Элементы теории производственных функций и теории затрат (стр. 3 )

Чаще всего линейная производственная функция (ЛПФ) представляется в виде:

. (3.14)

Линейная ПФ не обладает рядом основных свойств, которые присущи по определению неоклассическим ПФ.

В частности, нарушается первое свойство ПФ, по которому при отсутствии затрат одного из факторов производится нулевой продукт. Иными словами, изокванты данной ПФ пересекаются с осями координат.

Нарушается также третье свойство – вогнутость ПФ, которое математически выражает закон убывания предельного продукта. Таким образом, ЛПФ обладает свойством постоянства предельного продукта, т. е. увеличение одного фактора при фиксированном значении затрат другого не уменьшает величину предельного продукта.

Уравнение изокванты Q(Y) ЛПФ имеет вид (2.19):

.

Семейство изоквант данной ПФ представляет собой параллельные прямые с угловым коэффициентом – b/a.

Предельная норма замещения труда капиталом для ЛПФ есть величина постоянная и равная (2.23): .

Эластичность замещения труда капиталом ЛПФ равна бесконечности: σ = ∞, т. к. = const.

Определить коэффициенты ЛПФ можно методом множественной линейной регрессии по эмпирическим данным о рассматриваемой системе производства.

Несмотря на указанные недостатки ЛПФ, они получили широкое распространение при моделировании крупномасштабных производственных систем, таких как отрасли промышленности и национальные экономики, когда выпуск агрегированного продукта обеспечивается одновременным функционированием большого количества разнообразных производственных процессов.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что производственная функция с постоянной эластичностью замещения труда капиталом является наиболее общей формой таких производственных функций, как производственные функции Кобба-Дугласа, Леонтьева и линейная производственная функция. Значения параметров ПФ вида CES – функция, соответствующие основным видам рассмотренных производственных функций приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1

Частные и предельные случаи ПФ вида CES – функция

Тип производственной функции	Эластичность замещения факторов s	Степень однородности d
Кобба - Дугласа	1	1
Леонтьева	0	1
Линейная	¥	1

4. Методы учета научно-технического прогресса

Общепризнанным следует считать тот факт, что с течением времени на предприятии, сохраняющем фиксированную численность работников и постоянный объем основных фондов, выпуск продукции увеличивается. Это означает, что помимо обычных факторов затрат производства на выпуск конечного продукта оказывает влияние фактор, который обычно называют научно-техническим прогрессом (НТП).

Данный фактор можно рассматривать как некую синтетическую характеристику, отражающую совместное влияние на рост выпуска конечного продукта и как следствие на экономический рост, ряда явлений, среди которых нужно выделить следующие:

·  улучшение со временем качества рабочей силы вследствие повышения квалификации работников и освоения ими методов использования более совершенной техники;

·  улучшение качества машин и оборудования приводит к тому, что определенная сумма капитальных вложений (в неизменных ценах) позволяет по прошествии времени приобрести более эффективную машину;

·  улучшение многих сторон организации производства, в том числе снабжения и сбыта, банковских операций и других взаимных расчетов, развитие информационной базы, образование различного рода объединений, развитие международной специализации и торговли и т. п.

Вследствие этого научно-технический прогресс можно рассматривать как совокупность всех явлений, которые при фиксированных количествах затрачиваемых производственных факторов дают возможность увеличить выпуск качественной, конкурентоспособной продукции.

Расплывчатый характер такого определения приводит к тому, что исследование влияния НТП проводится лишь как анализ того дополнительного увеличения продукции, которое не может быть объяснено чисто количественным ростом производственных факторов.

Основной подход к учету НТП сводится к тому, что в совокупность характеристик выпуска конечного продукта или затрат факторов производства вводится время (t), как независимый производственный фактор и рассматривается преобразование во времени либо производственной функции f(K, L), либо технологического множества V* доступного производителю.

Рассмотрим способы учета НТП путем преобразования производственной функции.

ПФ в общем случае имеет вид Y = f(K, L, t) и выполняется условие

,

которое и отражает факт роста производства во времени при фиксированных затратах факторов труда и капитала.

Геометрическая иллюстрация такого процесса дана на рис.4.1, где показано, что изокванта, соответствующая выпуску продукции в объеме Y, смещается с течением времени (t2 > t1) вниз и налево.

 

Рис 4.1. Рост производства во времени при фиксированных затратах труда и капитала

При разработке подобных ПФ обычно стремятся отразить характер НТП в наблюдаемой ситуации и при этом различают четыре случая:

1). Существенное улучшение со временем качества рабочей силы позволяет добиться прежних результатов с меньшим количеством занятых. Такой вид НТП часто называют трудосберегающим. Производственная функция в этом случае имеет вид:

Y = f (K, l(t)L), (4.1)

где l(t) - монотонная возрастающая функция, характеризующая рост производительности труда.

2). Преимущественное улучшение качества машин, оборудования и технологии повышает фондоотдачу производства и в этом случае имеет место капиталосберегающий (фондосберегающий) НТП. Соответствующая производственная функция имеет вид:

Y = f(k(t)K, L), (4.2)

где k(t) – монотонная возрастающая функция, отражающая изменение фондоотдачи.

3). При значительном влиянии обоих упомянутых в п. п. 1 и 2 явлений для учета влияния НТП используется производственная функция в следующей форме:

Y = f(k(t)K,l(t)L). (4.3)

4) В том случае, когда затруднительно выявить влияние НТП на изменение факторов затрат производства, применяется производственная функция вида:

Y = d(t)f(K, L), (4.4)

где d(t) - монотонная возрастающая функция, выражающая рост конечного продукта при неизменных значениях затрат факторов производства K и L.

Для исследования свойств и особенностей НТП используется ряд соотношений между результатами производства и затратами факторов производства:

а) средняя производительность труда: ;

б) средняя фондоотдача: ;

в) коэффициент фондовооруженности работника: ;

г) равенство между уровнем оплаты труда и предельной (маргинальной) производительности труда: ;

д) равенство между предельной фондоотдачей и нормой банковского процента: .

Научно-технический прогресс является нейтральным, если он не изменяет с течением времени определенных связей между приведенными величинами (результатами и факторами затрат производства).

В настоящее время наиболее распространенными считаются три варианта оценки нейтральности научно-технического процесса.

Научно-технический прогресс называется нейтральным по Хиксу, если в течение времени остается неизменным соотношение между фондовооруженностью k и предельной нормой замены факторов w/r.

Если w/r = const, то замена фактора труда на фактор капитала и наоборот не принесет никакой выгоды и фондовооруженность k останется постоянной.

В этом случае производственная функция определяется зависимостью (4.4) и нейтральность НТП по Хиксу по сути дела эквивалентна обозначенному выше случаю 4), когда достаточно сложно выявить непосредственное влияние НТП на изменения факторов затрат производства, включенных в производственную функцию.

В рассматриваемой ситуации изокванта с течением времени смещается налево вниз путем преобразования подобия, т. е. остается в точности той же формы, что и в исходном положении.

Научно-технический прогресс называется нейтральным по Харроду, если в течение рассматриваемого периода времени норма банковского процента r зависит только от фондоотдачи х, т. е. на нее НТП не оказывает существенного влияния.

Это означает, что предельная фондоотдача установлена на уровне нормы процента и дальнейшее увеличение капитала нецелесообразно. Для учета такого типа НТП можно использовать производственную функцию вида (4.1), т. е. НТП в данном случае является трудосберегающим;

Научно-технический прогресс называется нейтральным по Солоу, если сохраняется неизменным равенство между уровнем оплаты труда (w) и предельной производительностью труда у и дальнейшее увеличение затрат фактора труда нецелесообразно. В этом случае производственная функция описывается выражением (4.2), т. е. НТП является фондосберегающим.

Для графической иллюстрации характера воздействия трех представленных типов НТП на производство конечного продукта рассмотрим их влияние на производственную систему, функционирование которой описывается линейной производственной функцией (3.13):

.

В случае НТП нейтрального по Хиксу получаем следующую ПФ:

, (4.5)

где a(t) возрастающая функция t.

Это означает, что с течением времени изокванта Q(Y) (отрезок прямой АВ) смещается к началу координат параллельным переносом (рис. 4.2) в положение A1B1.

Рис.4.2. Сдвиг изокванты при нейтральном НТП по Хиксу.

В случае НТП нейтрального по Харроду соответствующая производственная функция имеет вид:

, (4.6)

где l(t) возрастающая функция.

Очевидно, что в течение интервала времени [t1, t2] точка А остается на месте, изокванта Q(t) смещается к началу координат за счет ее поворота в положение AB1 (рис.4.3).

Рис.4.3. Сдвиг изокванты при трудосберегающем НТП

Для НТП нейтрального по Солоу соответствующая производственная функция имеет вид:

, (4.7)

где k(t) возрастающая функция.

В этом случае изокванта Q(t) смещается к началу координат, но точка В не сдвигается, и происходит сдвиг изокванты в положение A1B (рис.4.4).

Рис.4.4. Сдвиг изокванты при фондосберегающем НТП

При построении моделей производственных систем, функционирование которых описывается производственными функциями, учитывающими НТП, как правило, используются следующие подходы:

А. Научно-технический прогресс носит экзогенный характер (автономный характер), т. е. НТП существует также в том случае, когда основные производственные факторы не изменяются.

Частным случаем такого НТП является НТП нейтральный по Хиксу, который обычно учитывается за счет введения в производственную функцию экспоненциального множителя:

, (4.8)

где θ – некоторая постоянная, характеризующая темп НТП (θ > 0).

В этом случае время выступает как независимый фактор роста производства, однако при этом создается впечатление, что НТП происходит сам по себе, не требуя дополнительных затрат труда и капиталовложений.

Б. Научно-технический прогресс связывается с ростом капитальных вложений.

В основе этого подхода лежит модель НТП нейтрального по Солоу (4.7), которая представляется в следующем виде:

,

где K0 - основные фонды на начало рассматриваемого периода времени; ΔK - накопление капитала в течение данного периода, равное сумме инвестиций в производственную систему.

Очевидно, что если инвестирование не производится, то ΔK = 0, и увеличение выпуска продукции за счет влияния НТП не происходит.

В. Подходы А и Б к описанию влияния НТП на выпуск производственной системой конечного продукта рассматривают НТП как заданную экзогенную величину. Вместе с тем в долгосрочном плане НТП является как результатом развития, так и, в значительной мере, его причиной.

Поэтому вполне правомерен подход к рассмотрению НТП как эндогенного явления, вызванного (индуцированного) экономическим ростом.

При таком подходе используют два основных направления моделирования НТП:

1) Модель индуцированного научно-технического прогресса, основанная на зависимости (4.3):

(4.9)

В этом случае предполагается, что общество может распределять предназначенные для НТП инвестиции между его различными направлениями, например, между улучшением качества машин (рост фондоотдачи k(t)) и повышением квалификации работников (рост производительности труда l(t)), или же выбором иного, наиболее оптимального направления технического развития при данном объеме выделенных капитальных вложений.

2) Модель индуцированного научно-технического прогресса К. Эрроу, основанная на учете процесса обучения в ходе производства, отражающая взаимное влияние роста производительности труда и количества новых изобретений.

Согласно данной модели считается, что в ходе производства работники приобретают опыт, и время на изготовление изделия уменьшается, т. е. производительность труда и сам трудовой вклад зависят от объема производства:

.

В свою очередь, рост величины затрат фактора труда L, приводит к росту выпуска конечного продукта Y.

В простейшем варианте модели для производственной функции Кобба - Дугласа можно записать:

.

Откуда получаем следующее выражение:

,

которое при заданных функциях K(t) и L0(t) показывает более быстрый рост Y, обусловленный отмеченным выше взаимным влиянием НТП и экономического развития.

В качестве примера примем, что

Тогда рост выпуска конечного продукта Y без учета взаимного влияния Y и L описывается зависимостью:

.

Рост же Y с учетом взаимного влияния Y и L характеризуется уже следующим выражением:

или ,

т. е. оказывается более быстрым.

Для линейной модели по аналогии можно записать:

т. е. в этой ситуации увеличивается фондоотдача.

5. Производственные функции и элементы теории затрат

Любое производство представляет собой преобразование используемых наборов товаров – факторов затрат производства в создаваемый набор товаров – конечных продуктов.

Любой товар обладает свойством ограниченности, поэтому количество любого используемого в производстве фактора всегда ограничено сверху. Производитель имеет возможность использовать различные производственные технологии и тем самым, изменять набор используемых факторов затрат производства. Изменение набора факторов затрат производства приводит к изменению выпуска конечного продукта. Поэтому перед производителем стоит задача выбора между альтернативными наборами факторов затрат производства и нахождения их оптимального соотношения.

Все возможные комбинации затрат факторов производства образуют пространство затрат Z. Тогда производитель выбирает определенную точку в пространстве затрат, которой соответствуют его затраты при производстве конечного продукта. Пусть xi количество фактора затрат производства i - го вида, i = , тогда вектор затрат производства представляет собой вектор – столбец: X = (x1, x2,…, xn)T

Пространство затрат Z состоит из всех возможных векторов затрат факторов производства и является неотрицательным. Будем также считать, что все затраты факторов производства могут непрерывно изменяться.

Z = {(x1, x2,…, xn)T | xi ≥ 0, i = }.

Каждой точке пространства затрат соответствует единственный максимальный объем выпуска конечного продукта, произведенный при использовании этих затрат.

В терминах пространства затрат, производственная функция представляет собой отражение любого вектора затрат факторов производства (точки пространства) в единственное неотрицательное действительное число, а именно максимальный объем выпуска конечного продукта, который может быть получен при использовании этого вектора затрат.

Будем рассматривать наборы факторов затрат производства, состоящие только из двух компонент – фактора затрат капитала K и фактора затрат труда L. В результате преобразования этих факторов в процессе производства будем получать единственный агрегированный товар – продукт Y.

Примем следующие основные допущения.

1. Производственная система полностью характеризуется аналитически заданной производственной функцией f(K,L). Эта функция определяет функционирование рассматриваемой производственной системы и задает правило преобразования используемых факторов затрат производства K и L в конечный продукт Y.

2. Производственная система функционирует в условиях совершенной конкуренции. Это означает, что цены товаров (труда, капитала и продукта) являются экзогенными переменными, определяемые внешней средой и не зависят от действий производителя.

3. Затраты производителя (производства) – это стоимость набора затрат факторов производства. Примем, что стоимость единицы труда (часовая ставка оплаты труда) w и стоимость затрат единицы капитала (реально выплачиваемая или условно начисляемая за 1 час работы капитала) r. Цена единицы конечного продукта равна Р.

С учетом принятых допущений стоимость набора факторов затрат производства ТС, состоящего из факторов затрат капитала K и труда L, определяется следующим образом:

. (5.1)

Выручка производителя от реализации произведенного конечного продукта за некоторый период времени равна: ТR = РY.

Тогда прибыль π производителя определяется выражением:

. (5.2)

Нахождение оптимального производственного процесса возможно осуществить только при наличии критерия оптимальности или цели функционирования производственной системы.

В неоклассической экономике полагается, что цель производителя заключается в максимизации прибыли путем выбора наилучшего набора используемых факторов затрат производства при заданной производственной функции производителя.

Возможны две постановки задачи оптимизации деятельности производителя:

максимизация выпуска продукта при заданном уровне затрат; минимизация затрат производства при заданном уровне выпуска продукта.

Данные задачи оптимизации являются двойственными и дают одинаковые оптимальные решения.

Решения этих задач ищут для краткосрочных и долгосрочных временных интервалов. Эти два случая приводят к различным оптимальным решениям.

В долгосрочном периоде производитель может изменять количество двух затрачиваемых факторов производства. Производственная система в этом случае может адаптироваться к изменениям внешней среды за счет изменения количества используемого труда и количества используемого капитала.

В краткосрочном периоде производитель может изменять количество только одного фактора затрат производства (труда), но не имеет возможности изменить количество используемого капитала. В этом случае производственная система реагирует на изменения внешней среды изменением количество затрачиваемого труда, а количество используемого капитала, как правило, остается неизменным.

Поскольку доступ производителя к факторам производства ограничен не только их ограниченностью в целом, но и финансовыми возможностями самого производителя, то для количественной оценки доступности для него этих факторов вводится понятие изокосты – бюджетной линии.

Определение. Изокостой (бюджетной линией) В(ТС) назовем множество наборов факторов (K, L), имеющих одинаковую фиксированную стоимость ТС:

. (5.3)

Изокоста имеет простую графическую интерпретацию – это отрезок прямой, соединяющий две точки () и (). Все точки отрезка представляют собой наборы факторов, имеющие одинаковую полную стоимость ТС (рис. 5.1).

 

Рис. 5.1

Точка () представляет набор, состоящий из максимального количества капитала ТC/r, которое имеет стоимость ТС по цене r за единицу капитала.

Точка (), в свою очередь, представляет набор, состоящий из максимального количества труда ТC/w, которое имеет стоимость ТС по цене w за единицу труда.

Уравнение изокосты имеет вид:

(5.4)

при изменении труда L в интервале: .

Изокоста В(ТС) полностью определяется тремя параметрами: бюджетными ограничениями производителя ТС и стоимостями единиц труда w и капитала r на рынке факторов производства.

Эффективное распределение ресурсов и равновесие производителя в долгосрочном периоде

Рассмотрим первую из обозначенных выше задач производителя - производство максимального количества продукта путем эффективного распределения ограниченных ресурсов – затрат факторов производства K и L.

Данная задача рассматривается в рамках неоклассической экономической теории, т. е. при следующих допущениях.

Функционирование производственной системы полностью описываются определенной производственной функцией f(K, L).

Увеличение затрат факторов производства K и L приводит к увеличению выпуска конечного продукта Y.

Факторы затрат производства являются совершенными субститутами и возможно замещение одного фактора другим.

Справедлив закон убывания предельного продукта факторов затрат производства.

Управление производственной системой (процессом) в долгосрочном периоде осуществляется путем выбора «наилучшего» набора затрат потребляемых ресурсов – факторов затрат производства.

Цены используемых производителем ресурсов являются экзогенными переменными.

У производителя имеются бюджетные ограничения, т. е. полная стоимость затрачиваемых ресурсов ТС определяется бюджетом производственной системы.

Потребление ресурсов производителем задается точкой на плоскости KL. Поэтому точка на этой плоскости, представляющая набор факторов производства, может перемещаться в долгосрочном периоде времени вдоль произвольной линии в области, ограниченной осями координат и изокостой В(ТС).

Множество максимальных количеств ресурсов (факторов затрат производства), доступных для производителя, представляет собой множество точек изокосты В(ТС).

При анализе перехода системы от одного набора факторов затрат производствак другому будем пренебрегать нестационарными динамическими процессами. Поэтому будем полагать, что время перехода производственной системы из начального состояния в конечное много больше постоянной времени системы. Таким образом, переход системы из одного состояния в другое происходит очень медленно. Поэтому данную задачу называют задачей о стационарном равновесии производителя.

Задача о стационарном равновесии производителя предполагает нахождение набора факторов затрат производства K и L, который лежит на изокосте В(ТС) и максимизирует величину продукта Y.

Математически это можно записать следующим образом:

(5.5)

где r, w, TC - положительные константы.

Для решения этой задачи будем использовать метод неопределенных множителей Лагранжа. Построим лагранжиан Ψ (L,K,ξ) с помощью неопределенного множителя Лагранжа ξ следующего вида:

. (5.6)

Оптимальное решение рассматриваемой задачи удовлетворяет условиям:

(5.7)

Решая полученную систему из трех уравнений с тремя неизвестными L, K, ξ находим оптимальный набор факторов производства, который обеспечивает выпуск максимального количества продукта.

Экономическая интерпретация метода неопределенных множителей Лагранжа состоит в следующем.

Условие равносильно утверждению, что эффективный набор факторов L, K принадлежит изокосте В(ТС).

Величина неопределенного множителя ξ является теневой ценой, которая показывает, на сколько единиц увеличится выпуск конечного продукта при увеличении стоимости набора факторов затрат производства на единицу.

Первые два условия (7) можно записать в виде:

Переходя к предельным продуктам факторов затрат труда и капитала, имеем:

(5.8)

Таким образом, для оптимального набора факторов затрат производства верно равенство отношений предельных продуктов факторов производства к цене самих факторов.

Отношение предельного продукта фактора производства к цене единицы фактора показывает, какое количество дополнительного продукта будет произведено в случае вложения дополнительной платежной единицы при покупке рассматриваемого фактора. В условиях оптимальности вложение дополнительной денежной единицы в любой из факторов затрат производства приводит к одинаковому выпуску дополнительных единиц конечного продукта.

Цены факторов затрат производства, которые определяются состоянием рынка совершенной конкуренции, определяют эффективный набор этих факторов.

Условие стационарного равновесия производиможно также выразить как равенство предельной нормы замещения труда капиталом величине отношения цены единицы труда к цене единицы капитала:

(5.9)

Графическая интерпретация данной зависимости представлена на рис. 5.2. Оптимальное решение представляет собой точку пересечения изокосты и изоклины, соответствующую предельной норме замещения труда капиталом, которая численно равна угловому коэффициенту изокосты. Угловые коэффициенты изокосты и изокванты равны между собой при эффективном распределении ресурсов. В точке стационарного равновесия производителя изокванта касается изокосты.

Рассмотрим поведение производителя в рамках бюджетного ограничения ТС. Рыночные цены факторов r и w, а также финансовые средства производителя задают изокосту В(ТС). Изокванта Q(Y1) (рис. ) пересекает изокосту В(ТС) в точках А’ и A’’.

 

Рис.5.2

Возможно увеличение выпуска конечного продукта, если производитель переместится вдоль изокосты из точки А’ в точку A’’. При этом полная стоимость ТС наборов факторов затрат производства не меняется, а выпуск конечного продукта увеличивается от величины Y1 до максимально возможного значения Y2. В этой точке изокванта Q(Y2) касается изокосты В(ТС). Дальнейшее увеличение выпуска продукта невозможно потому, что при этом изокванта Q(Y3) сдвигается вправо вверх и не имеет общих точек с фиксированной изокостой В(ТС).

Точка оптимального набора факторов производства при заданной их полной стоимости определяется как точка пересечения изокосты В(ТС) изоклиной, на которой значение предельной нормы замещения труда капиталом определяется отношением цен этих факторов затрат производства или угловым коэффициентом изокосты В(ТС).

Функция затрат и ее свойства

Анализ затрат в производственных системах играет ключевую роль в принятии управленческих решений. При выборе наилучшего варианта производственной программы необходимо сравнить затраты возможных альтернатив и выбрать тот вариант, который обеспечивает наименьшие затраты факторов производства при заданном уровне выпуска конечного продукта.

При реализации производственного процесса происходит перенос стоимости факторов производства на выпускаемый конечный продукт, что определяет его себестоимость.

Себестоимость продукта определяется затратами производственной системы не только на его производство, но и на сбыт продукта, но в первом приближении можно считать, что себестоимость продукта равна стоимости набора агрегированных факторов затрат производства – затрат фактора капитала K и фактора труда L.

Изменение себестоимости конечного продукта возможно в результате перехода от одного набора используемых факторов производства к другому.

Снижение себестоимости продукта – это актуальная управленческая задача, решение которой обеспечивает производителю конкурентное преимущество на рынке.

При решении этой задачи необходимо определить до какого минимального значения может быть снижена себестоимость продукта.

Снижение себестоимости возможно до уровня, который определяется статическим равновесием производителя.

Величина оптимального набора факторов затрат производства (ресурсов), который соответствует статическому равновесию производителя, определяется производственной функцией системы, объемом финансовых средств производителя ТС (или величиной получаемого продукта Y) и ценами единиц труда w и капитала r: