Элективный курс по математике для 11 класса на 2учебный год «Способы решения нестандартных уравнений» (стр. 3 )

Тема 7. Занятия 13-14. Уравнения вида (х-а)(х-в)(х-с)(х-d)=m

Уравнение четвертой степени вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = m, где а + b = c + d, или а + с = b + d, или а + d = b + c.

(х+1)(х+2)(х+3)(х+4)=

Присмотревшись к этому примеру, видим, что сумма свободных членов в 1-ой и 4-ой скобках равна сумме свободных членов во 2-ой и 3-ей скобках. Это наводит на мысль, что целесообразны следующие преобразования:

(17) ⇔ [(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]=120 ⇔

⇔ (х²+5х+4)(х²+5х+6)=120

Теперь уже нет сомнений, что разумна подстановка: t=x²+5x+4.

При этом получим:

t(t+2)-120=0 ⇔ t²+2t-120=0 ⇔ t=-12 ∨ t=10

Таким образом,

(17) ⇔ х² +5х+4=-12 ∨ х²+5х+4=10

х² +5х +16=0 ∨ х² 5х-6=0 ⇔ х∊Ø ∨ (х=-6 ∨ х=1) , х=-6 ∨ х=1

Ответ: {-6; 1}

 Решить уравнения:

1. (х - 1)(х - 7)(x -4)(x + 2) = 40

2.16х(х+1)(х+20(х+3)=9

3.(х-2)(х-3)(х-4)=6

Тема 8.Симметрические уравнения и возвратные уравнения

Литература. Литература. . Дополнительные главы к школьному учебнику.

-М.:Просвещение, 1997.

Определение. Способ решения возвратных уравнений 4-й степени

Примеры.

1.Решить уравнение 3х4-5х3-30х2-10х+12=0

х4 -2х3-9х2-6х+9=0

3.Известно, что каждое из уравнений х2+ах+в=0 и х2+вх+а=0 имеет корни. Найти их общий корень.

Тема 9 Показательно-степенные уравнения

Определение: Показательными уравнениями называют уравнения вида a f(x) = a g(x), где a > 0 и a ≠ 1, а также уравнения, сводящиеся к этому виду.

Так как равенство at = as, где a > 0, a ≠ 1, справедливо тогда и только тогда, когда t = s, сформулируем следующее

утверждение.

Теорема: Показательное уравнение a f(x) = a g(x) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

При решении показательных уравнений выделяют три основных метода решения показательных уравнений:

1. Ф у н к ц и о н а л ь н о  -  г р а ф и ч е с к и й  м е то д.

Метод основан на использовании графических иллюстраций или каких - либо свойств функций.

2. М е т о д  у р а в н и в а н и я  п о к а з а т е л е й.

Он основан на теореме о том, что уравнение a f(x) = a g(x) равносильно уравнению (x) = g(x), где a - положительное число, отличное

от 1. Этот метод применен в примерах  1 - 3, 5.

3. М е т о д  в в е д е н и я  н о в о й  п е р е м е н н о й.

52x2-1-3 · 5(x+1)(x+2)-2· 56(x+1)=0

Раскроем скобки в показателях степеней:

52x2-1-3· 5x2+3x+2-2· 56x+6=0

Вынесем 56x+6 за скобки:

56x+6· (52x2-6x-7-3· 5x2-3x-4-2)=0

56x+6=0

52x2-6x-7-3· 5x2-3x-4-2=0

Выражение 56x+6=0 не имеет решения, т. к. an≠0. Представим 52x2-6x-7 как 52(x2-3x-4)+1 и обозначим 5x2-3x-4 переменной t. Получим:

5t2-3t-2=0

По теореме Виета получим корни:

t1=1

t2=-2/5

Корень t2=-2/5 не будет удовлетворять уравнению, т. к. положительное число в любой степени больше нуля. Подставим вместо t - 5x2-3x-4

5x2-3x-4=1

Заметим, что 1=50

5x2-3x-4=50

Приравниваем показатели:

x2-3x-4=0

D=9+16=25, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня:

x1=(3-5)/2=-1

x2=(3+5)/2=4

Ответ: x=-1 и x=4.

Пример №2

5x/(√x+2)*0,24/(√x+2)=125x-4*0,04x-2

Напишем сразу ОДЗ: x≥0, т. к. D(√)=R+ U 0

Заметим, что 0,24/(√x+2)=5-1(4/(√x+2))=5-4/(√x+2); 125x-4=53(x-4)=53x-12; 0,04x-2=5-2(x-2)=54-2x

Обозначим √x переменной t>0

5t2/(t+2)*5-4/(t+2)=53t2-12*54-2t2

Отметим, что t≠0, т. к. деление на 0 не определено. При умножении складываем показатели степеней:

5(t2-4)/(t+2)=5t2-8

Приравниваем показатели степеней

(t2-4)/(t+2)=t2-8

(t2-4) по формуле квадрат разности будет (t+2)*(t-2)

Упростим:

(t+2)*(t-2)/(t+2)=t2-8

Получим:

t-2=t2-8

Перенесем все члены в правую часть уравнения:

t2-t-6=0

D=1+24=25, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

t1=(1+5)/2=3

t2=(1-5)/2=-2

t2=-2 не удовлетворяет уравнению, т. к. в случае 5(t2-4)/(t+2)=5t2-8 при t=-2 (t+2)=0, а деление на 0 не определено. Подставим вместо t - √x

√x=3

Возведем левую и правую часть уравнения в квадрат:

x=9

Ответ: х=9.

Пример №3

3· 4x+(1/3) · 9x+2=6· 4x+1-(1/2) · 9x+1

Перенесем 3*4x в правую часть уравнения, а (1/2)*9x+1 - в левую:

(1/3)*9x+2+(1/2)*9x+1=6*4x+1-3*4x

В левой части уравнения 9x+1 вынесем за скобки, а в правой - 4x :

9x+1 * (1/3 * 9 + 1/2)=4x * (6*4-3)

Сложив действия в скобках, получим:

7/2 * 9x+1=4x*21

Поделим левую и правую часть уравнения на 21/2 :

9x+1 * 1/3=4x*2

Заметим, что 9x=32x,4x=22x и 1/3=3-1

32x+2*3-1=2x*2

Сложим показатели степеней при умножении:

32x+1=22x+1

32x+1=22x+1 лишь в том случае, если 2x+1=0, т. к. любое число в нулевой степени - 1.

2x+1=0

2x=-1

x=-1/2

Ответ: x=-1/2

Пример №4

491+√x-2-344· 7√x-2=-7

Напишем сразу ОДЗ: x-2≥0, т. к. D(√)=R+ U 0, следовательно, x≥2

Представим 491+√x-2 как 72√x-2*49 и перенесем -7 в левую часть уравнения с противоположным знаком:

72*√x-2*49-344*7√x-2+7=0

Обозначим 7√x-2 переменной t>0, т. к. положительное число в любой степени больше нуля.

49t2-344t+7=0

D== D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня:

t1=(344-342)/108=1/49

t2=(344+342)/108=7

t1=1/49 не удовлетворяет уравнению, т. к. t должно быть больше 0 . Подставим вместо t - 7√x-2

7√x-2=7

Приравниваем показатели:

√x-2=1

Возведем левую и правую часть уравнения в квадрат:

x-2=1

Перенесем -2 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

x=3

Ответ: х=3

Пример №5

(0,25)|x|· √(3)2x2-8-(27/4)|x|=0

Представим (0,25)|x| как(1/4)|x|, √(3)2x2-8 как 3x2-4, а (27/4)|x| как 33|x|*(1/4)|x|:

(1/4)|x|*3x2-4-33|x|*(1/4)|x|=0

Вынесем (1/4)|x| за скобки:

(1/4)|x|*(3x2-4-33|x|)=0

Получим:

(1/4)|x|

3x2-4-33|x|=0

(1/4)|x| не удовлетворяет, т. к. любое положительное число в любой степени больше нуля.

Модуль раскроется в двух случаях:

A. a≥0

B. a<0.

Рассмотрим случай A:

3x2-4-33x=0

Перенесем 33x в правую часть уравнения с противоположным знаком:

3x2-4=33x

Приравниваем показатели:

x2-4=3x

Перенесем 3x в левую часть уравнения с противоположным знаком:

x2-3x-4=0

По теореме Виета получим корни:

x1=4

x2=-1

Корень t2=-1 не будет удовлетворять уравнению, т. к. мы оговорили, что a≥0.

Рассмотрим случай B:

3x2-4-3-3x=0

Перенесем 3-3x в правую часть уравнения с противоположным знаком:

3x2-4=3-3x

Приравниваем показатели:

x2-4=-3x

Перенесем 3x в левую часть уравнения с противоположным знаком:

x2+3x-4=0

По теореме Виета получим корни:

x1=-4

x2=1

Корень t2=1 не будет удовлетворять уравнению, т. к. мы оговорили, что a<0.

Ответ: х=4 и х=-4

Пример №6

(25x2-5x2)√-x=52x2+1-5x2+1+20√-x-100

Напишем сразу ОДЗ: √-x≥0, т. к. D(√)=R+ U 0, следовательно, - x≥0, тогда x≤0.

Представим 25x2 как 52x2:

(52x2-5x2)√-x=52x2+1-5x2+1+20√-x-100

Вынесем 5x2, 20 и 5x2+1 за скобки:

5x2(5x2-1)√-x=5x2+1(5x2-1)+20(√-x-5)

Перенесем 5x2+1(5x2-1)+20(√-x-5) в левую часть уравнения с противоположными знаками:

5x2(5x2-1)√-x - 5x2+1(5x2-1)-20(√-x-5)=0

Вынесем 5x2(5x2-1) за скобки:

5x2(5x2-1)(√-x-5)-20(√-x-5)=0

Вынесем (√-x-5) за скобки:

(√-x-5)(5x2(5x2-1)-20)=0

(√-x-5)=0

(5x2(5x2-1)-20)=0

Решим их по отдельности:

(√-x-5)=0

Перенесем -5 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

√-x=5

Возведем левую и правую часть уравнения в квадрат:

-x=25

Домножим левую и правую часть уравнения на -1:

x=-25

(5x2(5x2-1)-20)=0

Раскроем скобки:

52x2-5x2-20=0

5x2 обозначим переменной t, тогда 52x2 будет t2:

t2-t-20=0

Получили квадратное уравнение:

D=1+80=81, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

t1=(1+9)/2=1

t2=(1-9)/2=-4

Корень t2=-4 не будет удовлетворять уравнению, т. к. любое положительное число в любой степени больше нуля.

Подставим вместо t - 5x2:

5x2=1

Заметим, что 50=1:

5x2=50

Приравним показатели:

x2=0

x=0

Ответ: x=0 и x=-25

Пример №7

(3-2√2)x2-2x+2+(17+√288)0,5*x2-x+1=6

Заметим, что (17+√288)0,5*x2-x+1=(3+2√2)2(0,5*x2-x+1)

(3-2√2)x2-2x+2+(3+2√2)2(0,5*x2-x+1)=6

Раскроем скобки в показателе степени 2(0,5*x2-x+1)

(3-2√2)x2-2x+2+(3+2√2)x2-2x+2=6

Введем подстановку: (3-2√2)x2-2x+2 обозначим переменной t. А (3+2√2)x2-2x+2 домножим на сопряженные и получим:

((3+2√2)x2-2x+2*(3-2√2)x2-2x+2)/(3-2√2)x2-2x+2=(32-2√22)x2-2x+2=(9-8)x2-2x+2/(3-2√2)x2-2x+2=1x2-2x+2/(3-2√2)x2-2x+2=1/(3-2√2)x2-2x+2

Следовательно, 1/(3-2√2)x2-2x+2=1/t:

t+1/t=6

Отметим, что t≠0, т. к. деление на 0 не определено. Домножим левую и правую часть на t:

t2+1=6t

Перенесем 6t в левую часть уравнения с противоположным знаком:

t2-6t+1=0

Решим квадратное уравнение:

D=36-4=32, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня. Отметим, что √32=4√2

t1=(6+4√2)/2=3+2√2

t2=(6-4√2)/2=3-2√2

Заменим t1 на (3-2√2)x2-2x+2

3+2√2=(3-2√2)x2-2x+2

Домножим 3+2√2 на сопряженные и получим:

(3+2√2)*(3-2√2)/(3-2√2)=(9-8)/(3-2√2)=1/(3-2√2)

Следовательно:

1/(3-2√2)=(3-2√2)x2-2x+2

Заметим, что 1/(3-2√2)=(3-2√2)-1

Следовательно:

(3-2√2)-1=(3-2√2)x2-2x+2

Приравняв показатели, получим:

-1=x2-2x+2

Перенесем -1 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

x2-2x+3=0

D=4-8=-4, D<0, следовательно, уравнение не имеет действительных корней

Заменим t2 на (3-2√2)x2-2x+2

3-2√2=(3-2√2)x2-2x+2

Приравняв показатели, получим:

1=x2-2x+2

Перенесем 1 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

x2-2x+1=0

Сложив формулу, получим:

(x-1)2=0

Следовательно:

x-1=0

Перенесем -1 в правую часть уравнения с противоположным знаком. Получим:

x=1

Тема 10. Методы решения логарифмических уравнений:

Функционально - графический

Метод потенцирования

Метод введения новых переменных

Метод логарифмирования

Метод перехода к одному основанию

Нестандартный метод

Классификация логарифмических уравнений по методам решения:

1	Log5зх – 0,5х+0,5=0	Функционально-графический
2	Logх+4(х2-1)= Logх+4(5-х)	Потенцирования
3	Log3 (2х2-х+3)=Log3(х+7)	Потенцирования
4	Log32х-2Log3х-3=0	Введение новой переменной
5	хLgх-3=0,01	Логарифмирования
6	Log16х+ Log4х+Log2х=7	Переход к одному основанию
7	хLgх-5=0,000001	Логарифмирования
8	х-1=Log2х	Функционально-графический
9	Lgх=2+ Lg21- Lg(2х+10)	Потенцирования
10	Log2Ö(1-х2)=3	Потенцирования
11	Lg(20-х)= Lg3х	Нестандартный метод

1. Функционально - графический

х-1=Log2х

2. Решите уравнение (x+3)logx+3(x+2)2=9.

Решение. Данное уравнение равносильно системе

(x+2)2=9,

í x+3 > 0

x+3 ¹ 1. Решим уравнение (x+2)2=9:

x+2=3, или х+2=-3 Из чисел 1 и -5 неравенствам системы удовлетворяет только число 1.

2.Метод оценки левой и правой частей.

.1. Решите уравнение: log2 (2х - х2 + 15 ) = х2 - 2х + 5.

Дадим оценку левой части уравнения.

2х - х2 + 15 = - (х2 - 2х - 15 ) = - ( ( х2 - 2х + = - ( х + 16 £16.

Тогда log2 (2х - х2 + 15 ) £ 4.

Оценим правую часть уравнения.

x2 - 2х + 5 = (х2 - 2х + + 5 = (х - 1) 2 + 4 ³ 4.

Исходное уравнение может иметь решение только при равенстве обеих частей четырем.

значит

Ответ: х = 1.

2. .№1 Решите уравнение:

,

х = 4 - решение уравнения.

№2 Решить уравнение

Решение: Оценим правую и левую части уравнения:

а) , так как , а ;

б) , так как .

Оценка частей уравнения показывает, что левая часть не меньше, а правая не больше двух при любых допустимых значениях переменной x. Следовательно, данное уравнение равносильно системе

Первое уравнение системы имеет только один корень х=-2. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем верное числовое равенство:

Ответ: х=-2.

№2

№3

 

Для самостоятельной работы.

3.1.2. log4 (6х - х 2 + 7 ) = х2 - 6х + 11 Отв.: х = 3.

3.1.3. log5 ( 8x - x 2 + 9 ) = x2 - 8x + 18 Отв.: х = 6.

3.1.4. log4 (2x - x 2 + 3 ) = x 2 - 2x + 2 Отв.: х = 1.

3.1.5. log2 ( 6x - x= x 2 - 6x + 11 Отв.: х = 3.

3. Использование монотонности функции, подбор корней.

Решите уравнение : log2 (2х - х2 + 15 ) = х2 - 2х + 5.

Выполним замену 2x - x 2 + 15 = t, t>0. Тогда x2 - 2x + 5 = 20 - t, значит

log2 t = 20 - t.

Функция y = log2 t - возрастающая, а функция y = 20 - t - убывающая. Геометрическая интерпретация дает нам понять, что исходное уравнение имеет единственный корень, который нетрудно найти подбором t = 16.

Решив уравнение 2х - х2 + 15 = 16, находим, что х = 1.

Проверкой убеждаемся в верности подобранного значения.

Ответ: х = 1.

4. Некоторые “интересные” логарифмические уравнения.

3.3.1. Решите уравнение .

ОДЗ: ( x - 15 ) cosx > 0.

Перейдем к уравнению

, , ,

.

Перейдем к равносильному уравнению

(x - 15) (cos2 x - 1) = 0,

x - 15 = 0, или cos2 x = 1 ,

x = 15. cos x = 1 или cos x = -1,

x = 2 pk, kÎZ . x = p + 2pl, lÎZ.

Проверим найденные значения, подставив их в ОДЗ.

1) если x = 15 , то cos 15 > 0,

0 > 0, неверно.

x = 15 – не является корнем уравнения.

2) если x = 2pk, kÎZ, то (2 pk - 15) l > 0,

2pk > 15, заметим, что 15 » 5p. Имеем

k > 2,5 , kÎZ,

k = 3, 4, 5, … .

3) если x = p + 2pl, lÎZ, то (p + 2pl -> 0,

p + 2pl < 15,

2pl < 15 - p, заметим, что 15 » 5 p.

Имеем: l < 2,

l = 1, 0 , -1, -2,… .

Ответ: х = 2pk (k = 3,4,5,6,…); х = p +2p1(1 = 1,0, -1,- 2,…).

Пример. Решите уравнение log(x+6)2(x3+3x2-4x)=logx+6 Ö x3+2x2-7x+10

Решение. Воспользовавшись свойствами логарифмов, избавимся от степени основания в левой части уравнения и от знака корня — в правой части:
1/2logx+6(x3+3x2-4x)=1/2 logx+6(x3+2x2-7x+10)

Сократив на 1/2, перейдем к равносильной системе x3+3x2-4x=x3+2x2-7x+10,

x3+3x2-4x > 0

í x+6 > 0

x+6 ¹ 1

Корни уравнения x2+3x-10=0 найдем по теореме, обратной теореме Виета: их произведение равно -10, а сумма равна -3.

Это числа: x=-5; x=2.

Всем трем неравенствам системы удовлетворяет только один корень: x=2.

Ответ:

x=2.

4.Решить уравнение

Log 2 x –log 4 x +7/6=0

См. в книгу В Г Агаков. Элементарная математика и начал анализа

Ч.: Издательство чувашского университета, 1991.

Разобрать примеры 5,6,7 стр. 51-54

Задачи для самостоятельного решения

Стр. 53-54

Тема 10. Занятия. Методы решения иррациональных уравнений.

Метод подстановки.

1.1 Решите уравнение .

Заметим, что знаки х под радикалом различные. Введем обозначение

, .

Тогда,

Выполним почленное сложение обеих частей уравнения .

Имеем систему уравнений

Т. к. а + в = 4, то

 

Значит: 9 – x = 8 Þ х = 1. Ответ : х = 1.

2. Решите уравнение .

Введем обозначения: , ; , .

Значит:

Сложив почленно левую и правую части уравнений, имеем .

Имеем систему уравнений

а + в = 2, , , ,

.

Вернемся к системе уравнений:

, .

Решив уравнение относительно (ab), имеем ab = 9, ab =посторонний корень, т. к. , .).

Данная система не имеет решений, значит, исходное уравнение также не имеет решения.

Ответ : нет решений.

3.Решите уравнение: .

Введем обозначение , где . Тогда ,.

, ,

.

Рассмотрим три случая:

1) . 2) . 3) .

- а + 1 - а + 2 = 1, а - 1 - а + 2 = 1, а - 1 + а - 2 = 1, a = 1, 1 Ï [ 0;1 ). [ 1 ; 2 ). а = 2.

Решение: [ 1 ; 2 ].

Если , то , , .

Ответ: .

Метод оценки левой и правой частей.

1.  Решите уравнение: .

ОДЗ: .

Рассмотрим правую часть уравнения.

Введем функцию . Графиком является парабола с вершиной А(3 ; 2 ).

Наименьшее значение функции у(3) = 2, то есть .

Рассмотрим левую часть уравнения.

Введем функцию . С помощью производной нетрудно найти максимум функции, которая дифференцируема на x Î ( 2 ; 4 ).

.

при ,

,

, x=3.

g` + -

2 3 4

g

max

g(3) = 2.

Имеем, .

В результате , , то

Составим систему уравнений, исходя из вышеуказанных условий :

Решая первое уравнение системы, имеем х = 3. Подстановкой этого значения во второе уравнение, убеждаемся, что х = 3 есть решение системы.

Ответ: х = 3.

Применение монотонности функции.

1.. Решите уравнение :

ОДЗ : , т. к. Þ .

Известно, что сумма возрастающих функций есть функция возрастающая.

Левая часть представляет собой возрастающую функцию. Правая часть – линейная функция (к=0). Графическая интерпретация подсказывает, что корень единственный. Найдем его подбором, имеем х = 1.

Доказательство:

Предположим имеется корень х1 , больший 1, тогда выполняется

, т. к. х1 >1,

,

,

.

.Делаем вывод, что корней больших единицы нет.

Аналогично, можно доказать, что нет корней, меньших единицы.

Значит x=1 – единственный корень.

Ответ: x = 1.

2. Решите уравнение:

ОДЗ: [ 0,5 ; +¥ ), т. к. т. е. .

Преобразуем уравнение ,

,

.

Левая часть представляет собой возрастающую функцию ( произведение возрастающих функций ), правая часть – линейная функция ( к = 0). Геометрическая интерпретация показывает, что исходное уравнение должно иметь единственный корень, который можно найти подбором, х = 7.

Проверка:

Можно доказать, что других корней нет( см. пример выше).

Ответ: х = 7.

Тема 11. Практикум по решению уравнений нестандартными методами.

.№1 Решите уравнение:

,

х = 4 - решение уравнения.

№2 Решить уравнение

Решение: Оценим правую и левую части уравнения:

а) , так как , а ;

б) , так как .

Оценка частей уравнения показывает, что левая часть не меньше, а правая не больше двух при любых допустимых значениях переменной x. Следовательно, данное уравнение равносильно системе

Первое уравнение системы имеет только один корень х=-2. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем верное числовое равенство:

Ответ: х=-2.

№2

№3

 

Тема 12. Системы уравнений. Общие приемы и методы решения систем уравнений.

Общие приемы решения систем уравнений

Система линейных уравнений называется определённой, если она имеет единственное решение.

Несовместной называется линейная система, не имеющая решения. Неопределенной называется линейная система имеющая бесконечное множество решений.

Существуют различные приёмы решения систем уравнений.

Метод подстановки заключается в следующем:

Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором y выражено через х (или х через y); Полученное выражение подставляют вместо y (или вместо х) во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной; Находят корни этого уравнения; Воспользовавшись выражением y через х (или х через y), находят соответствующие значения х (или y).

Метод сложения основан на следующих теоремах:

Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение системы заменить уравнением, ему равносильным, то полученная система будет равносильна заданной; Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение заменить суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная система будет равносильна заданной.

Метод введения новых переменных применяется при решении систем двух уравнений с двумя переменными одним из следующих способов:

Вводится одна новая переменная только для одного уравнения системы; Вводятся две новые переменные сразу для обоих уравнений.

Для того чтобы графически решить систему двух уравнений с двумя переменными, нужно в одной системе координат построить графики уравнений и найти координаты точек пересечения этих графиков.

Методы умножения и деления при решении систем уравнений основаны на следующем утверждении: если обе части уравнения ни при каких значениях одновременно не обращаются в нуль, то системы

равносильны.

Решите систему уравнений:

для решения системы уравнений необходимо в первом уравнении использовать метод уравнивания показателей, а второе уравнение решить, используя метод введения новой переменной.

 

 

Методические рекомендации

Оценивание учащихся на протяжении курса не предусматривается и основной мотивацией является познавательный интерес и успешность ученика при изучении материала повышенной сложности. Поэтому для определения степени усвоения материала на последних занятиях целесообразно провести итоговую зачетную работу по решению учащимися всех изученных типов задач, по результатам которой, знания и умения учащихся оценить в форме “зачтено / не зачтено”.

Содержание курса можно варьировать с учетом склонностей, интересов и уровня подготовленности учеников. Материал по каждой теме в указанной литературе достаточное количество задач. Подбор системы задач не является трудоемкой работой, в указанной литературе достаточное количество задач. В зависимости от уровня подготовленности школьников каждый учитель вправе внести в программу элективного курса необходимые, с его точки зрения, коррективы Выбор задач для решения на занятиях предоставляется учителю, который знает уровень подготовки и интересы своих учеников.

Литература

1. Литература. Литература. . Дополнительные главы к школьному учебнику.

-М.:Просвещение, 1997.

2., , «Задачи вступительных экзаменов по математике».

-М.: Наука, 1986.

3., и др. Алгебра. М.:Просвещение, 1972.

4. , -Мусатов, . Алгебра и математический анализ для 10 класса. –М.:Просвещение, 1992.

5.Сборник задач для поступающих во ВТУЗы под редакцией . Мн.: Высш. шк., 1990.

6.. и др. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы

-М.: Наука, 1982.