данные феноменологические уравнения необходимо решать совместно с системой уравнений ………..

Правильные варианты ответа: Максвелла; максвелла; Максвэлла; максвэлла; Моксвэлла; моксвэлла; Максвела; максвела; Максвэла; максвэла; Моксвэла; моксвэла;

8. Задание {{ 35 }} Н. Г.

Отметьте правильный ответ

Мнимая часть диэлектрической проницаемости

£ не имеет физического смысла

£ определяет связь между и

R определяет поглощение энергии в среде

£ показывает, во сколько раз уменьшится кулоновское взаимодействие зарядов, не испытывающих обратного влияния среды

9. Задание {{ 36 }} Н. Г.

Отметьте правильное

Гармоническое приближение - заключается в:

R том, что при разложении потенциальной энергии в ряд по смещениям ионов, оставляют только члены второго порядка по смещениям.

£ предположении, что ионы много тяжелее электронов, и поэтому двигаются значительно медленнее. Это приводит к тому, что волновая функция системы может быть выражена в виде произведения электронной и ядерной функций.

£ разделении электронов на две группы: валентные электроны и электроны атомного остова.

£ использовании гармонических функций в качестве базисных.

10. Задание {{ 159 }} А. С.

Ответ ввести цифрами

Число ненулевых компонент матрицы модулей упругости кубического кристалла равно

Правильные варианты ответа: 12;

11. Задание {{ 179 }} А. С.

Закончите утверждение двумя словами

Независимые колебания линейной цепочки атомов описываются зависимостью w(k) в... .

Правильные варианты ответа: зоне Бриллюэна; зоне бриллюэна; зоне Брилюэна; зоне брилюэна; зоне Бреллюэна; зоне брелюэна; зоне Брелюэна;

12. Задание {{ 2 }} А. С.

Отметьте правильное утверждение

Адиабатический потенциал, это:

£ Потенциал электрона в поле покоящихся ядер

R Потенциал многоэлектронной системы при коллективном движении ядер

£ Потенциал одного электрона в поле движущихся ядер

13. Задание {{ 3 }} А. С.

Отметьте правильное утверждение

Переходное состояние отвечает

£ Максимуму адиабатического потенциала

R Седловой точке адиабатического потенциала

£ Минимуму адиабатического потенциала

14. Задание {{ 4 }} А. С.

Отметьте правильное утверждение

Деформационный потенциал описывает:

£ напряжения кристаллической решетки

R смещения энергетических зон при деформациях

£ величины смещений ядер в решетке

15. Задание {{ 222 }} А. С.

Отметьте все правильные утверждения

Центр масс элементарной ячейки при акустических колебаниях...

R смещается вдоль волнового вектора

R смещается против волнового вектора

R смещается перпендикулярно волновому вектору

£ не смещается

16. Задание {{ 223 }} А. С.

Отметьте правильное утверждение

Частоты акустических колебаний в сравнении с частотами оптических колебаний...

£ больше

R меньше

£ равны

£ равны в центре зоны Бриллюэна

17. Задание {{ 224 }} А. С.

Введите название

Рассеяние света на акустических колебаниях называется эффектом

Правильные варианты ответа: Мандельштама-Бриллюэна; Мандельштама - Бриллюэна; Мандельштама Бриллюэна; Мандельштамма-Бриллюэна; Мандельштама-Брилюэна;

18. Задание {{ 225 }} А. С.

Введите название

Рассеяние света на оптических колебаниях решетки называется эффектом...

Правильные варианты ответа: Рамана; рамана; Раманна;

19. Задание {{ 226 }} А. С.

Введите название

Рассеяние фотона с образованием фонона называется...

Правильные варианты ответа: неупругим; не упругим;

20. Задание {{ 227 }} А. С.

Отметьте правильное утверждение

При неупругом рассеянии фотона с образованием фонона его энергия...

£ не изменится

£ увеличится

R уменьшится

21. Задание {{ 228 }} А. С.

Отметьте правильное утверждение

Спектр колебаний легких примесных атомов в фононном спектре...

£ локализован внутри оптической ветви

£ локализован внутри акустической ветви

R локализован выше оптической ветви

£ локализован ниже оптической ветви

22. Задание {{ 218 }} А. С.

Отметьте правильное утверждение

Поляризация кристалла происходит при участии...

£ продольных акустических фононов

£ поперечных акустических фононов

R продольных оптических фононов

£ поперечных оптических фононов

23. Задание {{ 219 }} А. С.

Отметьте все правильные утверждения

Экспериментальным доказательством квантования энергии колебаний решетки служат опыты по рассеянию:

R фотонов

R рентгеновских лучей

£ фононов

R нейтронов

R света

24. Задание {{ 220 }} А. С.

Отметьте все правильные утверждения

В адиабатическом приближении электроны...

£ смещены относительно ионов

R отвечают мгновенному положению ионов

R находятся в основном состоянии

£ возбуждены

25. Задание {{ 221 }} А. С.

Отметьте правильное утверждение

В длинноволновом пределе частота акустической волны пропорциональна...

£ параметру элементарной ячейки

R волновому вектору

£ упругой постоянной взаимодействия атомов

£ массе атомов

Варианты контрольных работ

Вариант 1

Найти вид матрицы силовых постоянных для первых соседей гранецентрированной кубической решетки Для гранецентрированной кубической решетки в приближении первых соседей найти частоты ω в точке

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Найти вид матрицы силовых постоянных для вторых соседей простой кубической решетки Для гранецентрированной кубической решетки в приближении первых соседей найти частоты ω в точке

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Найти вид матрицы силовых постоянных для третьих соседей простой кубической решетки Для объемноцентрированной кубической решетки в приближении первых соседей найти частоты ω в точке

Вариант 8

Вариант 9

Вариант 10

Найти вид матрицы силовых постоянных для вторых соседей объемно-центрированной кубической решетки Для гранецентрированной кубической решетки в приближении первых соседей найти частоты ω в точке

Вариант 11

Вариант 12

Вариант 1

Найти вид матрицы упругих постоянных для кристаллов ромбической сингонии Решить задачу о распространении упругих волн в направлениях

для кристаллов ромбической системы

Вариант 2

Найти вид матрицы упругих постоянных для кристаллов тетрагональной сингонии Решить задачу о распространении упругих волн в направлениях

для кристаллов тетрагональной системы

Вариант 3

Найти вид матрицы упругих постоянных для кристаллов кубической сингонии Решить задачу о распространении упругих волн в направлениях

для кристаллов кубической сингонии

Вариант 4

для кристаллов ромбической системы

Вариант 5

Найти вид матрицы упругих постоянных для кристаллов тетрагональной сингонии Для гранецентрированной кубической решетки найти частоты ω в точке Решить задачу о распространении упругих волн в направлениях

для кристаллов тетрагональной системы

Вариант 6

для кристаллов кубической сингонии

Вариант 7

для кристаллов ромбической системы

Вариант 8

для кристаллов тетрагональной системы

Вариант 9

для кристаллов кубической сингонии

Вариант 10

для кристаллов ромбической системы

Вариант 11

для кристаллов тетрагональной системы

Вариант 12

для кристаллов кубической сингонии

Раздаточный материал.

Параметры ячеек Бравэ

Кол-во единичных направлений	Сингония, виды решеток	Число ячеек	Периоды, углы	Характерная симметрия	Кристаллические классы симметрии
Низшая категория
Несколько	Триклинная, P	1	, a¹β¹g	Ось C1 или S1	,
Моноклинная P, C	2	, a=g=90º¹β	Ось C2 или плоскость s	,,
Ромбическая P, C, F, I	4	, a=β=g=90º	Три оси C2 или три плоскости s	,,
Средняя категория
Одно	Тригональная (ромбоэдрическая), P	1	a=b¹c, a=β=90º, g=120º	Ось C3 или S3	,,, ,
Гексагональ-ная, C	1	Ось C6 или S6	,,,,,,
Тетрагональ-ная, P, I	2	a=b¹c, a=β=g=90º	Ось C4 или S4	,,, ,, ,
Высшая категория
Нет	Кубическая, P, F, I	3	a=b=c, a=β=g=90º	Четыре оси C3	, , , ,