Элементы теории производственных функций и теории затрат (стр. 1 )

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

И ТЕОРИИ ЗАТРАТ

(по курсу «Экономико – математическое моделирование» для студентов Финансово - экономического института ЮГУ)

Ханты – Мансийск

2010

Составитель: д. т.н., профессор

Рецензенты:

СОДЕРЖАНИЕ

с

Введение 4

1. Элементы теории производства и производственные функции 5

2. Общие свойства и основные характеристики производственных функций 7

3. Основные неоклассические производственные функции 22

4. Методы учета научно-технического прогресса 27

5. Производственные функции и элементы теории затрат 32

Заключение 41

Список использованных источников 42

Приложение 43

Введение

 

Под производством принято понимать любую деятельность, направленную на использование природных, материально-технических и интеллектуальных ресурсов для получения как материальных, так и нематериальных благ.

Традиционно роль общей теории производства выполняет теория материального производства, в которой производство рассматривается, как процесс превращения основных производственных ресурсов в конечный продукт или услугу. Основными же производственными ресурсами являются труд (L) и капитал (K).

Основой любого производства является производитель – предприятие, фирма, организация. Способы производства или существующие производственные технологии, которые использует производитель, определяют, какой объем конечного продукта производится при используемых количествах труда и капитала.

Методологически общая теория производства во многом симметрична теории потребления. Но, если в теории потребления основные категории измеряются лишь субъективно, либо трудноизмеримы, или вообще пока не подлежат измерению, то основные категории общей теории производства имеют в целом объективную основу и могут быть измерены в определенных натуральных, стоимостных или относительных единицах.

Понятие «производство» является очень широким, зачастую нечетко выраженным и иногда даже расплывчатым, т. к. в реальной жизни под производством понимается и предприятие, и стройка, и сельскохозяйственная ферма, и транспортное предприятие, и очень крупная организация типа отрасли народного хозяйства.

Однако, экономико-математическое моделирование выделяет нечто общее, присущее всем этим объектам, а именно, процесс преобразования первичных ресурсов (производственных факторов) в конечные результаты процесса (конечный продукт).

Для описания указанного процесса преобразования разработан и используется аппарат теории производственных функций.

В учебном пособии представлены основные элементы теории производственных функций и теории затрат. В рамках основ теории производственных функций рассматриваются только производственные функции с постоянным значением эластичности замещения факторов затрат производства (CES – функции).

Пособие состоит из пяти разделов. В первом рассматриваются основные понятия производства и его взаимосвязи с производственными функциями. Во втором – основные свойства и характеристики производственных функций. Третий раздел посвящен основным видам производственных функций, наиболее часто используемых в теории производства. В четвертом разделе приведены основные подходы к учету научно-технического прогресса при построении производственных функций. Пятый раздел посвящен рассмотрению элементов теории затрат во взаимосвязи с производственными функциями. В приложении приведены индивидуальные задания для студентов по теме производственные функции.

Учебное пособие рекомендуется студентам экономических специальностей для изучения курса «Экономико – математическое моделирование».

1. Элементы теории производства и производственные функции

Основным исходным понятием в описании экономического объекта – производителя является технологический способ производства, который можно представить в виде вектора v затрат выпуска:

v = (X; Y).

Здесь X – вектор значений объемов ресурсов, затрачиваемых на производство: X = (xi), iN, N = {1,…,n}; Y – вектор значений результатов преобразования ресурсов в конечные продукты или другие характеристики (прибыль, рентабельность и т. п.): Y=(yj), j M, M = {1,…,m}.

Таким образом, технологический способ v является вектором размерности (M + N).

Воспроизводимые средства производства одновременно являются как продуктами, так и ресурсами. Поэтому все виды ресурсов условно можно разделить на два подмножества:

N1 – воспроизводимые ресурсы (они же продукты), i1 N1, N1 M; N2 – невоспроизводимые ресурсы, i2 N2.

При этом объемы невоспроизводимых ресурсов в каждый данный момент времени функционирования производства ограничены: X2 ≤ [Х]. Кроме того, необходимо учитывать различия в расходовании предметов труда и основных фондов. Первые полностью расходуются в одном производственном цикле, вторые же используются многократно.

Размерность векторов X и Y , а также способы их измерения (в натуральных, стоимостных и относительных единицах) определяются изучаемой проблемой, а также уровнями, на которых ставятся те или иные задачи экономического планирования и управления.

Определение. Технологическим множеством V экономического объекта (производителя) называют совокупность векторов технологических способов v, которые могут описать производственные процессы, реально осуществимые на этом объекте с допустимой точки зрения исследователя точностью

Размерность технологического множества V равна: .

Среди всех технологических способов v, осуществимых на рассматриваемом экономическом объекте, особое место занимают те способы, которые выгодно отличаются от всех прочих тем, что они требуют либо меньших затрат при одинаковом выпуске конечного продукта, либо соответствуют его большему выпуску при одинаковых величинах объемов затрат.

Технологические способы v, занимающие в определенном смысле предельное положение в множестве V, представляют особый интерес, поскольку они являются описанием допустимого и предельно выгодного для реализации на экономическом объекте производственного процесса.

Будем считать, что вектор предпочтительнее, чем вектор с обозначением , если выполняются следующие условия:

1. ;

2. ;

и при этом имеет место, по крайней мере, одно из двух:

а) существует такой номер i 0 , что ;

б) существует такой номер j 0 , что .

Определение. Технологический способ называется эффективным, если он принадлежит технологическому множеству V и не существует другого вектора , который был бы предпочтительнее .

Множество всех технологически эффективных способов обозначим через V* .

Оно является подмножеством технологического множества V или совпадает с ним.

Множество производственных возможностей может быть представлено в виде:

При ограниченных невоспроизводимых ресурсах за определенный промежуток времени может быть произведено ограниченное количество продукции. Очевидно, что выбор эффективных вариантов производства продукции и использования ресурсов будет осуществляться на множестве V*.

Однако, проблема выбора лучшей структуры конечного продукта (оптимального вектора Y) не может решаться только с позиций производства; поскольку необходимо учитывать социальные потребности. Поэтому общая модель производственного планирования формулируется как задача нахождения множества вариантов (X, Y) путем максимизации векторной функции Y на множестве V*:

В отличие от чисто технологической эффективности допустимых параметров (X, Y) V*, эффективные варианты последней задачи учитывают также и ограниченность ресурсов, направления использования которых определяются стремлением получить больше конечной продукции.

Таким образом, задача планирования хозяйственной деятельности производственного объекта интерпретируется как задача выбора эффективного технологического способа, наилучшим образом соответствующего некоторым внешним условиям. При решении данной задачи выбора существенным оказывается представление как о самом характере технологического множества V , так и его подмножества V* .

Этот подход получил свое наибольшее развитие в теории производственных функций.

С помощью понятия эффективного технологического множества V* производственную функцию (ПФ) можно определить как отображение

Y = f (v), где . (1.1)

В общем случае данное отображение является многозначным, т. е. множество f (v) содержит более чем одну точку. Однако чаще всего производственные функции можно считать однозначными.

В наиболее простом случае производственная функция представляет собой скалярную функцию N аргументов: .

Приведенная зависимость описывает границу технологического множества V , т. к. при данном векторе затрат (x1, ..., xn) производить продукции, в количестве большем, чем Y, невозможно, а производство продукции в количестве меньшем, чем Y, соответствует неэффективному технологическому способу.

Можно дать несколько определений производственной функции:

1. Производственная функция- это функция, независимая переменная которой принимает значения объемов затрачиваемого или используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная - значения объемов выпускаемой продукции [1].

2. Производственная функция характеризует чисто техническую зависимость между количеством применяемых ресурсов и объемом выпускаемой продукции в единицу времени [2].

3. Производственная функция – это экономико-математическое выражение зависимости результатов производственной деятельности от обусловивших эти результаты показателей – факторов [3].

Во всех определениях присутствует в явном или неявном виде технология, технологический способ производства. Можно сказать, что технология лежит в основе производственной функции и выступает в качестве ограничений при принятии решений.

Под технологией принято понимать определенное состояние знаний о различных способах производства, которые могут использоваться в процессе выпуска продукции для соединения производственных факторов.

В производственной функции не участвуют такие экономические величины, как цена или норма процента. Производственная функция должна воплощать технологические ограничения, которые налагаются на экономические решения, в то время как экономические решения не налагаются на способ, которым размеры продукции связаны с затратами. В этом контексте задача рационального ведения хозяйства для фирмы заключается в определении количества продукции и в расчете необходимых для ее выпуска затрат с учетом существующих технологических связей между ними и существующими ценами на затраты и на выпускаемую продукцию.

Производственные функции можно использовать для оценки эффективности принятого на предприятии метода хозяйствования. Так для заданного набора ресурсов можно определить фактический выпуск продукции и сравнить его с рассчитанным по производственной функции построенной для предприятия. Полученные различия дает полезный материал для оценки эффективности принятого на предприятии метода хозяйствования в абсолютном и относительном измерении.

2. Общие свойства и основные характеристики производственных функций

Являясь функциональной математической зависимостью, производственная функция должна с максимальной объективностью отражать моделируемый экономический объект, т. е. необходимо, чтобы она удовлетворяла определенным содержательно-логическим и экономическим требованиям.

Среди этих требований можно выделить следующие:

·  в число аргументов производственной функции должны быть включены все существенные для данного процесса факторы;

·  все величины должны иметь отчетливый экономический смысл;

·  все экономические величины, входящие в производственную функцию, должны быть измеримы;

·  выпуск продукции без затрат невозможен;

·  если величина какого-либо ресурса ограничена, то выпуск не может расти бесконечно;

·  увеличение затрат не может привести к уменьшению выпуска.

Большое распространение получили трехфакторные производственные функции, в которых выпуск зависит от затрат труда L, капитала K и природных ресурсов M:

Y = f(L,K,M). (2.1)

В зависимости от исходной информации и целей исследования каждый фактор может быть дифференцирован:

труд – по профессиям, категориям, степени сложности; капитал, воплощенный в производственных фондах, - по видам оборудования, мощности, производительности; природные ресурсы – по видам.

Кроме того, производственная функция может учитывать время в явном виде, т. е. как особый вид производственного фактора. В этом случае производственные функции разделяются на статические и динамические.

Но чаще всего при построении производственных функций используют только два фактора производства – агрегированные товары капитала K и труда L. Это упрощает процесс моделирования экономического объекта (производства), в определенной степени улучшает точность параметров модели производства, построенной по имеющимся эмпирическим данным, и дает возможность графического представления набора указанных факторов производства на плоскости.

Тогда производственная функция представляет собой поверхность в положительном ортанте - трехмерном пространстве капитала, труда и продукта.

Производственная функция может быть задана четырьмя способами.

·  в явном виде аналитически: ;

·  в неявном виде аналитически: ;

·  в табличном виде;

·  в графическом виде (крайне редко).

Рассмотрим основные свойства производственных функций.

Будем считать, что непрерывная дифференцируемая производственная функция определена в положительном ортанте и однозначно задает преобразование .

Производственная функция называется неоклассической, если она обладает следующими четырьмя свойствами:

I. = 0 при xi = 0 для . Данное свойство неоклассической ПФ показывает, что при отсутствии затрат одного из факторов производится нулевой продукт. Другими словами – не существует факторов – абсолютных субститутов. Возможно замещение одного фактора другим лишь в некоторой ограниченной области.

Однако невозможно полностью заменить один фактор производства никакой комбинацией других факторов. Производственная функция обращается в ноль на лучах xi = 0, т. е. на осях факторов производства.

Для случая двух факторов производства данное свойство принимает вид:

.

Следовательно невозможно произвести никакой продукт без затраты труда и капитала.

II. для и для , где Ω - экономическая область. Это свойство неоклассической ПФ показывает, что при увеличении затрачиваемых факторов производства количество производимого продукта увеличивается в экономической области W в положительном ортанте .

Определение. Экономической областью W назовем множество точек положительного ортанта , в которых выполняется условие строгой положительности первой производной производственной функции.

Производительность любой производственной системы ограничена сверху, т. е. существует такая величина Ymax , что производимый продукт Y удовлетворяет неравенству Y ≤ Ymax для любого количества затрачиваемых факторов.

Следовательно, при увеличении факторов затрат количество производимого продукта сначала растет, а затем при достижении некоторого критического значения начинает падать. Критическое значение затрат факторов задают границу экономической области. Границами экономической области являются поверхности = 0, которые называются разделяющими поверхностями или изоклиналями.

Выход из экономической области приводит к уменьшению количества продукта при увеличении затрат факторов труда и капитала. Следовательно, выход производственной системы из экономической области на практике недопустим. Дальнейшее увеличение затрат труда и капитала приведет к снижению производительности системы производства из-за ухудшения эффективности системы управления производственным процессом.

III. для . Это свойство неоклассической ПФ связано с ее вогнутостью. Свойство вогнутости ПФ математически выражает закон убывания производительной эффективности производства продукта при увеличении затрат факторов. Это означает, что во всей экономической области W вторая производная производственной функции по любому фактору xi отрицательна:

.

Следует отметить, что уменьшение предельной эффективности ресурсов справедливо в основном в условиях экономической статики, т. е. при неизменном уровне научно-технического прогресса и неизменном качестве используемых ресурсов.

В теории фирмы все ресурсы разделяются на две категории: фиксированные и варьирующиеся.

Фиксированные ресурсы – это ресурсы, величина которых не изменяется в течение рассматриваемого периода (здания, оборудование).

Варьирующиеся ресурсы – это ресурсы, величина которых изменяется за этот же период (количество рабочих, количество сырья).

Считать ресурс изменяющимся или фиксированным, зависит от длины рассматриваемого периода. На очень коротком промежутке времени все ресурсы можно считать фиксированными. Чем длиннее временной период, тем больше ресурсов можно отнести к варьирующимся. При достаточно продолжительном периоде времени все ресурсы можно считать изменяющимися.

В соответствии с этим, существуют два подхода в изучении поведения фирмы: в краткосрочном и долгосрочном периодах.

Краткосрочным считается отрезок времени, в течение которого организационная структура, здания и оборудование фирмы остаются фиксированными.

Долгосрочным считается отрезок времени, в течение которого все ресурсы могут варьироваться.

Деление периодов на краткосрочные и долгосрочные необходимо с той целью, что закон убывающей доходности факторов производства справедлив лишь для периода, когда часть факторов остается неизменной, а другие факторы можно изменять. В долгосрочном периоде этот закон не действует.

Для случая набора факторов труд – капитал условия вогнутости ПФ в экономической области W имеют вид:

.

По мере увеличения затрат труда и капитала эффективность их преобразования в продукт уменьшается.

С точки зрения управленческого учета, затраты труда представляют переменные издержки, а затраты капитала – постоянные издержки производства.

Поэтому, в краткосрочном периоде система производства может изменять только количество затрат труда, но не может изменить затраты капитала.

В долгосрочном периоде возможно изменение обоих факторов затрат.

IV. . Данное свойство неоклассической ПФ требует, что она обладала свойством линейной однородности. При одновременном изменении количества всех затрат факторов производства в λ раз количество произведенного конечного продукта (продукции) в системе также изменится в в λ раз. Это свойство является следствием в общем и целом линейности технологических процессов.

Определение. Скалярная функция f(x) является однородной функцией степени δ, если для любого вектора Х и любого скаляра λ она удовлетворяет соотношению:

f(λx) = λδ f(x).

Если δ > 1, то производственная функция характеризуется возрастающей отдачей от расширения масштабов производства; если δ = 1 – постоянной отдачей (наиболее часто встречающийся случай); при δ < 1 – убывающей отдачей.

Для неоклассической ПФ принимается, что δ = 1.

Условие линейной однородности для случая факторов «труд – капитал» имеет вид:

. (2.2)

Свойство линейной однородности неклассической ПФ двух переменных позволяет преобразовать ее в функцию одной переменной:

.

Разделим обе части уравнения на количество единиц труда L:

.

Введем понятия фондовооруженности k, как отношение затрат фактора капитала к затратам фактора труда, и средней производительностью труда y, как отношение произведенного конечного продукта к затратам фактора труда.

С учетом введенных показателей уравнение для модифицированной ПФ, связывающей среднюю производительность труда y и фондовооруженность k примет следующий вид:

. (2.3)

Для неоклассической линейно-однородной модифицированной ПФ справедливы все ранее обозначенные свойства.

Средний и предельный продукты факторов затрат производства

Организация производственного процесса предполагает достижения желаемых конечных состояний, т. е. целей производства. Производственная система, которая достигает поставленных целей, является результативной.

При изучении результативных производственных систем возникает вопрос об эффективности преобразования факторов в продукт.

Производственная система считается эффективной, если она достигает поставленных целей при низких издержках, которые пропорциональны количеству потребляемых системой факторов производства за некоторый период времени постоянстве цен на рынке ресурсов.

Математически эффективность производственного процесса или эффективность использования факторов производства определяется величинами среднего и предельного продуктов факторов затрат производства. Более эффективная система производит большее количество конечного продукта при заданных затратах факторов производства в единицу времени.

Определение. Средний продукт i – ого фактора - это отношение количества произведенного конечного продукта к количеству затраченного фактора производства xi за определенный период времени.

. (2.4)

Для случая двух факторов затрат производства K и L, введем понятия средней фондоотдачи AYK и средняя производительность труда AYL .

Определение. Средняя фондоотдача AYK – это средний продукт капитала, равный среднему количеству произведенного продукта единицей капитала:

. (2.5)

Определение. Средняя производительность труда AYL – это средний продукт труда, равный среднему количеству произведенного продукта единицей труда:

. (2.6)

Увеличение затрат определенного фактора производства приводит к уменьшению его среднего продукта, что обусловлено вогнутостью ПФ.

Рассмотрим влияние малого приращения потребляемого фактора производства , на изменение производства конечного продукта ΔY. Для этого введем понятие предельного продукта i – ого фактора производства.

Определение. Предельный продукт i – ого фактора производства – это отношение приращения конечного продукта ΔY к величине вызвавшего его приращения затрат фактора производства .

Математически предельный продукт затрат фактора производства xi определяется как первая производная продукта Y по затратам этого фактора xi:

. (2.7)

Для двух факторов затрат производства K и L, введем понятие предельной фондоотдачи МYK и предельной производительность труда МYL

Определение. Предельная фондоотдача МYK или предельный продукт затрат фактора капитала – это первая производная конечного продукта Y по величине затраченного фактора капитала K:

. (2.8)

Определение. Предельная производительность труда МYL или предельный продукт фактора труда – это первая производная продукта Y по величине затраченного фактора труда L:

. (2.9)

Предельные продукты факторов затрат производства всегда меньше соответствующих средних продуктов этих факторов (рис. 2.1). Это является следствием свойства вогнутости ПФ. В экономической области Ω, по определению, предельные фондоотдача МYK и производительность труда МYL являются положительными величинами. На внешней части границы экономической области эти показатели обращаются в нуль. Однако, средняя фондоотдача AYK и производительность труда AYL положительны и не равны нулю на границе экономической области.

 

Рис. 2.1. Средний и предельный продукты фактора затрат производства L.

Коэффициент эластичности конечного продукта по i – ому фактору затрат производства.

Определение. Коэффициент эластичности (эластичность) конечного продукта по i – ому фактору затрат производства εi – это изменение производимого конечного продукта, выраженное в процентах, при увеличении затрат i – ого фактора производства на 1 %:

. (2.10)

Эластичность конечного продукта по i – ому фактору затрат производства можно выразить через средние и предельные продукты этого фактора затрат производства:

. (2.11)

Предельный же продукт i – ого фактора затрат производства согласно (2.11) может быть определен по величинам εi и :

(2.12)

В случае двух факторов затрат производства К и L, вводятся понятия коэффициентов эластичности конечного продукта по фондам и по труду :

. (2.13)

Введение коэффициентов и позволяет вычислить изменения выпуска конечного продукта при одновременном изменении величин затрачиваемых факторов производства.

Разложим производственную функцию в ряд Тейлора:

.

Значения производственной функции и предельных эффективностей в правой части равенства вычисляются в точке (K, L).

Выражая предельную эффективность (предельный продукт) факторов затрат производства через соответствующие средние значения и коэффициенты эластичности факторов затрат производства (13), окончательно получаем:

.

Теорема 1. Если производственная функция имеет степенную зависимость от i – ого фактора:

.

то коэффициент эластичности по i – ому фактору равен α.

Доказательство. Прямым дифференцированием ПФ получаем предельный продукт i – ого фактора затрат производства:

.

Средний продукт i – ого фактора затрат производства равен (4):

.

Коэффициент эластичности продукта по i – ому фактору согласно (2.10) определяется выражением:

Что и требовалось доказать.

Справедливо и обратное утверждение – если коэффициент эластичности продукта по i – ому фактору затрат производства является величиной постоянной, то ПФ имеет степенную форму по этому фактору и относится к производственным функциям типа Кобба – Дугласа. Этот тип ПФ играет важную роль в современной экономической теории и являются важным математическим инструментом анализа производственных процессов.

Для ПФ, отличных от функции Кобба – Дугласа, эластичность продукта по i – ому фактору затрат производства монотонно убывает с ростом его затрат, что является следствием свойства вогнутости ПФ. Это обусловлено тем, что предельный продукт фактора затрат производства уменьшается быстрее его среднего продукта с ростом используемых ресурсов.

Закон убывания отдачи производства и вогнутость производственной функции

Анализ реальных функционирующих производственных процессов выявил уменьшение эффективности производства, когда происходит рост потребления одного фактора затрат производства при фиксированном уровне потребления других ресурсов.

Это явление получило название закона убывающей отдачи факторов затрат производства и объясняется свойством вогнутости производственной функции (III свойство неоклассических производственных функций).

Согласно закону убывающей отдачи предельный продукт любого фактора затрат производства монотонно убывает с ростом его затрат при постоянных затратах других факторов производства.

Закон убывающей отдачи факторов производства может быть сформулирован в математическом виде в виде следующей теоремы, которую принимаем без доказательства.

Теорема 2. Матрица Гессе Н производственной функции полуотрицательно определенна:

.

Применительно к набору двух факторов затрат производства «труд – капитал» утверждение теоремы можно представить в следующем виде:

,

где вектор приращения факторов капитал и труд произволен, а матрица Н, называемая матрицей Гессе, определяется вторыми частными производными от производственной функции f(K, L):