Элективный курс по математике для 11 класса на 2учебный год «Способы решения нестандартных уравнений» (стр. 2 )

Доказательство:

Предположим имеется корень х1 , больший 1, тогда выполняется

, т. к. х1 >1,

,

,

.

.Делаем вывод, что корней больших единицы нет.

Аналогично, можно доказать, что нет корней, меньших единицы.

Значит x=1 – единственный корень.

Ответ: x = 1.

1.3.2. Решите уравнение:

ОДЗ: [ 0,5 ; +¥ ), т. к. т. е. .

Преобразуем уравнение ,

,

.

Левая часть представляет собой возрастающую функцию ( произведение возрастающих функций ), правая часть – линейная функция ( к = 0). Геометрическая интерпретация показывает, что исходное уравнение должно иметь единственный корень, который можно найти подбором, х = 7.

Проверка:

Можно доказать, что других корней нет( см. пример выше).

Ответ: х = 7.

Тема 4. Тема Функционально-графический метод решения уравнений

Метод основан на использовании графических иллюстраций или каких - либо свойств функций.

Идея графического метода решения уравнения про­ста и понятна: нужно построить графики функций и найти точки их пересечения. Корнями уравнения служат абс­циссы этих точек. Этот метод позволяет опре­делить число корней уравнения, угадать значение корня, найти приближенные, а иногда и точные значения корней.

В некоторых случаях построение графиков функций можно заменить ссылкой на какие-либо свойства функций (потому-то мы говорим не о графическом, а о функционально-графическом методе решения уравнений). Если, например, одна из функций возрастает, а другая — убывает, то уравнение либо не имеет корней, либо имеет один корень (который иногда можно угадать).

Еще одна разновидность функ­ционально-графического метода: если на множестве наиболь­шее значение одной из функций равно и наи­меньшее значение другой функции тоже равно , то уравнение равносильно на множестве системе уравнений

1.loq 2x=-x+1

2.log 3 x=2-1/3x2

Тема 5. Методы решения тригонометрических уравнений.

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:  преобразование уравнения для получения его простейшего вида и  решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения  тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.  Этот метод нам хорошо известен из алгебры

( метод замены переменной и подстановки ).

 

2. Разложение на множители.  Этот метод рассмотрим на примерах.

  П р и м е р  1.  Решить уравнение:  sin x + cos x = 1 .

  Р е ш е н и е .  Перенесём все члены уравнения влево:

  sin x + cos x – 1 = 0 ,

  преобразуем и разложим на множители выражение в

  левой части уравнения:

 

  П р и м е р  2.  Решить уравнение:  cos 2 x + sin x · cos x = 1.

  Р е ш е н и е.  cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

  sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

  sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

1) sin x=0 2) cos x - sin x=0

х1 = k tg x=1

х2= /4+ n

    П р и м е р  3.  Решить уравнение:  cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1. 

   Р е ш е н и е.  cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,

  2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

  cos 4x · ( cos 2x –  cos 4x ) = 0 ,

  cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

  1).  cos 4x = 0 ,    2).  sin 3x = 0 ,  3). sin x = 0 ,

 

3.

Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно  sin  и  cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin  и cos  одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:   а)  перенести все его члены в левую часть;  б)  вынести все общие множители за скобки;   в)  приравнять все множители и скобки нулю;   г)  скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на     cos ( или sin ) в старшей степени;   д)  решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .    П р и м е р .  Решить уравнение:  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.   Р е ш е н и е.  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,    sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,   tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0 ,  отсюда  y 2 + 4y +3 = 0 ,   корни этого уравнения:  y1 = 1,  y2 = 3,  отсюда     1)  tg x = –1,      2)  tg x = –3,

4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:

  П р и м е р .  Решить уравнение:  3 sin x – 5 cos x = 7. 

  Р е ш е н и е.  6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

    = 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

    2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

    tg ² ( x / 2 ) – 3 tg ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:

  a sin x + b cos x = c ,

  где  a, b, c – коэффициенты;  x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь - так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:

 

 

6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.

  П р и м е р .  Решить уравнение:  2 sin x · sin 3x = cos 4x.

  Р е ш е н и е .  Преобразуем левую часть в сумму:

  cos 4x – cos 8x = cos 4x ,

  cos 8x = 0 ,

  8x = / 2 + k ,

   x = / 16 + k / 8 .

7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.

   

  П р и м е р.  Решить уравнение:  3 sin x – 4 cos x = 3 .

 

   

  Таким образом, решение даёт только первый случай.

Метод оценки левой и правой частей уравнения.

1. Решите уравнение cos3x cos2x = -1.

Первый способ..

0,5 ( cos x + cos 5x ) = -1, cos x + cos 5x = -2.

Поскольку cos x ³ - 1 , cos 5x ³ - 1, заключаем,­ что cos x + cos 5x > -2, отсюда

следует система уравнений

cos x = -1,

cos 5x = - 1.

Решив уравнение cos x = -1, получим х = p + 2pк, где kÎZ.

Эти значения х являются также решениями уравнения cos 5x = -1, т. к.

cos 5x = cos 5 (p + 2pk) = cos (p + 4p + 10pk) = -1.

Таким образом, х = p + 2pк , где kÎZ, - это все решения системы, а значит и исходного уравнения.

Ответ: х = p ( 2k + 1 ), kÎZ.

Второй способ.

Можно показать, что из исходного уравнения следует совокупность систем

cos 2x = - 1,

cos 3x = 1.

cos 2x = 1,

cos 3x = - 1.

Решив каждую систему уравнений, найдем объединение корней.

Ответ: x = ( 2pк + 1 ), kÎZ.

Для самостоятельной работы.

Решите уравнения:

4.1.2. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = 7. Ответ: нет решений.

4.1.3. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = -8. Ответ: нет решений.

4.1.4. 3 cos 3x + cos x = 4. Ответ: х = 2pк, kÎZ.

4.1.5. sin x sin 3 x = -1. Ответ: х = p/2 + pк, kÎZ.

4.1.6. cos8 x + sin7 x = 1. Ответ: х = pm, mÎZ; х = p/2 + 2pn, nÎZ.

4.1.7. cos 3x + cos 5x/2 = 2.

Поскольку ½ cos 3x ½ £ 1 и ½cos 5x/2½ £ 1 , то данное уравнение равносильно системе

cos 3x = 1, x = 2pn / 3,

cos 5x/2 = 1; x = 4pk / 5.

Ответ: 4pm, mÎZ.

4.1.8. cos 2x + cos 3 x / 4 - 2 = 0. Ответ: 8pк, kÎZ.

4.1.9. cos2(2 x + p/3 ) + cos2( p / 12 - x ) = 0. Ответ: 7p/12 + pк, kÎZ.

4.1.10. cos 6x + sin 5x / 2 = 2. Ответ: p + 4pк, kÎZ.

2. Уравнения, связанные с тригонометрическими уравнениями.

4.2.1.  Решите уравнение ½ х + 5½ sin x = x + 5.

Данное уравнение равносильно совокупности систем

x ³ - 5, или x < -5,

( x + 5 ) ( sin x - 1 ) = 1. ( x + 5 ) ( sin x + 1 ) = 0.

Решением первой системы является Решением второй системы являются

х = -5, а также корни уравнения корни уравнения sin x = -1

sin x = 1, удовлетворяющие удовлетворяющие условию

условию x ³ -5,т. е. х < -5, т. е.

sin x = 1, sin x = -1,

x = p/2 + 2pk, k Î Z. x = - p/2 + 2pm, mÎZ.

p/2 + 2pk ³ -5, полагая - p/2 + 2pm < -5, полагая

-5 » 5/3 p, имеем -5 » -5/3p, имеем

p/2 + 2pк ³ - 5 p/3, - p/2 + 2pm < -5p/3,

2pк ³ -5p/3 - p/2, m < - 7/12, mÎZ.

к ³ -13/12, k Î Z. m = -1 ,-2, -3,… .

к = -1, 0, 1, … .

Ответ: -5; p/2 + 2pк ( к = -1, 0, 1 ,…); -p/2 + 2pm (p = -1, -2, -3,…).

Для самостоятельного решения.

4.2.2. ½ х + 3 ½ sin x = х + 3. Ответ: -3, p/2 + 2pк ( к = 0, 1, 2, …),

-p/2 + 2pm ( m = -1, -2, -3,…) .

4.2.3. 2½ x - 6 ½ cos x = x - 6. Ответ: 6, 4p/3, 7p/3, + p/3 + 2pк ( к = 2, 3, 4,…),

2p/3 + 2pm ( m = 0, -1, -2, …).

4.2.4. .

О Д З : ( x + 18 ) cos x ³ 0.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

, =0.

Решим данное уравнение.(cosx ¹ 0,см. ОДЗ).

cos2 x (x + x + 18) = 0,

(cos2 x - 1) (x + 18 ) = 0,

cos x = + 1, cos x = - 1, или x = - 18.

x = 2pk, k Î Z. x = p + 2pm, m Î Z.

Произведем отбор корней в соответствии с О Д З.

1) х = -18, ( 18 + 18 ) cos 18 ³ 0, cos 18 ³ 0 ( заметим, что угол, выраженный в радианах, принадлежит четвертой четверти, 18 » 5,7p ).

cos 18 ³ 0 - верно.

2) х = 2pк, (2pk + 18 ) cos2pk ³ 0,

т. к. cos 2pk = 1, то

2pk ³ - 18,

2pk ³ - 5,7 p,

k ³ - 2,85

k = -2,-1, 0, 1,… .

3) х = p + 2pm, (p + 2pm + 18 ) cos (p + 2pm ) ³ 0,

т. к. cos (p + 2pm ) = -1, то

p +2pm + 18 £ 0,

p +2pm £ - 18,

2pm £ - 5,7 p - p,

m £ -3,35

m = -4, -5 , -6,… .

Ответ: - 18, 2pк, к = -2, -1, 0, 1 ,…; p + 2pm, m = -4, -5, -6, -7,… .

Тема 6. Занятия 11-12. Решение уравнений, содержащих аркфункции.

Для решения некоторых уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции (аркфункции) достаточно знать их определения.

Сведём эти определения в таблицу:

Y = arcsin x	Y = arccos x	Y = arctg x	Y = arcctg x
Если 1) sin y = x, x 2) y	Если 1)  cos y = x, x 2)  y	Если 1)  tg y = x 2)  y	Если 1)ctg y = x 2)

Если 0 < х < 1, то символы Y = arcsin x, Y = arccos x, Y = arctg x, Y = arсctg x могут служить обозначениями острых углов, обладающих соответствующими свойствами.

Если -1 < х < 0, то символы Y = arccos x и Y = arсctg x могут служить обозначениями

тупых углов.

Функция Y = arcsin x определена и монотонно возрастает на отрезке

Функция Y = arcсоs x определена и монотонно убывает на отрезке

Функция Y = arctg x определена и монотонно возрастает на R.

Функция Y = arcctg x определена и монотонно убывает на R.

Приведём тождества, связывающие обратные тригонометрические функции.

arcsin x + arccos x =	X
arctg x + arcctg x =	х
arctg x = arcctg	х
arctg x = - arcctg()	х
аrcsin(- x ) = - arcsin x	x
аrctg( - x ) = - arctg x	х
аrсcos(- x ) = - arccos x	x
аrсctg(- x ) = - arcctg x	х

Решения простейших уравнений с аркфункциями приведены в таблице:

Уравнение	Решение
arcsin x = a, а	X = sin a
arccos x = a, а	X =cos a
arctg x = a, а	X = tg a
arcctg x = a, а	X = ctg a

Свойства монотонности и ограниченности являются ключевыми при решении многих уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции

При решении уравнений и неравенств, левая и правая части которых представляют собой одноимённые обратные тригонометрические функции различных аргументов, справедливы следующие равносильные переходы:

1. а) arcsin f(x) = arcsin g(x)

б) arcsin f(x) ≤ arcsin g(x)

2. а) arcсоs f(x) = arccos g(x)

б) arcсоs f(x) arccos g(x)

3. а) arctg f(x) = arctg g(x) f(x) = g(x).

б) arctg f(x) arctg g(x) f(x) g(x).

4. а) arcсtg f(x) = arcсtg g(x) f(x) = g(x).

б)arcсtg f(x) arcсtg g(x) f(x) g(x).

Если в уравнение входят выражения, содержащие разные аркфункции, или эти аркфункции зависят от разных аргументов, то сведение уравнения к его алгебраическому следствию осуществляется обычно вычислением некоторой тригонометрической функции от обеих частей уравнения. Получающиеся при этом посторонние корни отделяются проверкой. Если в качестве прямой функции выбираются тангенс или котангенс, то решения, не входящие в область определения этих функций, могут быть потеряны. Поэтому перед вычислением тангенса или котангенса от обеих частей уравнения следует убедиться в том, что среди точек, не входящих в область определения этих функций, нет корней исходного уравнения.

Приведём примеры решения уравнений, содержащих аркфункции.

I. Уравнения, левая и правая части которых представляют собой одноимённые обратные тригонометрические функции различных аргументов.

1. arcsin(1+2х) = arcsin(2х- х – 1). Запишем равносильную систему:

2х- 3х -2 = 0, х.

Неравенство мы можем не решать, а подставить в него найденные корни.

Итак, х удовлетворяет неравенству системы, а х не удовлетворяет ему.

Ответ:

II. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим.

1. arcsin 2 x –arcsinх + = 0. Пусть arcsin x = y, y

у, D = , y

arcsin x = или arcsin x =

x=sin , x= x=sin, x = . Ответ: ;.

2. arccos2x – arccos x +=0. Пусть arcros х = y, у [0; ]

y2 –y + =0, D =,

arccos x = или arccos x =

x = cos, х=0 x = cos , x= Ответ; 0; .

3. arctq2(3x + 2) + 2 arctq (3x + 2)=0. Пусть arctq (3x + 2)=y, y

y2 + 2y=0, y (y + 2 )=0, y=0 или y=-2 , -2

arctq (3x + 2)=0, 3x + 2=tq 0, 3x + 2=0, х= Ответ:

4. arcsin2x –arcsinx + = 0. Пусть arcsin x=y, y .

y2 –y + = 0, D = < 0. Корней нет. Ответ: корней нет

5. arctg2x –arctg x+ = 0. Пусть arctg x=y, y

y2 –y + = 0, D =, y

arctg x= arctg x=

x=tg х=1 x=tg , x= Ответ: 1;

III. Уравнения, решаемые с помощью определений обратных тригонометрических функций.

1. arcsin (x2 – 4x + 3)=0

x2 – 4x + 3= sin 0, а + в + с = 0, X1=1, X2=3

Проверка: x=1, arcsin 0=0 – верно, x =1 – корень уравнения

x=3, arcsin 0=0 – верно, x=3 – корень уравнения Ответ: 0;3

2. 4 arctq ( x2 – 3x – 3 ) - =0 . 4 arctq ( x2 - 3x – 3 ) =

arctq ( x2 – 3x – 3 ) =

x2 – 3x – 3= tq , x2 – 3x – 3 = 1, x2 – 3x – 4 = 0, x1= -1,x2= 4

Проверка: x=-1, 4 arctq (1 + 3 – 3) – = 0 – верно, x= -1 – корень уравнения

x=4, 4 arctq (16 – 12 – 3) – = 0-верно, x=4 – корень уравнения.

Ответ: -1;4

3. arrcos (x2 – 2) = , x2 – 2 = cos, x2 – 2= -1, x2=1, x=±1

Проверка: x=1, arrcos (1 – 2)= – верно, x=1 – корень уравнения

x= -1, arrcos (1 – 2)= – верно, x= -1 – корень уравнения.

Ответ: -1; 1

4. arcsin (x2 – 3x +)= . x2 – 3x + =sin , x2 – 3x = 0, x (x – 3)=0, x1=0, x2=3

Ответ: 0;3

5. 6arcsin (x2 – 6x + 8,5) = . arcsin (x2 – 6x + 8,5) =

x2 – 6x + 8,5 = sin , x2 – 6x + 8,5 = 0,5, x2 – 6x + 8 = 0, D =36 – 32=4, x