МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Мордовский государственный университет им. ёва»

Типовая расчетная работа по теме: «Аналитическая геометрия»

и методические рекомендации к ней

для студентов очной формы обучения для инженерных направлений

Учебно-методическое пособие

Саранск 2012

ТР Аналитическая геометрия

Теоретические вопросы:

1.  Уравнения прямой на плоскости.

2.  Условия параллельности и перпендикулярности 2х прямых.

3.  Кривые второго порядка.

4.  Плоскость. Уравнение плоскости.

5.  Расстояние прямой в пространстве. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости.

Расчетные задания

Задание 1. Даны вершины треугольника . Найти: 1) длину стороны ; 2) уравнение стороны ; 3) уравнение высоты ; 4) уравнение медианы ; 5) точку пересечения медианы с высотой ; 6) уравнение прямой, проходящей через вершину параллельную стороне ; 7) расстояние от точки до прямой .

1.1 , , .

1.2 , , .

1.3 , , .

1.4 , , .

1.5 , , .

1.6 , , .

1.7 , , .

1.8 , , .

1.9 , , .

1.10 , , .

1.11 , , .

1.12 , , .

1.13 , , .

1.14 , , .

1.15 , , .

1.16 , , .

1.17 , , .

1.18 , , .

1.19 , , .

1.20 , , .

1.21 , , .

1.22 , , .

1.23 , , .

1.24 , , .

1.25 , , .

1.26 , , .

1.27 , , .

1.28 , , .

1.29 , , .

1.30 , , .

Задание 2. Составить канонические уравнения: а) эллипса; б) гиперболы; в) параболы ( - точки, лежащие на кривой, - фокус, - большая (действительная) полуось, - малая (мнимая) полуось, - эксцентриситет; - уравнения асимптот гиперболы, - директриса кривой, - фокусное расстояние).

2.1 а) , ; б) , ; в) .

2.2 а) , ; б) , ; в) .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

2.3 а) , ; б) , ; в) .

2.4 а) , ; б) , ; в) .

2.5 а) , ; б) , ;в) .

2.6 а) , ; б) , ; в) ось симметрии , .

2.7 а) , ; б) , ; в) .

2.8 а) , ; б) , ; в) .

2.9 а) , ; б) , ; в) .

2.10 а) , ; б) , ; в) .

2.11 а) , ; б) , ; в) ось симметрии и .

2.12 а) , ; б) , ; в) ось симметрии и .

2.13 а) , ; б) , ; в) .

2.14 а) , ; б) , ; в) ось симметрии и .

2.15 а) , ; б) , ; в) .

2.16 , ; б) , ; в) .

2.17 а) , ; б) , ; в) ось симметрии и .

2.18 а) , ; б) , ; в) ось симметрии и .

2.19 а) , ; б) , ; в) .

2.20 а) , ; б) , ; в) .

2.21 а) , ; б) , ; в) .

2.22 а) , ; б) , ; в) .

2.23 а) , ; б) , ; в) .

2.24 а) , ; б) , ; в) .

2.25 , ; б) , ; в) .

2.26 а) , ; б) , ; в) .

2.27 а) , ; б) , ; в) ось симметрии и .

2.28 а) , ; б) , ; в) ось симметрии и .

2.29 а) , ; б) , ; в) ось симметрии и .

2.30 , ; б) , ; в) ось симметрии и .

Задание 3. Составить уравнение линии, каждая точка которой удовлетворяет заданным условиям:

3.1 Отстоит от точки на расстоянии, в четыре раза больше, чем от точки .

3.2 Отстоит от прямой на расстоянии, в пять раза больше, чем от точки .

3.3 Отношение расстояний от точки до точек и равно .

3.4 Отстоит от точки на расстоянии, в четыре раза меньше, чем от прямой .

3.5 Сумма квадратов расстояний от точки до точек и равно18,5.

3.6 Отстоит от прямой на расстоянии, в три раза меньше, чем от точки .

3.7 Отстоит от точки на расстоянии, в четыре раза больше, чем от точки .

3.8 Отстоит от точки на расстоянии, в три раза больше, чем от прямой .

3.9 Сумма квадратов расстояний от точки до точек и равно 65.

3.10 Отношение расстояний от точки до точек и равно .

3.11 Отстоит от прямой на расстоянии, в два раза меньше, чем от точки .

3.12 Отстоит от прямой на расстоянии, в три раза меньше, чем от точки .

3.13 Отстоит от точки на расстоянии, в два раза меньше, чем от точки .

3.14 Отстоит от точки на расстоянии, в два раза меньше, чем от прямой .

3.15 Отстоит от прямой на расстоянии, в три раза больше, чем от точки .

3.16 Отстоит от прямой на расстоянии, в два раза больше, чем от точки .

3.17 Отстоит от точки на расстоянии, в три раза больше, чем от точки .

3.18 Отстоит от точки на расстоянии, в три раза больше, чем от прямой .

3.19 Сумма квадратов расстояний от точки до точек и равно 40,5.

3.20 Отношение расстояний от точки до точек и равно .

3.21 Отстоит от прямой на расстоянии, в пять раз больше, чем от точки .

3.22 Отстоит от точки на расстоянии, в пять раз меньше, чем от прямой .

3.23 Сумма квадратов расстояний от точки до точек и равно 28.

3.24 Отношение расстояний от точки до точек и равно .

3.25 Отстоит от прямой на расстоянии, в три раза больше, чем от точки .

3.26 Отстоит от прямой на расстоянии, в два раз больше, чем от точки .

3.27 Отстоит от прямой на расстоянии, в два раза больше, чем от точки .

3.28 Сумма квадратов расстояний от точки до точек и равно 31.

3.29 Сумма квадратов расстояний от точки до точек и равно 65.

3.30 Отношение расстояний от точки до точек и равно .

Задание 4. Даны четыре точки , , , . Составить уравнения: 1) плоскости ; 2) прямой ; 3) прямой параллельной прямой ; 4) прямой перпендикулярной плоскости ; 5) плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой . Найти расстояние от точки до плоскости ; координаты точки пересечения прямой с плоскостью .

4.1 , , , .

4.2 , , , .

4.3 , , , .

4.4 , , , .

4.5 , , , .

4.6 , , , .

4.7 , , , .

4.8 , , , .

4.9 , , , .

4.10 , , , .

4.11 , , , .

4.12 , , , .

4.13 , , , .

4.14 , , , .

4.15 , , , .

4.16 , , , .

4.17 , , , .

4.18 , , , .

4.19 , , , .

4.20 , , , .

4.21 , , , .

4.22 , , , .

4.23 , , , .

4.24 , , , .

4.25 , , , .

4.26 , , , .

4.27 , , , .

4.28 , , , .

4.29 , , , .

4.30 , , , .

Методические рекомендации к выполнению ТР

При выполнении данных заданий используются формулы:

1) ; - уравнения прямой на плоскости;

2) , - условия параллельности перпендикулярности двух прямых на плоскости;

3) уравнения плоскости: а) ;

б) ;

4) - каноническое уравнение прямой в пространстве;

5) - расстояние от точки до плоскости.

Пример 1. Составить канонические уравнения: а) эллипса, большая ось которого равна 5, а фокус находится в точке ; б) гиперболы с мнимой осью и ; в) параболы, имеющей директрису .

а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид . По условию задачи большая полуось , . Для эллипса выполняется равенство . Подставив значения и , найдем . Искомое уравнение эллипса:

.

б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид . По условию задачи мнимая полуось , эксцентриситет . Для гиперболы справедливо равенство и, учитывая, что , находим . Искомое уравнение гиперболы:

.

в) Каноническое уравнение параболы в данном случае имеет вид , а уравнение ее директрисы . По условию , следовательно, , , уравнение параболы имеет вид .

Пример 2. Даны координаты вершин пирамиды . Найти 1) угол между ребрами и ; 2) уравнение плоскости ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань .

D(0,1,4)
 

A(2,1,0)
 

B(3,-1,2)
 

C(13,3,10)
 

M
 

1)  Угол между ребрами и вычисляем по формуле:

,

где

,

2)  Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, имеет вид:

.

Подставляя в данное уравнение координаты точек и , получим:

Разложив определитель по элементам первой строки, получим:

Отсюда находим искомое уравнение плоскости :

.

3)  Угол между ребром и гранью вычисляем по формуле:

где - направляющий вектор ребра , - нормальный вектор грани

4)  Площадь грани вычисляется по формуле:

, .

Окончательно имеем

5)  Объем пирамиды вычисляем по формуле:

Объем пирамиды равен 24 (куб. ед.).

6)  Уравнение высоты , опущенной из вершины на грань составляет по формуле

где - координаты точки , - координаты направляющего вектора прямой Т. к. , то в качестве направляющего вектора можно взять нормальный вектор Уравнение прямой запишется в виде: