Элективный курс по математике для 11 класса на 2учебный год «Способы решения нестандартных уравнений» (стр. 1 )

Элективный курс

по математике для 11 класса

на 2учебный год

Способы решения нестандартных уравнений

Пояснительная записка

Элективный курс «Способы решения нестандартных уравнений» разработан для обеспечения старшеклассников занятиями по выбору из вариативного компонента Базисного учебного плана в старшей профильной школе. Предлагаемый элективный курс «Способы решения нестандартных уравнений» позволяет осуществлять задачи профильной подготовки старшеклассников. Курс рассчитан на 34 академических часа и ориентирован на учащихся 11 классов естественнонаучного направления, где математика не является профилирующим предметом.

Данный элективный курс направлен, прежде всего, на удовлетворение индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника в математике, способствует удовлетворению познавательных потребностей школьников в методах и приёмах решения нестандартных задач. Содержание курса углубляет «линию уравнений» в школьном курсе математики и не дублирует программу алгебры и начал анализа. Именно поэтому при изучении данного элективного курса у старшеклассников повысится возможность намного полнее удовлетворить свои интересы и запросы в математическом образовании. Элективный курс «Нестандартные способы решения уравнений» займёт значимое место в образовании старшеклассников, так как может научить их применять свои умения в нестандартных ситуациях, дать возможность «поучиться не для аттестата», а для реализации последующих жизненных планов. С другой стороны, курс позволяет выпускнику средней школы приобрести необходимый и достаточный набор умений по решению уравнений и лучше подготовиться к обучению в ВУЗе и ССУЗе, где математика является профилирующим предметом.

Целесообразность введения данного элективного курса состоит и в том, что содержание курса, форма его организации помогут школьнику через практические занятия оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы и предоставят ему возможность работать на уровне повышенных возможностей. Элективный курс «Способы решения нестандартных уравнений» позитивно влияет на мотивацию старшеклассника к учению, развивает его учебную мотивацию по предметам естественно-математического цикла.

Задания, предлагаемые программой данного элективного курса, носят исследовательский характер и способствуют развитию навыков рационального мышления, способности прогнозирования результатов деятельности.

Материал курса «Способы решения нестандартных уравнений» разбит на модули, каждый из которых посвящён специальному виду нестандартных уравнений. В курсе систематизированы теоретические и практические основы знаний и умений «линии уравнений», рассматриваются комбинированные уравнения, уравнения, в которых присутствуют элементы прогрессий.

Цель курса :

углубление знаний учащихся о различных методах решения уравнений и базовых математических понятий, используемых при обосновании того или иного метода решения; формирование у школьников компетенций, направленных на выработку навыков самостоятельной и групповой исследовательской деятельности.

Задачи курса :

1.  Классификация способов решения нестандартных уравнений, углубление теоретических основ школьной математики для решения каждого вида уравнений.

2.  Интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценной жизни в обществе. Развитие мыслительных способностей учащихся: умения анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать.

3. Воспитание личности в процессе освоения математики и математической деятельности, развитие у учащихся самостоятельности и способности к самоорганизации.

Для реализации целей и задач данного элективного курса предполагается использовать следующие формы учебных занятий: лекции, практикумы.

Основой проведения занятий может служить технология деятельностного метода, которая обеспечивает системное включение ребенка в процесс самостоятельного построения им нового знания и позволяет учителю проводить разноуровневое обучение. Занятия должны носить проблемный характер. Ученики самостоятельно, в микрогруппах, в сотрудничестве с учителем выполняют задания, предполагающие исследовательскую деятельность, на занятиях организуется обсуждение результатов этой работы.

Оперативную коррекцию в овладении учебной деятельностью можно провести на уроках-практикумах. Урок-практикум – своеобразная самостоятельная работа, вариант, объем заданий учащиеся выбирают сами, исходя из уровня усвоения материала, мотивации развития, норм оценок. Каждому ученику предоставляется право проверить правильность решения каждого задания, получить консультацию учителя. Учитель выступает как субъект педагогической деятельности, помощник, а не контролер. Ученик управляет своей деятельностью, своим развитием, формируя качества субъекта учения и самовоспитания.

 Требования к уровню освоения содержания курса

В результате изучения курса учащиеся овладевают следующими знаниями, умениями и способами деятельности:

·  имеют представление о математике как форме описания и методе познания действительности;

·  умеют анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать;

·  умеют самостоятельно работать с математической литературой;

·  знают основные приемы решения нестандартных уравнений, понимают теоретические основы способов решения уравнений;

·  умеют решать нестандартные уравнения различными методами;

·  умеют представлять результат своей деятельности, участвовать в дискуссиях;

·  умеют проводить самоанализ деятельности и самооценку ее результата.

 Формы контроля

1.  Решение учеником в качестве индивидуального домашнего задания предложенных учителем задач из того списка, что завершает каждый модуль и называется «Упражнения для самостоятельной работы», т. к. осознание и присвоение учащимися достигаемых результатов происходит с помощью рефлексивных заданий. Подбор индивидуальных заданий осуществляется с учетом уровневой дифференциации, причем выбор делают сами ученики, оценивая свои возможности и планируя перспективу развития.

2.  Решение группой учащихся в качестве домашнего задания предложенных учителем задач из того же раздела. Работа в группе способствует проявлению интереса к учению как деятельности.

Учащимся, ориентированным на выполнение заданий более высокого уровня сложности, предлагается:

· Самостоятельное построение метода, позволяющего решить предложенную задачу.

· Самостоятельный подбор задач на изучаемую тему курса из дополнительной математической литературы.

Тематический план курса

№	Тема	Кол. часов	Требования к уровню подготовки обучающихся	Формы контроля
1	1.Умножение уравнения на функцию	1	Знать: область определения, область значения функций. Уметь: решать уравнения методом умножения на какую-либо функцию.
2-4	2.Уравнения, при решении которых используется ограниченность функции	3	Знать:· таблицу множеств значений элементарных функций; определения ограниченной функции (ограниченной снизу, ограниченной сверху) на промежутке; теорему, позволяющую заменить данное уравнение системой уравнений, учитывая ограниченность функций, входящих в исходное уравнение; обобщённый алгоритм решения уравнений методом оценки и критерии его применения. Уметь: исследовать функции на ограниченность;  определять тип уравнения, к которому применим метод оценки;  применять метод оценки к решению уравнений;  решать нестандартные системы уравнений методом оценки.	проверка задач для самостоятель-ного решения
5-7	3.Уравнения, при решении которых используется монотонность функции	3	Знать: определения возрастающей, убывающей, монотонной функций;  теорему, устанавливающую связь монотонности функций, входящих в уравнение, с количеством корней соответствующего уравнения;  обобщённый алгоритм решения уравнений методом использования монотонности функций; виды уравнений, решаемых с использованием монотонности функций. Уметь:  находить область определения функций; исследовать функцию на монотонность; применять обобщённый алгоритм решения уравнений методом использования монотонности функции к соответствующим видам уравнений.	СР
8-9	4.Функционально-графический метод решения уравнений	2	Знать: теорему о корне (одна из функций возрастает, а другая — убывает, то уравнение либо не имеет корней, либо имеет один корень); идею графического метода: нужно построить графики функций и найти точки их пересечения. Уметь: применять функционально-графический метод к решению некоторых уравнений.	проверка задач для самостоятель-ного решения;
10-12	5.Методы решения тригонометрических уравнений	3	Знать: основные методы решения тригонометрических уравнений. Уметь: выполнять преобразование уравнения для получения его простейшего вида и  решение полученного простейшего тригонометрического уравнения.	СР
13-14	6.Решение уравнений, содержащих аркфункции.	2	Знать: тождества, связывающие обратные тригонометрические функции равносильные переходы. Уметь: решать уравнения, содержащие аркфункции	проверка задач для самостоятель-ного решения
15-16	7.Метод решения уравнения вида (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = m	2	Знать: метод решения уравнений такого типа. Уметь: решать уравнения вида(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = m	проверка реше-ния уравнений
17-18	8.Метод решения симметрических уравнений и возвратные уравнения	2	Знать: одним из корней возвратных уравнений нечетной степеней является 1 Уметь: решать симметрические уравнения	проверка задач для самостоятель-ного решения
19-21	9.Показательно -степенные уравнения	3	Знать: ·определения, свойства степенной и показательной функций; способы и особенности решения показательно-степенных уравнений. Уметь: анализировать, сопоставлять, сравнивать, обобщать; исследовать показательно-степенные уравнения; сводить их к совокупности систем уравнений и неравенств; решать системы уравнений и неравенств.	проверка задач для самостоятель-ного решения
22-23	10.Решение иррациональных уравнений	2	Знать: метод решения уравнения, при решении которых используется ограниченность функции; монотонность функции, метод введения новой переменной Уметь: применять рассмотренные методы к решению иррациональных уравнений	СР
24-26	11.Методы решения логарифмических уравнений	3	Знать: свойства логарифмов. Уметь: выполнять преобразования логарифмических выражений.	тестовая работа
27-28	Практикум по решению некоторых уравнений.	2	Знать: разные методы решения уравнений. Уметь: решать различными методами уравнения.	СР
29-32	Общие приемы и методы решения систем уравнений.	3	Уметь: применять на практике методы решения уравнений к решению систем
33-34	Зачет	2	Учащиеся демонстрируют умения решать нестандартные уравнения
	Всего	34

Математическое содержание курса

Тема 1. Умножение уравнения на функцию.

Иногда решение алгебраического уравнения существенно облегчается, если умножить обе его части на некоторую функцию – многочлен от неизвестной. При этом надо помнить, что возможно появление лишних корней – корней многочлена, на который умножили уравнение. Поэтому надо либо умножать на многочлен, не имеющий корней, и получить равносильное уравнение, либо умножать на многочлен, имеющий корни, и тогда каждый из таких корней надо обязательно подставить в исходное уравнение и установить, является ли это число его корнем.

Пример1. Решить уравнение:

х3 – х6 + х4 – х 2 + 1 =

Решение: Умножив обе части уравнения на многочлен х2 + 1, не имеющий корней, получим уравнение:

(х2 +1) (х8 – х 6 + х4 – х 2 + 1) = 0 (2)
равносильное уравнению (1). Уравнение (2) можно записать в виде:

х10 + 1= 0 (3)
Ясно, что уравнение (3) не имеет действительных корней, поэтому уравнение (1) их не имеет.

Ответ: нет решений.

Пример 2. Решить уравнение:

6х3 – х 2 – 20х + 12 = 0 (4)

Решение: Умножив обе части уравнения на многочлен х + ½, получим уравнение:

6х4 + 2х3 – 41/2х2 + 2х + 6 = 0 (5)
являющееся следствием (4), так как уравнение (5) имеет корень Х = -1/2, не являющийся корнем уравнения (4).

Уравнение (5) есть симметричное уравнение четвертой степени. Поскольку Х=0 не является корнем уравнения (5) то, разделив обе части на 2х2 и перегруппировав его члены, получим уравнение:

3(х2 +1/х2) + (х +1/х) – 41/4 = 0 (6)
равносильное уравнению (5). Обозначив у= х + 1/х, перепишем уравнение (6) в виде

3у2 + у – 65/4 =0 (7)
уравнение (7) имеет два корня: у1= -5/2 и у 2 = 13/6. Поэтому уравнение (6) равносильно совокупности уравнений:

х + 1/х = 15/6,

х + 1/х = -5/2.

Решив каждое из этих уравнений, найдём четыре корня уравнения (6), а тем самым и уравнения (5)

х1 =2/3,

х2 = 3/2,

х3 = -2,

х4 = -1/2.

Так как корень х4 = -1/2 является посторонним для уравнения (4), то отсюда получаем, что уравнение (4) имеет три корня: х1, х2, х3.

Ответ: х1 =2/3, х2 = 3/2, х3 = -2.

Тема 2. Занятия 2-3. Уравнения, при решении которых используется ограниченность функции

Множество значений функции. Понятие ограниченности функции.

Метод замены исходного уравнения системой уравнений.

Виды уравнений, при решении которых используется ограниченность функции.

.

При решении уравнений свойство ограниченности снизу или сверху на некотором множестве часто играет определяющую роль.

.

Метод мажорант – метод нахождения ограниченности функции.

Мажорирование – нахождение точек ограничения функции. М – мажоранта.

Если имеем f(x) = g(x) и известно ОДЗ, и если

, , то

Заметим, что роль числа А часто играет нуль, в этом случае говорят о сохранении знака функции f(х) и g(х) на множестве М

Например, если для всех х из некоторого множества М справедливы неравенства fх)>А и g(х)<А, где А некоторое число, то на множестве М уравнение f(х)=g(х) решений не имеет.

Пример1: Решите уравнение.

Sin(х3+2х2+1)=х2+2х+3.

Решение: Для любого действительного числа х имеем sin(х3+2х2+1)≤1, х2+2х+3=(х+1)2+2≥2. Поскольку для любого значения х левая часть уравнения не превосходит единицы, а правая часть всегда меньше двух, то данное уравнение не имеет решений.

Ответ: Нет решений.

Пример2: Решить уравнение.

х3 – х – sinпх=0. (1)

Решение: Очевидно, что х=0, х=1, х= - 1 являются решениями уравнения (1). Для нахождения других решений уравнения (1) в силу нечетности функции f(х)=х3 – х – sinпх достаточно найти его решения в области х >0, х≠1, поскольку если х0 >0 являются его решением, то и ( - х0) также являются его решением.

Разобьем множество х>0, х≠1, на два промежутка: (0;1) и (1;+~).

Перепишем уравнение (1) в виде х3 – х=sinпх. На промежутке (0;1) функция g(х)=х3 – х принимает только отрицательные значения, поскольку х3<х, а функция h(х)= sinпх только положительные значения ⇒ на этом промежутке уравнение (1) не имеет решений.

Пусть х принадлежит промежутку (1;+~). Для каждого из таких значений х функция g(х)=х3 – х принимает положительные значения, функция h(х)= sinпх принимает значения разных знаков, прием на промежутке (1;2] функция h(х)= sinпх неположительная на промежутке (1;2] уравнение (1) решений не имеет.

Если же х>2, то sinпх≤1, х3 – х=(х2 – 1)>2*3=6, а это означает, что и на промежутке (2;+~) уравнение (1) также не имеет решений. Итак, х=0, х=1 и х= - 1и только они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: х1=0, х2=1, х3= -1.

Пример3: Решить уравнение.

2 sinпх=х – п/2 – х+п/2. (2)

Решение: Обозначим =х – п/2 – х+п/2 через f(х). Из определения абсолютной величины следует, что f (х)=п при х≤ - п/2, f(х)= -2х при – п/2<х<п/2 и f (х)= - п при х≥п/2. Поэтому, если х≥ - п/2, то уравнение (2) можно переписать в виде 2пsinх=п, т. е. в виде sinх=1/2. Это уравнение имеет решения хх=( -1)пп/6+Пn, n= - 1, - 2,…Если х≥п/2, то уравнение (2) можно переписать в виде 2 sinпх= - п т. е. в виде sinх= - 1/2 это уравнение имеет решение имеет решение х=(-1)м+1п/6+ Пm, Из этих значений х условию х≥п/2 удовлетворяют только х=( -1)пп/6+Пm, m=1,2,…

Рассмотрим х из промежутка ( - п/2,п/2). На этом промежутке уравнение (2) можно переписать в виде 2 sinпх= - 2х, т. е. в виде.

sinх= - х/п. (3)

Ясно, что х=0 есть решение уравнения (3), а значит, и исходного уравнения. Докажем, что других решений уравнение (3) на промежутке ( - п/2;п/2) не имеет.

Для х≠0 уравнение (3) равносильно уравнению.

Sinх= - 1/п.

Для любого значения х из (- п/2;0)U(0;п/2), функция f(х)=sinх/х принимает только положительные значения, поэтому уравнение (3) не имеет решений на множестве

(- п/2;0)U(0;п/2).

Ответ: х=0; х=( -1)пп/6+Пn, n= 1,2…;=( -1)m+1п/6+Пm, m=1,2…

Пример 4. Решить уравнение cosx = х 2 + 1

Решение:

Рассмотрим функции

Корнем уравнения f ( х ) = φ ( х ) может служить только число 0. Проверим это:

cos 0 = 0 + 1 – равенство верно.

Число 0 единственный корень данного уравнения.

Ответ: 0.

Тема 3. Занятия Уравнения, при решении которых используется монотонность функций

Теорема, устанавливающая связь монотонности функций, входящих в

уравнение, с количеством корней соответствующего уравнения.

Виды уравнений, при решении которых используется монотонность функций.

 Применение монотонности функции.

1.3.1. Решите уравнение :

ОДЗ : , т. к. Þ .

Известно, что сумма возрастающих функций есть функция возрастающая.

Левая часть представляет собой возрастающую функцию. Правая часть – линейная функция (к=0). Графическая интерпретация подсказывает, что корень единственный. Найдем его подбором, имеем х = 1.