Задача 7
Пространственное напряжённое состояние в точке и прочность
В некоторой точке упругого тела для объёмного напряжённого состояния заданы: компоненты тензора напряжений sх, sу, sz, txy, tyz, tzx; расчётные сопротивления материала на растяжение и сжатие Rр, Rс; коэффициент условий работы γc. Требуется:
1.написать тензор напряжений;
2.изобразить напряжённое состояние в виде кубика с указанием координатных осей и напряжений, приложенных к его граням.
3.вычислить инварианты напряженного состояния J1, J2, J3 и записать характеристическое(кубическое) уравнение.
4.используя специализированную систему компьютерной математики МАТLАB, определить главные напряжения s1, s2, s3 и направляющие косинусы для каждой главной площадки lk, mk, nk ( k = 1, 2, 3);
5.сравнить главные напряжения с нормальными напряжениями заданного напряжённого состояния;
6.показать на рисунке главные направления;
7.выбрать теорию прочности, соответствующую данному материалу, и найти эквивалентное напряжение;
8.проверить прочность.
Исходные данные
Первое число шифра | sх МПа | sу МПа | sz МПа | txy МПа | tyz МПа | tzx МПа |
31 | 40 | -10 | 50 | -25 | 15 | 20 |
Второе число шифра | Rр МПа | Rс МПа | γc |
5 | 100 | 200 | 0,85 |
Решение
1) Тензор напряжений
Ts= |
| sх tyx tzx txy sy tzy txz tyz sz |
| = |
| 40 -25 20 20 15 50 |
| МПа. |
2) Напряжённое состояние в точке.
Показываем элементарный параллелепипед (кубик) в системе координатных осей x, y, z. При изображении напряжений с помощью стрелок учитываются их знаки, данные в тензоре напряжений. Визуально невидимые напряжения на гранях не показываются, чтобы не загромождать рисунок. На рисунке относительные толщины линий должны быть следующими: оси – тонкие линии, ребра параллелепипеда – толще, стрелки напряжений – толстые.
3) Инварианты напряжённого состояния.
J1 = sх + sу + sz = 40 – 10 + 50 = 80 МПа,
Характеристическое уравнение в общем виде
s3 - J1s2 + J2s - J3 = 0.
Оно же с учётом найденных численных значений инвариантов
s3 - 80ss + 71250 = 0.
4) Главные напряжения и направляющие косинусы главных направлений.
Результаты решения на ЭВМ характеристического уравнения и определения направляющих косинусов главных площадок даны в таблице
Номера главных площадок k | sk МПа | lk | mk | nk |
1 | 65,84 | 0,6487 | -0,0638 | 0,7584 |
2 | 40,73 | -0,6414 | 0,4905 | 0,5899 |
3 | -26,57 | -0,4097 | -0,8691 | 0,2773 |
5) Сравнение с заданными нормальными напряжениями.
Наибольшее главное напряжение существенно превосходит самое большое из заданных напряжений, т. е.
s1 > sх.
Наибольшее сжимающее главное напряжение также намного меньше самого меньшего из заданных нормальных напряжений, т. е.
s3 < sу.
6) Главные направления напряжений.
По направляющим косинусам главных напряжений на рис. 2 показаны главные направления, некоторые координаты указаны.
7.Эквивалентное напряжение.
Материал, применяемый в данном случае, является пластич-ным, но имеет разные пределы текучести при растяжении и сжа-тии. Поэтому для определения эквивалентного напряжения под-ходящей является гипотеза плас-тичности Мора. Вычисляем по соответствующей формуле
sэкв = s1 - ks3.
Здесь отношение расчётных сопротивлений
k = Rр / Rс = 160 / 320 = 0,5.
Следовательно
sэкв = 65,84 – 0,5(-26,57) = 79,12 МПа.
8)Проверка прочности. Условие прочности имеет вид
sэкв ≤ Rр γc.
Подставляя числа, получим
79,12 ≤ 100·0,85 = 85.
Отсюда следует, что прочность в данной точке тела обеспечена.
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
Второе число шифра | Rр МПа | Rс МПа | γc |
1 | 180 | 180 | 1,00 |
2 | 90 | 180 | 0,90 |
3 | 140 | 140 | 0,85 |
4 | 100 | 200 | 0,95 |
5 | 200 | 200 | 0,9 |
| Первое число шифра | sх МПа | sу МПа | sz МПа | txy МПа | tyz МПа | tzx МПа |
1 | 130 | -110 | 150 | 10 | 20 | 20 |
2 | 60 | 100 | 80 | -20 | 40 | -20 |
3 | 120 | -80 | 140 | 20 | 20 | 10 |
4 | 50 | 90 | -70 | -10 | 30 | -20 |
5 | 30 | -70 | 60 | 30 | 20 | 10 |
6 | -70 | 110 | 60 | -10 | 30 | -30 |
7 | -40 | 20 | 70 | 20 | 20 | 30 |
8 | -20 | 60 | 10 | 10 | 20 | -40 |
9 | 100 | -90 | 40 | 10 | 20 | 20 |
10 | -20 | 10 | -30 | 10 | 20 | -50 |
11 | -70 | 80 | -20 | 20 | 30 | 40 |
12 | -30 | 70 | 20 | 10 | 20 | -40 |
13 | -90 | 70 | 120 | 20 | 20 | 30 |
14 | 80 | 110 | -70 | -10 | 20 | -20 |
15 | 70 | -60 | 100 | 10 | 20 | 20 |
16 | 60 | 90 | -80 | -10 | 20 | -20 |
17 | -10 | -90 | 100 | 20 | 30 | 30 |
18 | 40 | 100 | -50 | -10 | 30 | -20 |
19 | 120 | -10 | 70 | 30 | 20 | 10 |
20 | -30 | 10 | -20 | -10 | 40 | -30 |
21 | 20 | -20 | 150 | 30 | 20 | 10 |
22 | -30 | 10 | -10 | -20 | 50 | -20 |
23 | -10 | -50 | 10 | 30 | 20 | 10 |
24 | -10 | 90 | -30 | 10 | 20 | -40 |
25 | -40 | -120 | -10 | 30 | 30 | 20 |
26 | 70 | -90 | 60 | -10 | 40 | -30 |
27 | 60 | 130 | 90 | 30 | 30 | 20 |
28 | 110 | 90 | -50 | 10 | 20 | -30 |
29 | -90 | 50 | 110 | 30 | 20 | 10 |
30 | -30 | 130 | 20 | 10 | 20 | -40 |
Задача 8
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
