Методические указания по изучению темы 1. Аналитическая геометрия

Методические указания по изучению темы 1.

Аналитическая геометрия

1. Векторы

Понятие вектора. Некоторые физические величины (сила, скорость, ускорение и др.) характеризуются не только числовым значением, но и направлением. Такие величины принято изображать направленными отрезками, которые называются векторами. Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор.

Координаты вектора. В прямоугольной системе координат на плоскости любой вектор можно разложить единственным образом по базисным векторам, коэффициенты и этого разложения называются координатами вектора в данной системе координат. Абсолютная величина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат: .

Действия над векторами, заданными своими координатами.

При сложении двух (или большего числа) векторов их соответственные координаты складываются: . При вычитании векторов их соответственные координаты вычитаются:

.

При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число:

.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называют число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

.

Скалярное произведение равно сумме попарных произведений соответствующих координат векторов: .

Вычисление угла между векторами. Из определения скалярного произведения векторов можно получить величину угла между векторами: или в координатах: .

2. Задание линии при помощи уравнения.

Уравнения прямых на плоскости

Уравнение называется уравнением линии L (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

То есть линия L представляет собой множество всех тех точек плоскости (х, у), координаты которых удовлетворяют уравнению

Общее уравнение прямой имеет вид:

,

где А, В, С – произвольные коэффициенты ( А и В 0 одновременно) .

Частные случаи:

- уравнение оси ординат ОУ;

- уравнение оси абсцисс ОХ;

- уравнение прямой, проходящей через точку А(а,0) параллельно оси ординат;

- уравнение прямой, проходящей через точку В(0,b) параллельно оси абсцисс.

у у

х=0 х=а

В(0,b) у=b

у=0

0 А(а,0) х 0 x

3. Кривые второго порядка

Линии, определяемые уравнениями второй степени относительно переменных координат x и y называются линиями второго порядка. В общем случае их уравнение имеет вид:

.

Частные случаи:

1) Окружность

Окружностью называется множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от другой точки, называемой центром окружности.

Уравнение окружности имеет вид: y R

, где

х0 и y0 - координаты центра окружности;

R – радиус. _ y0

Если, центр окружности совпадает с O

началом координат, то уравнение окружности

примет вид

х2 + y2 = R2 . |

0 x0 x

2) Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, большая расстояния между ними.

Каноническое (простейшее) уравнение эллипса имеет вид:

. y

Числа а и b называются полуосями эллипса. b

F1 и F2 - фокусы эллипса.

 

a x

3) Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Простейшее уравнение гиперболы имеет вид: y

.

Прямые - асимптоты гиперболы.

F1 |a 0 | F2

b x

4) Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус. y

Простейшее уравнение параболы имеет вид:

.

Величину p называют параметром параболы. F

0 x

Методические указания к выполнению задания 1

(Векторы на плоскости)

Литература: [3, гл.1]

Даны два вектора и (1;3).

1. Найдите координаты векторов и ;

Координаты векторов и находим по правилу умножения вектора на число: . Координаты вектора находятся по правилу вычитания векторов:

Координаты вектора

2. Вычислите скалярное произведение векторов и ;

По формуле скалярного произведения:

= 1(-30) + (-12)(-9) = -3 + 108 = 105.

3. Вычислите и ;

Скалярные произведения ; ;

, тогда .

Найдите длину векторов и ;

Длина вектора ;

Длина вектора .

5. Изобразите векторы и на координатной плоскости;

6. Определите угол между векторами и .

Угол между векторами и определяется по формуле: ;

.

Полученные данные приводятся в виде таблицы:

(1 ; -2)	( 1 ; 3)	(1;-12)	(-3;-9)	105	5	25