Элементы теории производственных функций и теории затрат (стр. 2 )

.

Из произвольности ненулевого вектора приращения по определению следует, что матрица Гессе для произвольной производственной функции f(K, L) является полуотрицательно определенной.

Полуотрицательность матрицы Гессе для любой неоклассической производственной функции имеет следующий экономико-математический смысл.

Линейное приближение производственной функции через величину предельного продукта дает оценку сверху и снизу для роста или сокращения объема выпуска продукта, соответственно. По мере увеличения величины изменения объема потребляемых факторов затрат производства погрешность линейного приближения растет по абсолютной величине. Иначе говоря, линейное приближение дает завышенное значение при росте производства и заниженное значение при его спаде.

Масштаб производства и однородность производственной функции

Производственная функция обладает свойством однородности (свойство IV), которое математически выражает отдачу производственной системы от расширения масштабов производства.

Пропорциональное увеличение всех факторов производства в λ раз не меняет структуру самого производства, а приводит к равному для всех факторов затрат производства изменению их средних и предельных продуктов.

В общем случае для однородной производственной функции можно записать:

,

где d - степень однородности производственной функции.

Для случая двух переменных K и L соответственно получаем:

.

Неоклассическая ПФ является однородной функцией первой степени (δ = 1), если справедливо:

.

Поэтому говорят, что неклассическая ПФ является линейно-однородной.

Для любой однородной дифференцируемой функции со степенью однородности d справедлива теорема Эйлера, согласно которой всегда выполняется равенство:

. (2.14)

Докажем эту теорему для производственной функции f(K, L) со степенью однородности d.

Введем новые переменные - . Тогда можно записать:

.

Продифференцируем по λ левую и правую части предыдущего равенства.

Для левой части справедливо согласно правилу дифференцирования сложной функции:

.

Для правой части имеем:

.

Приравнивая правую и левую части для случая λ = 1 окончательно получаем:

. (2.15)

Что и требовалось доказать.

Из (2.15) следует:

или .

Для ПФ вида f(K, L) со степенью однородности d = 1, получаем тождество, имеющее важное экономическое значение

.

Произведенный конечный продукт Y может быть представлен в виде суммы и разделен на две части.

Первое слагаемое показывает вклад затрат фактора капитала в произведенный конечный продукт.

Второе слагаемое представляет вклад затрат фактора труда в произведенный конечный продукт.

Это позволяет оценить вклад каждого из факторов затрат производства в конечный продукт.

При решении задач планирования расширения или свертывания производства необходимо ответить на следующие вопросы:

·  как влияет изменение масштаба производства на его эффективность;

·  как изменится производимый продукт при изменении масштаба производства на единицу.

Для ответа на эти вопросы введем понятия среднего и предельного продукта масштаба производства.

Определение. Средний продукт масштаба производства – это отношение продукта, полученного при увеличении факторов производства в λ раз, к коэффициенту масштабирования λ:

. (2.16)

Предельный продукт масштаба определяется как прирост продукта при изменении масштаба производства на единицу.

Определение. Предельный продукт масштаба производства - это частная производная продукта, полученного при увеличении факторов в λ раз, по коэффициенту масштабирования в λ:

. (2.17)

Определение. Коэффициентом эластичности масштаба производства назовем отношение предельного продукта масштаба производства к его среднему продукту:

. (2.18)

Коэффициент эластичности масштаба производства всегда равен степени однородности d производственной функции.

Теорема 3. Для любой однородной производственной функции сумма коэффициентов эластичности продукта по факторам затрат производства равна коэффициенту эластичности масштаба производства:

.

Доказательство. Для произвольной однородной ПФ справедлива теорема Эйлера (2.14):

.

Разделим правую и левую часть равенства на ненулевую ПФ вида и после простых преобразований получаем:

Учитывая, что по определению , то окончательно получаем связь коэффициентов эластичности в форме , что и требовалось доказать.

Производственные системы, имеющие ελ > 1, имеют более высокую эффективность при увеличении масштабов производства. Укрупнение производства при этом дает положительный эффект. Верно и обратное. В этом случае, уменьшение размеров предприятия влечет положительный результат и увеличивает производительность системы. В случае неоклассической ПФ, т. е. при линейно-однородной функции, производство инвариантно к изменению масштаба системы и изменение потребляемых факторов приводит к пропорциональному изменению выхода продукта.

Линии равного выпуска (изокванты) и их свойства

Доступность множества технологий позволяет производителю изменять наборы факторов затрат производства при выпуске конечного продукта. Изменение набора этих факторов приводит, в общем случае, к изменению количества производимого конечного продукта. Однако существует бесконечное множество различных наборов факторов затрат производства, которым соответствует одинаковое количество произведенного конечного продукта. Это множество называют множеством безразличия производителя.

В общем случае, множество безразличия производителя образует гиперповерхность равного выпуска конечного продукта. В частном случае набора факторов затрат производства «капитал-труд», множество безразличия образует линию равного выпуска или изокванту.

Определение. Изокванта Q(Y) – это множество точек x = (x1, x2, …, xn) экономической области W таких, что f(x1, x2, …, xn) = Y = const.

По определению, значение производственной функции f(x1, x2, …, xn) на изокванте Q(Y) есть постоянная величина у. Каждая изокванта Q(Y) характеризуется определенным количеством произведенного конечного продукта Y.

Изокванты обладают следующими свойствами.

1. Изокванты не пересекаются. Это свойство обусловлено свойством единственности производственной функции, т. е. единственностью преобразования факторов производства в получаемый продукт.

2. Изокванта Q(Y) разделяет экономическую область W на две области Wd и Wu. Точкам области Wu соответствует большее количество получаемой продукта, чем на изокванте Q(Y). Это свойство изокванты является следствием монотонности ПФ f(x1, x2, …, xn) в экономической области W. Любая изокванта, которая соответствует выпуску продукта большему, чем Y, лежит в области Wu. Любая изокванта, которая соответствует выпуску продукта меньшему, чем Y, лежит в области Wd.

3. Область Wd примыкает к нулю положительного ортанта . Это является следствием непрерывности производственной функции f(x1, x2, …, xn) и принадлежностью нулевого технологического процесса технологическому множеству.

4. Изокванты не пересекаются с осями координат. Действительно, по первому свойству ПФ, нулевая изокванта Q(0) совпадает с осями координат. Первое свойство изоквант делает невозможным пересечение двух изоквант Q(Y)и Q(0), если Y > 0.

Вдоль изокванты выпуск конечного продукта постоянный, то есть прирост выпуска отсутствует.

Математически это означает, что полный дифференциал ПФ на изокванте равен нулю:

.

Соответственно для набора факторов затрат производства «труд – капитал» последнее выражение принимает следующий вид:

.

В частном случае двух факторов затрат производства изокванта задается следующим образом:

На рис. 2.2 представлены изокванты Q(Y) для случая двух факторов затрат производства «труд – капитал», представляющие собой непрерывные линии на плоскости KL.

Изокванты более удаленные от нулевой точки (точки бездействия), характеризуются более высокими уровнями выпуска продукции.

Уравнение изокванты, определяющее связь между затратами факторов труда и капитала, которые необходимы для производства заданного количества конечного продукта, имеет следующий вид:

. (2.19)

В экономической области изокванты всегда имеют отрицательный наклон - увеличение одного фактора затрат производства должно быть скомпенсировано уменьшением другого фактора.

 

Рис. 2.2. Семейство изоквант {Q(Yi)} производственной функции f(K, L) на плоскости заданное семейством плоскостей постоянного уровня производства конечного продукта {Yi}.

Математически условие отрицательности наклона изокванты в экономической области выглядит так:

.

Положительный наклон изокванты Q(Y) позволял бы поддерживать постоянным уровень производства Y при переменном снижении затрат двух факторов K и L , что противоречит условию монотонности роста производственной функции в экономической области W.

Производитель, меняя используемые технологии, может варьировать пропорцию между количеством потребляемых факторов затрат производства и при этом поддерживать постоянный уровень производства конечного продукта. При перемещении точки вдоль изокванты происходит непрерывное замещение факторов затрат производства друг другом. Увеличение затрат фактора K приводит к уменьшению затрат фактора труда L при постоянном уровне производства конечного продукта Y. Обратная ситуация происходит при уменьшении затрат капитала при условии сохранения уровня выпуска конечного продукта.

Это приводит к необходимости введения нового понятия – предельной нормы замещения i - ого фактора затрат производства j - ым фактором.

Предельная норма замещения факторов производства

Определение. Предельная норма замещения i - ого фактора затрат производства j - ым фактором равна дополнительному количеству j - ого фактора, которое компенсирует уменьшение i - ого фактора на единицу при постоянном уровне производства конечного продукта и постоянном потреблении других факторов затрат производства.

Рассмотрим перемещение точки затрат факторов вдоль изокванты при непрерывном замещении i - ого фактора j - ым фактором. Все остальные факторы затрат производства удерживаются на постоянном уровне. На изокванте Q(Y) выполняется условие следующего вида:

.

Раскладывая правую часть в ряд Тейлора и, оставляя только линейные члены, получаем:

.

Приравнивая полученные выражения друг к другу, окончательно находим соотношение на изокванте Q(Y) при замещении i - ого фактора j - ым фактором:

.

Предельная норма замещения i - ого фактора затрат производства j - ым фактором определяется из последней зависимости:

. (2.20)

Предельная норма замещения i - ого фактора затрат производства j - ым фактором монотонно уменьшается при увеличении i - ого фактора при фиксированном значении j - ого фактора. Это следует из свойства выпуклости производственной функции, согласно которому предельная эффективность использования i - ого фактора монотонно убывает с ростом его затрат.

Замещение одного фактора затрат производства другим обратимо. Предельные нормы замещения факторов затрат производства в этом случае обратно пропорциональны друг другу:

.

Величина может быть представлена также как отношение предельных эффективностей (продуктов) факторов затрат производства:

, (2.21)

или с помощью коэффициентов эластичности этих факторов в виде:

. (2.22)

В случае двух факторов затрат производства L и K предельная норма замещения труда капиталом определяется аналогично (2.20 – 2.23):

; ; . (2.23)

Предельная норма замещения труда капиталом имеет простую графическую интерпретацию, которая дана на рис. 2.3. Величина предельной нормы замещения труда капиталом равна по модулю отношению приращения капитала dK к приращению труда dL. В экономической области W изокванты имеют отрицательный наклон из-за отрицательного углового коэффициента касательной А’B’ к изокванте. Следовательно, предельная норма замещения труда капиталом по модулю равна угловому коэффициенту касательной к изокванте: .

 

Рис. 2.3. Графическая интерпретация предельной нормы замещения фактора труда фактором капитала производственной функции f(K, L).

Линии постоянной предельной нормы замещения факторов производства и эластичность их замещения.

Введем понятие изоклины или линии постоянной предельной нормы замещения факторов производства, которая наряду с изоквантой играет важную роль в теории производственных функций.

Определение. Изоклина – это множество точек экономической области, у которых предельная норма замещения i - ого фактора j - ым фактором затрат производства постоянна:

. (2.24)

Изоклины ПФ f(K,L) определяются как линии на плоскости «K – L» в любой точке которых предельная норма замещения труда капиталом γLK постоянна.

Следующая теорема (принимается без доказательства) определяет форму изоклин однородных функций и играет важную роль в экономико-математическом моделировании ПФ, т. к. ПФ является однородной функцией.

Теорема 4. Изоклины однородных производственных функций являются лучами, выходящими из нулевой точки:

, (2.25)

где g(k) - модифицированная ПФ, связывающая среднюю производительность труда y и фондовооруженность k.

Так как правая часть равенства зависит только от k, то предельная норма замещения постоянна на линиях постоянной фондовооруженности (k = const), т. е. на лучах, выходящих из нулевой точки, которые описываются линейным уравнением с постоянным угловым коэффициентом K = kL.

Следовательно, изоклины однородной производственной функции γLK = const действительно являются линиями постоянной фондовооруженности k = const или лучами, выходящими из начала координат.

Семейство изоклин и семейство изоквант однородной ПФ представлены на рис. 2.4. С увеличением фондовооруженности k предельная норма замещения труда капиталом γLK монотонно растет.

 

Рис. 2.4.

Каждая точка изокванты характеризуется затратами труда и капитала. С другой стороны, каждая точка на изокванте характеризуется предельной нормой замещения труда капиталом и фондовооруженностью k.

Норма замещения труда капиталом равна по модулю угловому коэффициенту касательной в данной точке изокванты. Фондовооруженность k равна угловому коэффициенту луча, выходящего из начала координат и проходящего через рассматриваемую точку изокванты. Все точки лежащие на этом луче имеют одинаковую фондовооруженность k.

Существует связь между величиной предельной нормы замещения труда капиталом и фондовооруженности k, которая выражается через эластичность замещения труда капиталом σ.

Определение. Эластичность замещения труда капиталом σ показывает насколько процентов изменится фондовооруженность k при изменении предельной нормы замещения труда капиталом на один процент:

. (2.26)

Приближенно эластичность замещения труда капиталом σ можно определить по следующей формуле:

.

Примем без доказательства следующую теорему, результаты которой будем в дальнейшем использовать для получения зависимостей линейно – однородных производственных функций.

Теорема 5. Для однородной ПФ эластичность замещения труда капиталом σ зависит от фондовооруженности k и остается постоянной вдоль лучей, выходящих из нулевой точки.

На рис. 2.5 представлена графическая интерпретация величины эластичности замещения труда капиталом σ. При перемещении из точки А в точку В происходит приращения нормы замещения труда капиталом dγLK и приращение фондовооруженности dk. С ростом кривизны изокванты величина σ уменьшается. Верно и обратное – уменьшение кривизны изокванты ведет к увеличению величины эластичности замещения труда капиталом σ.

 

Рис. 2.5.

3. Основные неоклассические производственные функции

Производственная функция с постоянной эластичностью замещения факторов затрат производства.

Производственные функции этого вида имеют название CES – функций (Constant Elasticity of Substitution) и впервые были получены в 1961 г. К. Эрроу и Р. Солоу.

Для получения аналитического выражения производственной функции вида CES – функция предварительно найдем связь между величиной предельной нормы замещения труда капиталом и фондовооруженностью k при условии σ = const.

Предположим, что имеет место зависимость . Тогда исходя из определения эластичности замещения труда капиталом σ (2.26) можно записать следующее дифференциальное уравнение в обыкновенных производных:

. (3.1)

Решаем данное дифференциальное уравнение методом разделения переменных , получаем следующее выражение:

, (3.2)

где C0, C1 – постоянные интегрирования.

Потенцируя (3.2) окончательно получаем зависимость, связывающую величину предельной нормы труда капиталом и фондовооруженностью k при σ = const:

. (3.3)

В общем случае предельная норма замещения фактора труда фактором капитала для однородной производственной функции определяется так (2.25):

.

Разделяя переменные, получаем:

.

Подставим полученную зависимость γLK от k при σ = const (3.3):

.

Интегрирование дифференциального уравнения с разделенными переменными с помощью с замены переменных дает следующую зависимость:

.

Потенцируя данное выражение и вводя параметр r равный , получаем уравнение для модифицированной однородной ПФ g(k) с постоянной эластичностью замещения факторов затрат производства:

. (3.4)

Переходя от фондовооруженности k к паре факторов затрат производства K и L , получаем зависимость для однородной ПФ f(K, L) вида CES – функция со степенью однородности d и постоянной эластичность замещения факторов = const:

. (3.5)

Для получения уравнения изокванты Q(Y) данной производственной функции перепишем ее уравнение с учетом постоянства выпуска продукции в следующем виде:

. (3.6)

После перегруппировки членов и возведения в степень (-1/r) получаем зависимость вида (2.19):

. (3.7)

Уравнение изокванты может быть получено в симметричной форме для фактора L:

. (3.8)

Найдем асимптоты изоквант (3.8, 3.9), вычислив следующие пределы:

Полученные выражения показывают, что асимптоты изоквант представляют две прямые линии, параллельные осям координат и точка пересечения асимптот лежит в первом квадранте плоскости KL на луче, который задается уравнением:

Экономически это означает, что для производственной системы, функционирование которых описывается производственной функцией вида CES – функция невозможно полностью заменить фактор затрат труда фактором затрат капитала.

Асимптотические значения дают минимальные значение затрат этих факторов производства, которые необходимо затратить, чтобы произвести заданное количество конечного продукта Y. Т. е. замещение указанных факторов затрат производства возможно только в некоторых пределах и не существует технологий, которые позволяли бы произвести заданное количество конечного продукта при затратах факторов производства ниже определенных критических значений.

Все остальные известные производственные функции, за исключением VES – функции, являются производными от CES – функции, хотя ряд из них получен гораздо раньше, нежели последняя.

Производственная функция Кобба – Дугласа.

Данная производственная функция относится к виду CES – функций и характеризуется постоянством и равенством 1 величины эластичности замещения труда капиталом: σ = 1 = const.

С учетом этого дифференциальное уравнение в простых производных, связывающее модифицированную однородную производственную функцию g(k) с фондовооруженностью k (2.25), принимает более простой вид:

. (3.9)

Прямое интегрирование разделенного дифференциального уравнения дает:

;

;

.

Потенцируя уравнение

,

получаем:

. (3.10)

Переходя от фондовооруженности k к паре факторов K и L в (3.10), получаем для однородной ПФ со степенью однородности d и постоянной эластичность замещения факторов σ = 1:

. (3.11)

Таким образом, однородная ПФ f(K,L) со степенью однородности d и постоянной эластичность замещения факторов σ = 1 относится к классу ПФ Кобба – Дугласа:

Определим уравнение изокванты Q(Y) для ПФ Кобба – Дугласа. Для этого запишем уравнение производственной функции с учетом постоянства уровня выпуска продукции:

.

Откуда получаем уравнение изокванты в двух формах:

Асимптотами изоквант Q(Y) для ПФ Кобба – Дугласа являются оси координат:

Это показывает возможность полной замены одного фактора производства другим для производственной системы, описываемой ПФ Кобба – Дугласа, что говорит об ограниченности возможностей использования данной производственной функции.

Предельная норма замещения труда капиталом для ПФ Кобба – Дугласа, выраженная через коэффициенты эластичности и фондовооруженность, имеет вид (2.23):

.

Отсюда получаем уравнения изоклин для рассматриваемой производственной функции:

.

Изоклины ПФ Кобба – Дугласа представляют собой лучи, исходящие из начала координат. Увеличение коэффициента эластичности продукта по фондам приводит к росту углового коэффициента и к увеличению наклона изоклины. Увеличение коэффициента эластичности по труду ведет к уменьшению наклона луча.

Производственные функции Кобба – Дугласа получили широкое распространение в практике моделирования среднемасштабных производственных систем с устойчивым и стабильным функционированием.

Производственная функция Леонтьева

Производственная функция Леонтьева – это производственная функция с постоянными пропорциями факторов затрат производства описывающая производственный процесс, когда потребляемые факторы производства являются идеальными комплементами. Это означает, что невозможна их замена друг другом и недостаток одного фактора не может быть скомпенсирован увеличением другого фактора.

Для получения данной производственной функции рассмотрим предельный случай бесконечно большой величины кривизны изокванты для производственной функции вида CES – функция.

В этом случае эластичность замещения труда капиталом стремится к нулю и величина коэффициента r становится бесконечно большой:

.

Тогда имеет место предельный переход:

.

Поэтому для линейно однородной ПФ вида CES – функция с нулевой эластичностью замещения труда капиталом (d =1 ,σ = 0) получаем производственную функцию Леонтьева для факторов совершенных комплементов.

, (3.12)

где a, b - положительные постоянные.

Величина а определяет количество единиц капитала, необходимые для производства единицы продукции.

Величина b, в свою очередь, определяет количество единиц труда, необходимые для производства единицы продукции.

Эластичность продукта по фондам и труду для функции Леонтьева равна единице в области, лимитируемой рассматриваемым фактором, и равна нулю в области, лимитируемой дополнительным фактором.

Изокванта ПФ Леонтьева Q(Y) состоит из двух лучей, выходящих из точки с координатами (K = ay, L = by) и параллельных осям координат. Изокванты ПФ Леонтьева не пересекаются с осями координат. Точка пересечения (перегиба) изокванты лежит на луче, выходящем из начала координат: L = (b/a)K.

Семейство изоквант ПФ Леонтьева приведено на рис. 3.1.

 

Рис. 3.1

Предельная норма замещения труда капиталом при переходе через угловую точку изокванты ПФ Леонтьева скачком изменяется от нуля до бесконечности.

Эластичность замещения труда капиталом для ПФ Леонтьева равна нулю.

ПФ Леонтьева используется для моделирования жестких производственных процессов в мелкомасштабных системах производства для описания полностью автоматизированных производственных систем.

Линейная производственная функция

Рассмотрим использование факторов затрат производства – полных (совершенных) субститутов.

В этом случае величина коэффициента r становится равной:

.

Поэтому для линейно однородной ПФ вида CES – функция с бесконечно большой эластичностью замещения труда капиталом (d = 1 , ) получаем путем предельного перехода линейную производственную функцию:

, (3.13)

где С1 – предельный продукт капитала; С2 – предельный продукт труда.

Производственный процесс, удовлетворяющий условиям совершенной взаимной дополняемости факторов, называется гибким производственным процессом.