Геометрическая прогрессия
(9 класс)
Цели:
- С помощью проблемных ситуаций, постоянно возникающих
на имитации процессов реальной жизни вывести формулы
суммы n членов бесконечной геометрической прогрессии;
1. Повторение.
1) Опрос по формулам в устной форме;
2) Решение занимательных задач:
Учитель: 1)«Я задумал геометрическую прогрессию. Задайте два
вопроса, чтобы после ответов вы смогли быстро наз-
вать третий член прогрессии»
2)«Придумайте такую геометрическую прогрессию, чтобы ни в одном из её членов не встречалась цифра 1».
Ответ: 5,5,5,… (q = 1)? 5, -5,5,-5,… (q=-1)
2,20,200,2000,…, (q = 10) и т. д.
3)«Первый член некоторой геометрической прогрессии равен 2. Подберите такой знаменатель, чтобы четвёртый член этой прогрессии был больше 120 и меньше 130»
4)«Дано: b1 = 10000; bn+1 = bn * . Какое число можно подставить вместо квадратика, чтобы пятый член прогрессии был: а) меньше 1; б) равен 1; в) больше 1?
2. Вывод формулы n членов геометрической прогрессии.
Учащимся предлагается такая жизненная ситуация:
«Однажды незнакомец постучал в окно к богатому купцу и предложил
такую сделку: «Я буду ежедневно в течение 30 дней приносить тебе по 100 тысяч рублей. А ты мне в первый день за 100 тысяч рублей дашь 1 копейку, во второй день за 100 тыс. руб – 2 коп и так каждый день будешь увеличивать предыдущее число денег в 2 раза. Если тебе выгодна сделка, то с завтрашнего дня начнём» Купец обрадовался такой удаче. Он подсчи-
тал, что за 30 дней получит от незнакомца 3 000 000 руб. На следующий день пошли к нотариусу и узаконили сделку.
Создаётся проблемная ситуация. Кто в этой сделке проиграл: купец или незнакомец Учащиеся составляют последовательность
чисел:1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; …. Убеждаются, что эти числа образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q = 2, первым членом b1 = 1 и количеством членов n = 30. Большинство школьников стремятся составить всю последовательность, чтобы потом найти её сумму. Но видят, что это громоздкая работа, которая требует времени.
Учитель сообщает: «А ведь можно вывести формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии в общем виде».
После этого проблемность ещё больше усиливается.
Учитель: «По преданию индийский принц Сирам, восхищённый остроумием игры и разнообразием возможных положений шахматных фигур, призвал к себе её изобретателя, учёного Сету, и сказал ему: «Я желаю достойно вознаградить тебя за прекрасную игру, которую ты придумал. Я достаточно богат, чтобы исполнить твоё желание» сета попросил принца положить на первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, на вторую – 2 зерна, на третью – 4 зерна и т. д. Возникает необходимость найти S64 где b1 = 1, q =2, n = 64.
Под руководством учителя учащиеся выводят формулу
. Убеждаются, что купец проиграл.
3. Бесконечно – убывающая геометрическая прогрессия.
Проблема: Каким образом сумма бесконечного числа слагаемых может быть конечным? Рассмотрим пример.
Учитель предлагает игровую ситуацию:
Один из учеников, вызванный к доске, должен идти от стола учителя к двери по прямой по такому закону.
Первый шаг он делает длиной 1 метр, второй – ½ м, третий – ¼ м и т. д. – так, что длина следующего шага в 2 раза меньше длины предыдущего.
Возникают вопросы:
ü Дойдёт ли ученик к двери, если расстояние от стола до двери по прямой 3 м?
ü Какой путь пройдёт ученик, если представить себе его движение бесконечным?
Замечание: Каким бы маленьким ни был отрезок, всегда можно найти и записать числовое значение его половины.
школьники записывают последовательность:
1+
Как найти сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии? Создаётся проблемная ситуация.
Возможно ли практически найти сумму членов такого вида последовательности?
Если обозначить через Sn сумму n первых отрезков, то Sn = 1+ . По формуле суммы n членов геометрической прогрессии находим: Sn =
При n
, тогда Sn 
2 Можно считать, что сумма бесконечного числа отрезков в рассматриваемой задаче равна 2.
Вывод формулы бесконечной убывающей прогрессии
a1не равно 0, /q/<1.
n, /q/<1
Т. к. 
4.Закрепление нового материала
Решить № 000 и 420(а, б,в)
5. Д/З
