Сопротивление материалов. Задачи для домашних заданий, примеры решений для студентов направления 270800 – Строительство (стр. 7 )

Проверим условие прочности здесь

Подстановка чисел даёт

Условие прочности выполняется. Грузоподъёмность превышает приложенные нагрузки. Их значения можно повысить. Если принять одинаковые коэффициенты повышения k, то

Отсюда вывод: нагрузки можно увеличить значительно без ущерба для прочности до значений:

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Второе число шифра	b, см	h, cм	l, м	F, кН	P, кН	q, кН/м	R, МПа
1	26	32	2,4	200	9	0,8	25	0,90
2	24	30	2,6	210	8	2,0	22	0,85
3	23	28	2,5	220	10	1,1	24	0,95
4	21	27	2,3	200	9	1,8	23	0,80
5	20	25	2,0	190	11	1,4	28	0,85

Задача 12

Расчёт балки на упругом основании

Для двутавровой балки, расположенной на упругом основании, при модуле упругости равном E = 210 ГПа требуется:

1.записать с помощью метода начальных параметров выражения для прогибов v, углов поворота поперечных сечений θ, изгибающих моментов M и поперечных сил Q на всех участках балки.

2.поставить граничные условия и определить неизвестные начальные параметры.

3.провести расчеты на компьютере и построить эпюры Q, M, φ и v;

4.построить эпюру реактивного отпора основания.

5.определить реакции опор, если они имеются;

6.проверить прочность балки, приняв коэффициент надежности по нагрузке γf = 1,2, расчетное сопротивление R = 210 МПа = 21 кН/см2 и коэффициент условий работы γс = 1,0.

Исходные данные

Шифр	Двутавр №	l, м	F, кН	М, кНм	q, кН/м	k, Н/cм3
31-6	22	6,0	24	16	20	50

Расчётная схема Решение

Для балки в виде стального прокатного двутавра №22 выпишем осевой момент инерции J = Jx = 2550 см4 и ширину полки b = 11 см. Обозначим и определим жёсткость балки

.

Для упрощения дальнейших вычислений введём обозначение безразмерной переменной ξ и вычислим параметр λ

Запишем с помощью метода начальных параметров выражение для прогиба балки в произвольном сечении

(1)

Здесь v0, - начальные параметры, представляющие собой прогиб и угол поворота в начале координат, т. е. на левом конце балки z = 0 . Y1, Y2, Y3, Y4 – функции , которые определяются из специальных таблиц или по формулам:

Пользуясь формулой (1) и далее вытекающими из неё выражениями для характеристик балки, следует помнить, что нагрузки M, F, q имеют знаки, установленные для них в методе начальных параметров и зависящие от их направлений. В частности, в данном случае эти знаки будут отрицательными.

Неизвестные начальные параметры определим из граничных условий на правом конце балки:

(2)

Смысл уравнений (2) в том, что прогиб и угол поворота правого концевого сечения должны равняться нулю вследствие его заделки.

Запишем выражения для углов поворота поперечных сечений, изгибающих моментов и поперечных сил.

. (3)

(4)

(5)

Вычисляем аргументы и значении функций для выполнения граничных условий (2)

, ,

, , .

Раскроем граничные условия (2) с помощью формул (1), (2). При этом единицы измерения силовых величин для удобства вычислений переведём в килоньютоны.

После элементарных упрощений получена система двух алгебраических уравнений относительно

Решая, имеем

Далее расчёты производим с помощью компьютерной программы кафедры теоретической и прикладной механики. Полученные эпюры приведены на рис. 2. Числа, подписанные для характерных точек, взяты визуально с экрана монитора при многократных увеличениях графиков и обладают высокой точностью.

Реакции в правой опоре можно определить по эпюрам изгибающих моментов 2в и поперечных сил 2г или по обращению к компьютеру с запросом. Получено, что они имеют значения

Ml =18,09 кНм, направлен по часовой стрелке,

Rl = 27,82 кН, направлена вверх.

Ординаты реактивного отпора основания определяем по формуле Винклера

.

Здесь знак минус учитывает, что имеют противоположные направления. Результаты счёта на компьютере показаны на рис. 3. Равнодействующая этой силы, вычисленная как определённый интеграл методом трапеций составляет

R = 116,79 кН.

Проверим равновесие балки.

Относительная погрешность составляет

.

Очевидно, что равновесие обеспечено. Вычисления правильны.

Расчётное значение наибольшего изгибающего момента равно:

Выполняем проверку условия прочности

где - момент сопротивления двутавра №22.

Условие прочности выполнятся. Прочность обеспечена.

Второе число шифра	Двутавр №	l, м	F, кН	М, кНм	q, кН/м	k, Н/cм3
1	18	5,2	30	15	20	60
2	20	6,0	36	20	25	70
3	22	6,2	40	25	22	40
4	24	6,4	50	30	24	50
5	27	6,6	52	35	26	70

Задача 13

Рациональное сечение сжатой стойки

при продольном изгибе

Стойка из стального прокатного двутавра, сжата силой F и имеет заданную расчётную схему. Требуется:

1.поменять заданное сечение на составное сечение из двух элементов с общей площадью, не превышающей площадь двутавра;

2.определить грузоподъёмность стойки в обоих вариантах;

3.сравнить допускаемые нагрузки и сделать вывод о более рациональном сечении сжатой стойки.

Расчётная схема Исходные данные

Шифр	Номер двутавра	l м	R МПа	γc
31-6	30	3,1	200	0,95

Решение

Заданная стойка изготовлена из двутавра № 30 с геометрическими характеристиками

A = 46,5 см2, ix = 12,3 см, iy = 2,69 см.

Из этих данных можно заключить, что двутавр является нерациональной формой сечения при продольном нагружении стойки с возможной потерей устойчивости. Его материал распределён так, что один из радиусов инерции (iy) значительно меньше другого. В двух плоскостях хОz и yOz критические силы будут существенно различаться, т. е. стойка не является равноустойчивой в указанных плоскостях, что ведёт к недоиспользованию прочностных свойств материала. По этим причинам предлагается перераспределить материал, не увеличивая площади сечения (значит, не увеличивая расхода), на два стандартных элемента: швеллер и стальную полосу. Толщина полосы задана, второй размер выберем таким образом, чтобы осевые моменты сечения впоследствии оказались примерно одинаковыми, т. е. Jx Jy. Примем его равным 19 см. Её площадь сечения легко вычисляется

А1 = 19·1 = 19 см2.

По условию задачи

А2 ≤ А – А1 =46,5 – 19 = 27,5 см2.

Из сортамента берём швеллер № 22 с площадью сечения

А2 = 26,7 см2.

Составное сечение с необходимыми размерами в более крупном масштабе показано на рис. 2. Здесь x0, y0 – координатные оси, относительно которых будут отыскиваться координаты центра тяжести. Ось х-ов совпадает с осью

симметрии сечения и потому является одной из главных центральных осей. Остальные обозначенные оси являются собственными осями элементов сечения. Два варианта стойки будем сравнивать по их грузоподъёмности, т. е. по величине допускаемых нагрузок. Перейдём к их определению.

Допускаемое значение силы должно удовлетворять условию устойчивости

σ =

Отсюда

F = [F] = R γc A. (1)

Рассмотрим оба варианта.

1.Двутавр. Коэффициент приведения длины определяется в зависимости от условий закрепления концов стержня и равен

μ = 1.

Коэффициент продольного изгиба φ зависит от гибкости

R=200 МПа
λ
40	0,906
50	0,869
· · ·	· · ·
110	0,537
120	0,479
· · ·	· · ·

Фрагмент таблицы для коэффициента продольного изгиба стали при R= 200 МПа приведён в таблице. Отсюда по линейной интерполяции для гибкости 115,2 получим