Учебно-методический комплекс по дисциплине «Физика фононов» (стр. 8 )

Таким образом, для любого объема тела каждая из трех компо­нент равнодействующей всех внутренних напряжений может быть преобразована в интеграл по поверхности этого объема. Как известно из векторного анализа интеграл от скаляра по произволному объему может быть преобразован в интеграл по поверхности в том случае, если этот скаляр является дивергенцией некоторо­го вектора. В данном случае мы имеем дело с интегралом не от скаляра, а от некоторого вектора, проекции которого, следова­тельно, должны иметь вид

(2.1)

Тогда сила, действующая на некоторый объем, может быть записа­на в виде интеграла по замкнутой поверхности, охватывающей данный объем

(2.2)

где - компоненты вектора элемента поверхности, на­правленного по внешней нормали к поверхности. Строго говоря, при определении полной силы, действующей на деформированный объем тела, интегрирование должно производиться не по старым координатам , а по координатам точек деформированного тела. Соответственно этому и производные (2.1) должны браться по . Однако, ввиду малости деформации, производные по и отличаются друг от друга на величины высших порядков милости, и потому можно все дифференцирования производить по координатам .

Тензор называется тензором напряжений. Как видно из (2.2), есть i -тая компонента силы, действующей на элемент поверхности . Выбирая элементы поверхности в плос­костях xy, yz, xz, находим, что компонента тензора напряжений есть i-тая компонента силы, действующей на единицу поверхности, перпендикулярную к оси хk. Так, на единичную площадку, перпендикулярную к оси x: действует нормальная к ней (направленная вдоль оси x) сила , и тангенциальные (на­правленные по осям у и z) силы и . Нормальная состав­ляющая - типа давления, тангенциальные , - "ска­лывающие" напряжения, стремящиеся сдвинуть параллельные элемен­ты поверхности относительно друг друга.

Необходимо сделать следующие замечания по поводу знака силы . В (2.2) интеграл по поверхности представляет со­бой силу, действующую на ограниченный объем со стороны окружа­ющих частей тела. Наоборот, сила, с которой этот объем дейст­вует сам на окружающую его поверхность, имеет обратный знак. Поэтому, например, сила, действующая со стороны внутренних на­пряжений на всю поверхность тела, есть , где интеграл берется по поверхности тела, a направлен по внешней нормали.

Легко написать тензор напряжений в случае равномерного все­стороннего сжатия. При таком сжатии на каждую единицу поверх­ности тела действует одинаковое по величине давление, направ­ленное везде по нормали внутрь объема тела. Если обозначить это давление посредством "Р", то на элемент поверхности действует сила . С другой стороны, эта сила, будучи вы­ражена через тензор напряжении, должна иметь вид . Сравнивая эти выражения, видим, что в случае равномерного, все­стороннего сжатия тензор напряжений имеет вид (2.3)

Выясним свойства тензора напряжений. Определим момент сил, действующих на некоторый объем тела. Момент силы можно, как известно, написать в виде антисимметричного тензора второго ранга с компонентами , где - координаты точки приложения силы. (Момент силы определяется как векторное про­изведение , из векторного анализа известно, что компо­ненты векторного произведения двух векторов составляют антисим­метрический тензор второго ранга). Поэтому момент сил, дейст­вующих на элемент объема dV есть .

(2.4)

Как и полная сила, действующая на любой объем, момент этих сил тоже должен выражаться в виде интеграла по поверхности объема. Подставляя в (2.4) выражение для (2.1), находим

(3.2.5)

Во втором члене замечаем, что производные от одной координаты по другой равны единице, если обе координаты одинаковы, или ну­лю, если координаты разные (три координаты являются независимы­ми переменными). Таким образом, , за счет чего суммы во втором слагаемом пропадают, и мы получаем под знаком ин­теграла разность . В первом же слагаемом под ин­тегралом стоит дивергенция некоторого тензора; по формуле Ост­роградского интеграл можно преобразовать в интеграл по поверх­ности. В результате находим:

Для того чтобы было выражено в виде интеграла по поверхности, необходимо, чтобы второй член здесь тождественно исчезал, т. е. должно быть , или (2.6)

Таким образом, мы приходим к существенному результату, что тензор напряжения является симметрическим тензором. Момент сил, действующих на некоторый объем тела, может быть теперь написан в простом виде:

(2.7)

§ 3. Термодинамика деформирования

Рассмотрим какое-либо деформированное тело и предположим, что его деформация меняется так, что вектор деформации изменяет­ся на малую величину . Определим работу, производимую при этом силами внутренних напряжений. Умножая силу на перемещение и интегрируя по всему объему, имеем:

Посредством мы обозначим работу сил внутренних напряжений и единице объема тела. Интегрируя по частям и используя формулу Остроградского, получим:

Рассматривая неограниченную среду, не деформированную на бес­конечности, стремим поверхность интегрирования в первом интегра­ле к бесконечности; тогда на ней и интеграл исчезает. Второй же интеграл можно, воспользовавшись симметрией тензора , переписать в виде

Таким образом, мы можем написать

(3.1)

Эта формула определяет работу сил внутренних напряжений в единице объема тела по изменению тензора деформации.

Если деформация тела достаточно мала, то по прекращении дей­ствий, вызвавших деформацию внешних сил, тело возвращается в исходное недеформированное состояние. Такие деформации называ­ются упругими. При больших деформациях прекращение действия внешних сил не приводит к полному исчезновению деформации - ос­тается, как говорят, некоторая остаточная деформация, так что состояние тела отличается от того, в котором оно находилось до начала действия сил. Такие деформации называются пластическими. В дальнейшем рассматриваются только упругие деформации.

Предположим далее, что процесс деформирования совершается настолько медленно, что в каждый момент времени в теле успевает установиться состояние термодинамического равновесия, соответствующее тем внешним условиям, в которых тело в данный момент находится (фактически это условие почти всегда выполняется). Тог­да, как известно, процесс будет термодинамически обратимым.

Условимся в дальнейшем все экстенсивные термодинамические величины, такие, как энтропия S, внутренняя энергия U и т. д. относить к единице объема тела. Бесконечно малое изменение внутренней энергии равно разности полученного данной единицей объема тепла и произведенной силами внутренних напряжений рабо­ты . Количество тепла при обратимом процессе равно , где Т - температура тела; таким образом

(3.2)

Вводя вместо энергии U свободную энергию тела , получим термодинамическое тождество в виде

(3.3)

Компоненты тензора напряжений можно получить, дифференцируя (3.2) или (3.3) по компонентам тензора деформации, соответственно при постоянной энтропии S, или температуре Т:

§4. Закон Гука

Для того чтобы иметь возможность применять общие термодинами­ческие соотношения к тем или иным конкретным случаям деформации, необходимо иметь выражение для свободной энергии тела F, как функции от тензора деформации. Это выражение легко получить, вос­пользовавшись малостью деформации и разлагая F в ряд по степе­ням :

Значок "0" у производных означает, что они вычисляются для состо­яния тела, в котором отсутствуют деформации. Значок "T" показы­вает, что мы рассматриваем деформацию тела при постоянной темпе­ратуре, - чтобы отвлечься от рассмотрения теплового расширения.

При должны отсутствовать и внутренние напряжения, т. е. должно быть . Поскольку , то отсюда следует, что в разложении F по степеням должны отсутст­вовать линейные члены. Вводя далее обозначения:

(4.1)

и выбирая начало отсчета энергии так, что , запишем выра­жение для свободной энергии при в виде:

(4.2)

Коэффициенты (4.1) носят название изотермических модулей упругости (или упругих постоянных).

Пользуясь выражениями (3.4) и (4.2), получим линейное соотношение между тензором напряжений и тензором деформаций

(4.3)

известное под названием закона Гука.

§5. Свойства упругих постоянных.

Упругие свойства кристаллов определяются величинами . Установим свойства этих величин. Как это видно непосредственно из определения (4.1), имеют место соотношения симметрии между величинами относительно перестановки индексов внутри первой и второй пары и относительно перестановки пар индексов:

(5.1)

Первое свойство следует из симметрии тензоров деформации, второе из существования вторых производных от свободной энергии по компонентам тензора деформации.

Упругие постоянные представляют собой тензор четвертого ранга - это следует непосредственно из их определения (4.1) и того факта, что есть тензор второго ранга. Поэтому эти величины преобразуются при вращениях координатной системы по правилам преобразования компонент тензора. Если есть некоторая унитарная матрица, которая описывает вращение коорди­натной системы, так что

или ,

где - вектор в исходной системе координат и - в преобразованной системе координат; то в преобразованной системе координат имеем:

(5.2)

Аналогичным образом преобразуется тензор модулей упругости и при точечных преобразованиях симметрии кристалла.

Так как при преобразованиях симметрии кристалл совмещается сам с собой, тензор модулей упругости должен оставаться инвари­антным . Все эти преобразования имеют действительные ор­тогональные матрицы . Число и вид этих преобразований зависит от симметрии кристалла. Симметрия кристалла уменьшает число независимых упругих постоянных.

Соотношения (5.1) могут быть частично учтены путем введения место более просто индексированных величин , a, b=1,2,…,6, введенных впервые Фойгтом по следующей схеме:

ik или nm	11	22	33	23 32	13 31	12 21
a или b	1	2	3	4	5	6

Матрица , согласно (5.1) симметрична , и поэтому, как нетрудно сосчитать, содержит 21 независимую ве­личину. Таким образом, учет только соотношения (5.1) уменьша­ет число независимых модулей упругости с 81 до 21 величины. Эти величины можно записать в виде матрицы:

	11	22	33	23	13	12
11	С11	С12	С13	С14	С15	С16
22	С21	С22	С23	С24	С25	С26
33	С31	С32	С33	С34	С35	С36
23	С41	С42	С43	С44	С45	С46
13	С51	С52	С53	С54	С55	С56
12	С61	С62	С63	С64	С65	С66

Наличие той или иной симметрии кристалла (учет соотношений (5.2)) приводит к появлению зависимостей между различными ком­понентами тензора , так что число его независимых компонент оказывается меньше 21. При этом оказывается, что чис­ло независимых компонент этого тензора зависит от кристалличес­кой системы, будучи одинаковым для всех классов, относящихся к одной системе (сингонии), но различным для классов разных сис­тем. Определим эти числа для всех систем, рассматривая в каждой из них только по одному классу.

I.  Триклинная система.

Группа ; в группе симметрии имеется только два элемен­та - единичный и инверсия. Элементарная ячейка является произвольным параллелепипедом, в вершинах которого находятся узлы решетки Браве. Наличие триклинной симметрии не накладывает никаких ограничений на компоненты тензора - для единичного элемента симметрии это очевидно: в случае инвер­сии матрица отличается от единичной знаком минус, дейст­вие четырех матриц операции инверсии в соотношении (5.2) эквивалентно действию четырех единичных матриц.

Мы можем, однако, выбрать произвольным образом систему ко­ординат, в которой мы описываем деформацию. Поскольку ориен­тация системы координат относительно тела определяется тремя величинами-углами поворота, то произвольность в её выборе оз­начает, что мы можем наложить на компоненты тензора , три дополнительных условия, например, мы можем выбрать такую систему координат, в которой три компоненты тензора обратят­ся в нуль. Таким образом, кристаллы триклинной системы обла­дают 18 независимыми модулями упругости.

II.  Моноклинная система.

Рассмотрим класс , выбираем систему координат с плос­костью ХОУ, совпадающей с плоскостью симметрии. При отраже­нии в этой плоскости координаты подвергаются преобразованию: , , . Компоненты тензора преобразуются как произведения соответствующих координат. Поэтому ясно, что при указанном преобразовании все компоненты среди индексов которых индекс z содержится нечетное число раз, изменяют знак, а остальные компоненты остаются неизмен­ными. С другой стороны, тензор должен остаться инвариант­ным при отражении в плоскости симметрии. Поэтому ясно, что все компоненты с нечетным числом индексов z должны быть рав­ны нулю. Соответственно этому, матрицу упругих постоянных можно записать:

С11	C12	С13	0	0	С16
С21	С22	С23	0	0	С26
С31	С32	С33	0	0	C36
0	0	0	C44	C45	0
0	0	0	C54	С55	0
C61	С62	C63	0	0	C66

Видно, что с учетом симметрии матрицы имеется 13 независимых величин. Из этих независимых величин ещё одна может быть выбрана произвольным образом в силу возможности произвольного поворота системы координат относительно оси z. Таким образом, кристаллы моноклинной системы обладают 12 не­зависимыми модулями упругости.

III. Ромбическая система.

Рассмотрим класс и выберем плоскости координат в трех плоскостях симметрии этого класса. От­ражение в каждой из этих плоскостей представляет собой преоб­разование, при котором одна из координат меняет знак, а две другие не меняются. Очевидно, поэтому, что из всех компонент отличными от нуля останутся только те, среди индек­сов которых каждое из их значений x, у, или z встречается чет­ное число раз; все остальные компоненты должны менять знак при отражении в какой-нибудь плоскости симметрии. Таким образом, матрица имеет вид

С11	C12	С13	0	0	0
С21	С22	С23	0	0	0
С31	С32	С33	0	0	0
0	0	0	C44	0	0
0	0	0	0	С55	0
0	0	0	0	0	C66

Она содержит всего 9 независимых модулей упругости. 4. Тетрагональная система.