Элементы теории производственных функций и теории затрат (стр. 4 )

. (5.9)

Определение. Функция затрат производственной системы АС(ТС, r, w) это минимальная полная стоимость набора ресурсов (факторов затрат производства), необходимого для выпуска заданного количества конечного продукта Y:

. (5.10)

Функция затрат определяет экономически эффективное использование ресурсов (факторов затрат производства), которое соответствует условиям статического равновесия производителя. Задача идентификации функции затрат по своей сути представляет собой задачу минимизация затрат производства при заданном уровне выпуска продукта, т. е двойственную ранее рассмотренной задаче максимизация выпуска продукта при заданном уровне затрат.

Для нахождения функции затрат и тем самым решению двойственной задачи необходимо решить следующую задачу оптимизации:

(5.11)

где r, w, Y - положительные постоянные.

Эта задача также может быть решена методом неопределенных множителей Лагранжа, что эквивалентно решению задачи о стационарном равновесии производителя (5.5).

Построим лагранжиан Ψ (L,K,ξ’) с помощью неопределенного множителя Лагранжа ξ’ в виде следующего выражения:

. (5.12)

Оптимальное решение (11) с учетом (12) удовлетворяет условиям:

(13)

Таким образом, решая полученную систему из трех уравнений с тремя неизвестными L, K, ξ’ находим оптимальный набор факторов производства с наименьшей полной стоимостью, который обеспечивает выпуск заданного количества продукта.

Рассмотрим графические интерпретации решения задач максимизации выпуска продукта при фиксированной полной стоимости ресурсов и минимизации полной стоимости набора ресурсов при фиксированном уровне выпуска конечного продукта.

На рис. 5.3 приведено графическое представление задачи максимизации выпуска продукта при фиксированной полной стоимости ресурсов.

По условию задачи объем финансовых средств производителя задан и известны цены единиц факторов затрат производства труда и капитала на рынке ресурсов. Эти параметры однозначно определяют изокосту производителя.

Зафиксируем полученную изокосту и начнем увеличивать выпуск конечного продукта. Графически эта процедура выглядит, как смещение изокванты производителя в направлении от начала координат. На рис. это смещение представлено стрелкой. Точка А – точка касания изокосты с изоквантой дает решение рассматриваемой задачи.

 

Рис.5.3

Задача минимизации полной стоимости набора ресурсов при фиксированном уровне выпуска конечного продукта представлена на рис. 5.4.

 

Рис. 5.4

В этой задаче заданный объем выпуска конечного продукта соответствует неподвижной изокванте. Постоянные значения стоимости единиц факторов затрат производства труда и капитала на рынке ресурсов определяют угловой коэффициент наклона изокосты. Уменьшение полной стоимости набора ресурсов при их фиксированной стоимости приводит к параллельному сдвигу изокосты в направлении начала координат. Направление смещения изокосты показано на рис. 5.4 стрелкой.

Решение задачи минимизации полной стоимости набора ресурсов будет точка А – точка касания изокосты и фиксированной изокванты.

Поэтому задачи максимизации выпуска конечного продукта при фиксированной полной стоимости ресурсов и минимизации полной стоимости ресурсов при заданном уровне выпуска конечного продукта получили название двойственных.

Рассмотрим определение функции затрат на примере производственной системы, функционирование которой характеризуется производственной функцией Кобба – Дугласа.

Пусть задана изокоста В(ТС), которая полностью определяется стоимостью набора ресурсов ТC и ценами единиц факторов затрат производства - труда w и капитала r.

Положение набора ресурсов производства «x» на изокосте может быть однозначно определено отношением стоимости капитала rK к полной стоимости затрат факторов труда и капитала:

. (5.14)

Тогда затраты факторов труда и капитала определяются выражениями:

, (5.15)

где L*, K* – точки пересечения изокосты с осями координат (рис 5.2), соответствующие максимальным количествам факторов труда и капитала, которые можно приобрести на сумму ТC по ценам w и r .

При изменении величины «х» происходит смещение точки вдоль изокосты. При этом стоимость набора ресурсов ТС остается постоянной, а количество получаемого конечного продукта Y изменяется и может быть определено зависимостью:

. (5.16)

Найдем значение величины «х», при котором выпуск конечного продукта Y достигает максимума для чего приравняем к нулю первую производную выражения (16) по «х»:

; →

→

Откуда находим точку максимального выпуска продукта хmax:

. (5.17)

Можно легко показать, что вторая производная (16) в данной точке отрицательна, и, следовательно, эта точка действительно является точкой максимума рассматриваемой производственной функции.

Максимально возможное количество выпускаемого конечного продукта при изменении набора потребляемых ресурсов (факторов затрат производства) вдоль изокосты равно:

. (5.18)

Функция затрат для производственной функции Кобба – Дугласа имеет вид:

. (5.19)

Учитывая, что ПФ Кобба – Дугласа является однородной функцией первой степени - α + β = 1, то окончательно получаем:

. (5.20)

Функция затрат определяет оптимальные средние затраты факторов производства на единицу выпускаемого конечного продукта. Для заданного вида производственной функции невозможно произвести большее количество конечного продукта при фиксированном количестве затрат факторов производства.

Необходимо отметить, что функция затрат определяется ценами единиц факторов затрат производства труда и капитала, которые, в свою очередь, определяются состоянием рынка ресурсов производства и являются экзогенными переменными.

По аналогично можно ввести функцию предельных затрат факторов производства, которые определяются величиной прироста стоимости производства дополнительной единицы конечного продукта:

.

В случае линейно-однородной производственной функции Кобба – Дугласа функция предельных затрат тождественно равна функции средних затрат:

.

В таблице приведены выражения функций средних затрат для рассмотренных в п. 3 производственных функций.

Таблица 5.1

Производственные функции и соответствующие функции средних затрат

Тип производственной функции	Вид производственной функции f(K, L)	Вид функции средних затрат АС(ТС, r, w)
CES - функция
Кобба - Дугласа
Леонтьева
Линейная

Каждой ПФ соответствует определенная функция затрат. Каждая функция затрат однозначно определяет производственную функцию. Таким образом, функция средних затрат и ПФ являются двойственными и однозначно задают друг друга.

Поэтому производственная система может быть задана как производственной функцией, так и функцией средних затрат.

Заключение

Для моделирования функционирования производственных систем используются производственные функции, функции затрат и производственные способы. Функции затрат являются своего рода «обратными функциями» по отношению к производственным функциям и отражают зависимость объема затрат факторов производства от величины выпуска.

Производственные функции, и функции затрат используются для описания таких производственных систем, в которых производится один вид конечного продукта и при этом затрачивается несколько видов ресурсов. Для моделирования производственных систем, производящих несколько конечных продуктов используются другие методы, среди которых наиболее распространенным является метод, основанный на концепции производственного способа. Описание производственных способов в данное учебное пособие не включены.

Список использованных источников

1. Математические методы оптимизации и экономическая теория. – М.: Издательство «Айрис-Пресс», 2002. – 576 с.

2. , , Черемных методы в экономике: Учебник. – М.: МГУ им. , Издательство «ДИС», 1997. – 368 с.

3. Теория фирмы /Под ред. . СПб : Экономическая школа, 1995. (Вехи экономической мысли»; Вып. с.

4. Экономико-математическое моделирование: Учебник для студентов вузов/ Под общ. ред. . – М.: Издательство «Экзамен», 2004. – 800 с.

Приложение

Индивидуальные задания для самостоятельной работы по теме «Производственные функции».

Задание.

Провести статистический анализ данных, построить линейную и степенную формы производственных функций для заданного производственного процесса, а затем провести экономический анализ одной из построенных производственных функций.

Провести имитационные расчеты вариантов планов при следующих предположениях: выпуск базового периода составляет 10 единиц при трудозатратах, величину которых необходимо установить самостоятельно. Требуется увеличить выпуск в следующем периоде на 25%, а далее еще на 25%, причем предполагая, что затраты ресурса K не ограничены, а трудозатраты должны оставаться на прежнем уровне или уменьшиться на 10%.

Теоретические сведения для выполнения задания

Статистический анализ данных

Первый этап – анализ данных выборки.

Цель этого анализа – получение подтверждения гипотезы о репрезентативности данных выборки.

Анализ данных по выборкам состоит из следующих процедур:

·  определение значений моды и медианы выборок, а также их минимальных и максимальных значений элементов;

·  определение стандартных среднеквадратических отклонений каждой из выборок и

·  определение дисперсий выборок;

·  Z – тестирование выборок.

Числовые значения моды, медианы, минимума и максимума дают общие представления относительно структуры выборки:

·  минимальное и максимальное значения не требуют специальных пояснений;

·  медиана определяет середину выборки, т. е. указывает такое значение элемента в выборке, для которого половина оставшихся значений элементов не превосходит его, а вторая половина элементов выборки по своему значению больше его.

Z – тестирование выборки применяется для получения стандартной оценки каждого элемента выборки. Стандартные оценки позволяют проверить (оценить) принадлежность рассматриваемых наблюдений конкретной генеральной совокупности. При применении Z – тестирования априорно устанавливается правило оценки репрезентативности выборки, например, выборка считается репрезентативной, если в выборке не более 10% данных должны иметь вероятностные оценки менее 0,7 согласно Z – тесту.

Если приведенное правило не выполняется, то выборку считают не представительной и соответственно дальнейший анализ проводить с такими данными нецелесообразно.

Результаты расчетов первого этапа статистического анализа при выполнении контрольных заданий должны быть сведены в табл. П.1 и П.2.

1

Результирующий показатель Y	Факторные показатели
R1	R2	…	Rn
Y1	R11	R12	…	R1n
…..	…	…	…	…
Ym	R1m	R1m	…	Rmn

2

Наименование показателя	Среднеквадрат. отклонение	Дисперс.	Мода	Медиана	Max	Min
Y
Y1
…..
Ym
R1			Rn
R2
…
Rn

Второй этап – корреляционный анализ данных.

На этом этапе осуществляется парное сравнение выборки результирующего показателя с выборками показателей, которые согласно теоретической модели рассматриваются как факторные, а также проверяется степень коррелируемости факторных показателей.

Для этих целей рассчитываются коэффициенты парной корреляции, которые изменяются от -1 до 1. Чем ближе значение коэффициента корреляции к указанным значениям, тем выше степень коррелируемости соответствующих случайных величин.

Знак коэффициента парной корреляции указывает на характер взаимосвязи случайных величин: «+» - прямая зависимость; «-» - обратная зависимость.

Аналогично поступают с факторными показателями, для которых коэффициенты корреляции очень близки к нулю. Их исключают из дальнейшего рассмотрения исходя из того, что соответствующие случайные величины слабо коррелируемы и, следовательно, в качестве факторных не могут быть использованы.

Для оценки тесноты связи между двумя выборками как множествами данных рассчитывают коэффициенты ковариации, на основе значений которых делается вывод о том, насколько сильно влияние того или иного факторного показателя на результирующий.

И в заключении рассчитывают безразмерные коэффициенты Пирсона, на основе которых оценивается степень линейной зависимости между двумя множествами данных (выборками). Т. е. значения этих коэффициентов позволяют сделать вывод о возможности и целесообразности использования линейной формы регрессионной взаимосвязи между результирующим и факторными показателями.

Результаты корреляционного анализа должны быть сведены в табл. П.3 – П.5.

3

Коэффициенты парной корреляции

Наименование показателя	R1	R2	…	Rn
Y	k1	k2		kn
R1	1	k12		k1n
R2		1		k2n
…
Rn				1

4 и П.5 по своей структуре аналогичны таблице П.3, за исключением заголовков: «Коэффициенты ковариации» и «Коэффициенты Пирсона» с соответствующим названию содержанием.